7.2.1 正弦、余弦-第1课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共30张PPT)
7.2.1正弦、余弦-第1课时
第7章 锐角三角函数
教学目标
01
理解锐角的正弦、余弦的概念，并掌握其计算公式
02
03
熟记特殊角的正弦、余弦值
理解并掌握锐角的正弦、余弦的增减性
正弦、余弦的概念
Q1：若小明沿着该坡道行走了20m，那么他的位置沿垂直方向上升了多少？若沿着该坡道行走了am呢？
小明在他家附近的公园里爬坡，当沿着坡道向上行走了13m时，他的位置沿垂直方向上升了5m。
01
情境引入
【分析】由相似的性质可得：=，解得：h1=；
由相似的性质可得：=，解得：h2=。
Q2：若小明沿着该坡道行走了20m，那么他的位置沿水平方向前进了多少？若沿着该坡道行走了am呢？
【分析】由勾股定理可得：当沿着坡道向上行走了13m时，他的位置沿水平方向前进了12m，
01
情境引入
12m
由相似的性质可得：=，=，
解得：l1=，l2=。
Q3：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是否为定值？
12m
【结论】当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值为定值。
01
情境引入
【分析】=，变形得：=，即为定值；
=，变形得：=，即为定值。
正弦、余弦
02
知识精讲
【正弦、余弦的概念】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
我们把∠A的对边a与斜边c的比，叫做∠A的正弦，记作sinA，sinA==；
我们把∠A的邻边b与斜边c的比，叫做∠A的余弦，记作cosA，cosA==。
02
知识精讲
练一练1：判断对错：
(1)如图，cosA= （　　）
(2)如图，sinA= （　　）
(2)
(1)
A
B
C
A
B
C
×
×
余弦是在直角三角形中定义的
sinA==
练一练2：填空：
如图，sinA=________；cosA=________；
sinB=________；cosB=________；
【拓展】sinC=________；cosC=________。
02
知识精讲
A
B
C
4cm
3cm
=
=
=
=
=1
0
02
知识精讲
【注意点】与正切类似
(1)正、余弦也是在直角▲中定义的，初中阶段，也只研究锐角的正、余弦；
(2)sinA、cosA也是一个完整的符号，分别表示∠A的正、余弦，不要误以为是“sin”乘以“A”或“cos”乘以“A”；
(3)正弦的正确记法：sinA、sin∠BAC、sin∠1；余弦的正确记法：cosA、cos∠BAC、cos∠1；
(4)sinA、cosA的大小也只与∠A的大小有关，与直角▲的边长无关（我们只是利用边长计算数值而已）
(5)sinA、cosA也没有单位。
知识精讲
例1、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinA的值是________。
03
典例精析
A
B
C
4
3
【分析】在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴sinA==。
知识精讲
例1、(2)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则cosB的值为__________。
03
典例精析
A
B
C
【分析】在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3BC，
∴AB=BC，
∴cosB===。
知识精讲
例1、(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，sinA=，那么BC的长为__________。
03
典例精析
A
B
C
26
10
【分析】如图，在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=13，sinA=，
∴=，即=，解得：BC=10。
知识精讲
例1、(4)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，cosB=，那么AC的长为__________。
03
典例精析
A
B
C
6
【分析】如图，在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，BC=6，cosB=，
∴=，即=，解得：AB=8，
∴AC=2。
2
知识精讲
例2、由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正弦值为________，余弦值为________。
03
典例精析
【分析】如图，连接AC，
由图可知：AC=BC=，
取AB中点D，连接CD，则CD⊥AB，即∠BCD=90°，
D
由图可知：CD=，BD=2，
∴sin∠ABC===，cos∠ABC===。
正弦、余弦的增减性
如图，当一个点从原点O出发，沿着15°线移动了1个单位长度到点P时，这个点在垂直方向上升了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
01
情境引入
于是，可知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97。
【分析】如图，一个点从原点O出发，沿着75°线移动了1个单位长度到点Q，
Q
Q1：你能写出sin75°、cos75°的近似值吗？
01
情境引入
∵这个点在垂直方向上升了约0.97个单位长度，在水平方向前进了约0.26个单位长度，
∴sin75°≈0.97，cos75°≈0.26。
【结论】锐角的正弦值会随锐角的增大而增大，余弦值会随锐角的增大而减小。
【分析】如图，一个点从原点O出发，沿着θ线移动了1个单位长度到点M，
Q2：随着锐角θ的增大，sinθ与cosθ的值怎样变化？
01
情境引入
M1
M2
M3
∵随着锐角θ的增大，点M的垂直高度的距离h在增大，水平方向的距离l在减小，
∴sinθ==h，cos75°==l。
Q3：如图，分别计算30°、45°、60°的正弦、余弦值，并分别比较三个角的正弦、余弦值的大小。
45°
1
1
30°
60°
1
2
01
情境引入
sin30°=，cos30°=
sin60°=，cos60°=
sin45°=，cos45°=
【分析】
∵30°<45°<60°，
∴sin30°cos30°>cos45°>cos60°。
特殊角的正弦、余弦值与正弦、余弦的增减性
【正弦、余弦的增减性】
锐角的正弦值会随锐角的增大而增大，余弦值会随锐角的增大而减小。
θ=30° θ=45° θ=60°
sinθ
cosθ
02
知识精讲
议一议1：如图，探究sinθ的临界值~（θ为锐角）
02
知识精讲
【分析】
∵锐角的正弦值会随锐角的增大而增大，
∴sin0°∵sin0°==0，sin90°==1，
∴0议一议2：如图，探究cosθ的临界值~（θ为锐角）
02
知识精讲
【分析】
∵锐角的余弦值会随锐角的增大而减小，
∴cos90°∵cos90°==0，cos0°==1，
∴0锐角的正弦、余弦值的范围
范围
sinθ（θ为锐角） 0cosθ（θ为锐角） 002
知识精讲
例1、(1)如果∠A为锐角，sinA=，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
A
03
典例精析
θ=30° θ=45° θ=60°
sinθ
例1、(2)已知cosα=0.75，则锐角α的取值范围是（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
B
θ=30° θ=45° θ=60°
cosθ
03
典例精析
例3、比较大小：sin81°________tan47°（填“＜”、“=”或“＞”）。
＜
【分析】
∵sin81°＜sin90°=1，tan47°＞tan45°=1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°。
03
典例精析
课后总结
【正弦、余弦的概念】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A的对边a与斜边c的比，叫做∠A的正弦，记作sinA，sinA==；
∠A的邻边b与斜边c的比，叫做∠A的余弦，记作cosA，cosA==。
课后总结
【注意点】与正切类似
(1)正、余弦也是在直角▲中定义的，初中阶段，也只研究锐角的正、余弦；
(2)sinA、cosA也是一个完整的符号，分别表示∠A的正、余弦，不要误以为是“sin”乘以“A”或“cos”乘以“A”；
(3)正弦的正确记法：sinA、sin∠BAC、sin∠1；余弦的正确记法：cosA、cos∠BAC、cos∠1；
(4)sinA、cosA的大小也只与∠A的大小有关，与直角▲的边长无关（我们只是利用边长计算数值而已）
(5)sinA、cosA也没有单位。
课后总结
θ=30° θ=45° θ=60°
sinθ
cosθ
【正弦、余弦的增减性】
锐角的正弦值会随锐角的增大而增大，余弦值会随锐角的增大而减小。
范围
sinθ（θ为锐角） 0cosθ（θ为锐角） 0