2.5二次函数与一元二次方程第2课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

(共21张PPT)
北师大版 数学 九年级下册
第2课时
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.（重点）
2.经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.（难点）
复习回顾
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
两个相异的实根
b2-4ac > 0
有一个交点
两个相等的实根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的 就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
横坐标
思考:一元二次方程x2＋2x－10＝0的根与二次函数y＝x2＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？能否从图象中直接得到方程的根呢？
一、创设情境，引入新知
一元二次方程x2＋2x－10＝0的根是二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标．
这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
右图是二次函数y＝x2＋2x－10的图象.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？
二、自主合作，探究新知
探究：利用图象法求一元二次方程的近似根
由图象可知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
议一议：这只是大概范围，如何确定它们的十分位呢？
（1）先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y
-1.39 -0.76 -0.11 0.56
因此，x=-4.3是方程的一个近似根.
注意：之所以取 x=-4.3 作为方程的近似根而不是 x=-4.4，是因为当x=-4.3时,其函数值更接近0.
二、自主合作，探究新知
（2）另一个根可以类似的求出：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y
-1.39 -0.76 -0.11 0.56
因此，x=2.3是方程的另一个近似根.
（3）我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？
可以利用一元二次方程的求根公式进行验证.
.
∴x1=,x2=.
用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位.
二、自主合作，探究新知
例1：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)．
典型例题
解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1的图象与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示.
由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间.
先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x≈－0.4是方程的一个近似根，
同理，x≈2.4是方程的另一个近似根.即方程x2－2x－1＝0的近似根为x1≈－0.4，x2≈2.4.
知识要点
二、自主合作，探究新知
(1)画出二次函数的图象；
(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；
(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．
利用图象法求一元二次方程的近似根
例2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
二、自主合作，探究新知
典型例题
B
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，
∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，
∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
做一做：（1）请利用图1求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
图1
二、自主合作，探究新知
求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根，即求方程x2+2x-13=0的近似根.
也就是估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7.
二、自主合作，探究新知
（2）你还能利用图2求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗？
图2
y=3
①作直线y=3；
②观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7.
二、自主合作，探究新知
典型例题
分析：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示．
例3：利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根．
解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x 2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x 2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x 2＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间．
(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：
x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
∴x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根．
(2)另一根可以类似地求出：
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
∴x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根．
二、自主合作，探究新知
一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根为：x1≈-1.4，x2≈3.4.
三、即学即练，应用知识
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(　 　)A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
1.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
C
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72
2.下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是(　　)
A.1.6＜x1＜1.8 B.1.8＜x1＜2.0
C.2.0＜x1＜2.2 D.2.2＜x1＜2.4
C
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________．
三、即学即练，应用知识
3.观察下表:
则一元二次方程x2－2x－2＝0在精确到0.1时的一个近似根是 ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是 .
x 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y＝x2－2x－2 －1.31 －1.04 －0.75 －0.44 －0.11 0.24 0.61
2.7
-0.7
－3.3
三、即学即练，应用知识
5.用图象法求一元二次方程x2+x-1＝0的近似根（精确到0.1）.
解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6.
即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.
四、课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
五、当堂达标检测
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1.根据下列表格的对应值:
D
4.二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示,则方程ax +bx+c=0的两个根是____________,若函数y＜0,则对应x的取值范围是___________.
五、当堂达标检测
3.下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值：
那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是 .
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
1.2
x1=1, x2=3
1＜x＜3
五、当堂达标检测
5.求一元二次方程x2-2x-1=3的近似根（精确到0.1）.
解：y=x -2x-4的图象如图所示.
由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间.
(1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
x … 3.2 3.3 …
y … -0.16 0.29 …
因此，x=3.2是方程的一个近似根.
(2)可类似地求出另一个根为x=-1.2.
2 4
x
y
O
-4 -2
教材习题2.11；　　　　
六、布置作业