6.7 用相似三角形解决问题（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共36张PPT)
6.7 用相似三角形解决问题
第6章 图形的相似
教学目标
01
认识平行投影，并会根据平行投影画图；能利用平行投影下物高与影长的关系原理进行相关测量和计算
02
03
能通过对实际问题的研究，进一步建立“相似三角形”模型，从而解决问题
认识中心投影，并会根据中心投影画图；能利用中心投影下物高与影长的关系原理进行相关测量和计算
平行投影
光在空气中传播时，遇到不透明的物体，在这个物体后面光不能到达的区域便产生影。
01
情境引入
如图，在太阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影。
通常，我们把太阳光看成平行光。
01
情境引入
平行投影
【拓展】平行投影分为：
正投影：如图(1)，把投射线垂直于投影面的平行投影叫做正投影；
斜投影：如图(2)，把投射线不垂直于投影面的平行投影叫做斜投影。
(1)
(2)
投射线
投射面
02
知识精讲
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影。
【思考1】在阳光下，同一时刻，不同物体的高度与影长有什么关系
【操作1】在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙三根木杆，在同一时刻分别测量这三根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表：
【结论1】在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例。
木杆 木杆长度 杆影长度
甲 80cm
乙 120cm
丙 160cm
02
知识精讲
杆影长度
16cm
24cm
32cm
5
5
5
【思考2】在阳光下，不同时刻，同一物体的影长相等吗
02
知识精讲
【操作2】在不用时刻分别测量甲根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表：
【结论2】在平行光的照射下，在不同时刻，同一物体的影长不相等。
木杆 木杆长度 杆影长度
甲 80cm
80cm
80cm
杆影长度
16cm
40cm
80cm
02
知识精讲
平行投影
在平行光的照射下：
(1)在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例；
(2)在不同时刻，同一物体的影长不相等。
练一练1-1：如图，甲木杆AB在阳光下的影长为BC，试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长。
甲
乙
丙
02
知识精讲
练一练1-2：如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
甲
乙
丙
A
B
C
D
E
F
02
知识精讲
【分析】建立如图所示的模型，
∵AC∥DF，
∴∠C=∠F，
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴=，即=。
练一练2：在不能直接测量的情况下，怎样求旗杆的高度
A
B
O
A’
B’
O’
02
知识精讲
【原理】
在平行光的照射下，在同一时刻，
不同物体的物高与影长成比例。
【建模】如图，人的身高为O’B’=n，影长为A’B’=n，旗杆的影长为AB=m，求旗杆OB的高度。
02
知识精讲
【分析】
∵平行光，∴∠A=∠A’，
∵∠B=∠E=90°，∴△AOB∽△A’O’B’，
∴=，∴=，
∴=，即OB=。
02
知识精讲
【总结】
(1)=，即物高:参照物高=物影:参照物影；
(2)=，即物高:物影=参照物高:参照物影。
练一练3：古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度。当这位学者确认在阳光下他的影长等于他的身高时（如图），要求他的助手同时测出金字塔的影长DB以及金字塔底部正方形的边长，这样他就知道了金字塔的高度。他是怎么算的呢？
02
知识精讲
【建模】如图，当学者的身高与影长相等时，测得金字塔的影长DB为32m，若金字塔底部正方形的边长为230m，你能帮助这位学者计算这座金字塔的高度吗？
02
知识精讲
【分析】
若无遮挡，AC对应的影长应为BC，
∴AC:BC=人高:人影=1:1，
∴AC=BC=DB+DC，
∵DB=32m，DC=×230m=115m，
∴AC=32m+115m=147m。
02
知识精讲
当物体的高度不能直接测量时，通常用“在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”这一原理间接计算。
平行投影的应用
相关公式：
(1)物高:参照物高=物影:参照物影；
(2)物高:物影=参照物高:参照物影。
知识精讲
例、已知一直立的电线杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.4m的测竿在地面上的影长为2.8m，由此可知该电线杆的长为__________m。
【分析】
设电线杆的长是x米，
由题意可得：1.4:2.8=x:20，
解得：x=10。
10
20m
2.8m
？
1.4m
03
典例精析
中心投影
夜晚，当人在路灯下行走时，会看到一个有趣的现象：在灯光照射范围内，离开路灯越远，影子就越长（如图）。
通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的。
01
情境引入
中心投影
投射线
投射面
点光源
02
知识精讲
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
中心投影的特点：投影线交于一点。
02
知识精讲
中心投影
一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同位置，它的物高与影长不成比例。
练一练1-1：如图，三根旗杆的底部在同一条直线上，其中两根在同一灯光下的影长已画出。请在图中画出光源的位置，并画出另一根旗杆在该灯光下的影长。
点光源
02
知识精讲
练一练1-2：如图，过点光源向旗杆底部所在直线作垂直，你发现了什么？
点光源
02
知识精讲
可以构造“相似三角形”模型：
△ABC∽△OMC，
△DEF∽△OMF，
△GHI∽△OMI。
A
B
C
E
F
D
H
I
G
O
M
练一练2：如图，马路两侧有两根灯杆AB、CD。当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE。测得BD=24m，NB=6m，NE=2m，判断这两根灯杆的高度是否相同，并说明理由。
2m
6m
24m
02
知识精讲
8m
02
知识精讲
【分析】
∵AB∥MN∥CD，
∴△ABE∽△MNE，△CDB∽△MNB，
∴=，=，
∴=，=，
∴AB=4MN=CD。
知识精讲
例1、(1)学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）。如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线。请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度。
03
典例精析
23m
4m
2m
2m
2m
知识精讲
03
典例精析
【分析】设BE=xm，
∵AB∥EF∥GH，
∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴=，=，
∵EF=HG=2，
∴=，∴=，解得：x=23，
∴=，即=，解得：AB=25m。
知识精讲
例1、(2)如图，一盏路灯（点O）距地面6.4m，身高1.6m的小明从距离路灯的底部（点P）9m的A处，沿AP所在的直线行走到点D处时，小明在路灯下的影子长度缩短了1.8m，求小明行走的距离。
9m
6.4m
1.6m
1.6m
03
典例精析
【分析】设DF=xm，则AC=(x+1.8)m,
∵OP∥DE∥AB，
∴△DEF∽△POF，△ABC∽△POC，
∴=，=，解得：PD=3.6m，
∴AD=AP-PD=9-3.6=5.4(m)。
知识精讲
例2、如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，路灯灯泡在点D正上方。
(1)如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高。
P
03
典例精析
1.6m
1.4m
2.1m
3.5m
∵AB∥PD，∴△ABC∽△DPC，∴=，
∵AB=1.6m，AC=1.4m，AD=2.1m，
∴=，解得：DP=4m，
∴灯泡的高为4m。
【分析】(1)如图，点P即为设灯泡所在位置，
知识精讲
例2、如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，路灯灯泡在点D正上方。(1)DP=4m。
(2)在(1)的条件下当小明越过路灯到达FG时，发现影长和身高相等，求小明前行的路程。
03
典例精析
P
1.6m
E
∵GF∥PD，∴△FGE∽△DPE，∴=，
∵GF=EF=AB=1.6m，
∴DE=PD=4m，
∴AF=AD+DE-EF=2.1+4-1.6=4.5(m)，
∴小明前行的路程为4.5m。
(2)如图，延长PG交CF的延长线于点E，EF即为影子长，
其他实际问题
知识精讲
例1、为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为________米（注：反射角等于入射角）。
P
03
典例精析
镜面——对称相似
【分析】如图，过E作法线PE，
由题意可知：∠PEC=∠PEA，∠PED=∠PEB=90°，
∴∠CED=∠AEB，
又∵∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CED∽△AEB，∴=，
知识精讲
例1、为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为________米（注：反射角等于入射角）。
6.8
03
典例精析
镜面——对称相似
P
∵DE=3.0米，BE=12.0米，CD=1.7米，
∴=，解得：AB=6.8米，
∴树的高度约为6.8米。
知识精讲
例2、如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB。如果OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为________。
【分析】 ∵OA:OC=OB:OD=3，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，∴AB:CD=3，
∵CD=3cm，∴AB=9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=1÷2=0.5(cm)。
0.5cm
03
典例精析
“8”字问题——测长度
课后总结
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影。
在平行光的照射下：
(1)在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例；
当物体的高度不能直接测量时，通常用这一原理间接计算。
相关公式：(1)物高:参照物高=物影:参照物影；(2)物高:物影=参照物高:参照物影。
(2)在不同时刻，同一物体的影长不相等。
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同位置，它的物高与影长不成比例。