7.2.2 正弦、余弦-第2课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共31张PPT)
7.2.2正弦、余弦-第2课时
第7章 锐角三角函数
教学目标
01
理解锐角三角函数的概念及增减性
02
03
掌握同角三角函数的基本关系式
理解互余的两个锐角的三角函数值之间的关系
锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请分别写出∠A的正弦、余弦、正切的计算公式。
01
复习引入
sinA==
cosA==
tanA==
02
知识精讲
锐角三角函数
【锐角三角函数的概念】
如图，在Rt△ABC中，、、的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定。∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。
计算公式 增加性 范围问题
sinθ 随θ的增大而增大 0cosθ 随θ的增大而减小 0tanθ 随θ的增大而增大 tanθ>0
02
知识精讲
锐角三角函数
知识精讲
例1、在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（　　）
A．都扩大为原来的2倍
B．都缩小为原来的一半
C．都没有变化
D．不能确定
C
【分析】锐角的三角函数值只与∠A的大小有关，与直角▲的边长无关（我们只是利用边长计算数值而已）
03
典例精析
知识精讲
例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，则下列结论正确的是（　　）
A．sinA= B．tanA=
C．cosB=3 D．tanB=2
03
典例精析
A
B
C
3
1
【分析】在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，BC=1，AB=3，∴AC=2，
∴sinA==，tanA===，cosB==，tanB==2 。
D
同角三角函数的基本关系式
将下列表格填完整，你发现了什么？
01
情境引入
θ=30° θ=45° θ=60°
sinθ
cosθ
tanθ 1
sin2θ+cos2θ
θ=30° θ=45° θ=60°
1
1 1 1
1
sin2θ+cos2θ=1，tanθ=
证明1：如图，证明：sin2A+cos2A=1
01
情境引入
证明：∵sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A=+=，
∵在直角三角形中，a2+b2=c2，
∴sin2A+cos2A=1。
01
情境引入
证明2：如图，证明：tanA=
证明：∵sinA=，cosA=，
∴=，
∵tanA=，
∴tanA=。
同角三角函数的基本关系式
02
知识精讲
【同角三角函数的基本关系式】
(1)sin2A+cos2A=1；(2)tanA=。
【区分sin2A、sinA2与sin2A】
sin2A=sinA·sinA
sinA2表示A2的正弦
sin2A表示2A的正弦
（同样适用于余弦、正切）
02
知识精讲
知识精讲
例1、x为锐角，sinx=，则cosx的值为________，tanx的值为________。
03
典例精析
【分析】法一：公式法
∵sin2x+cos2x=1，sinx=，
∴cosx===，
∵tanx=，
∴tanx==。
知识精讲
例1、x为锐角，sinx=，则cosx的值为________，tanx的值为________。
03
典例精析
【分析】法二：数形结合
如图，由勾股定理可知：x的邻直角边长为，
∴cosx=，tanx==。
x
3
知识精讲
例2、x为锐角，cosx=，则sinx的值为________，tanx的值为________。
03
典例精析
【分析】法一：公式法
∵sin2x+cos2x=1，cosx=，
∴sinx===，
∵tanx=，
∴tanx=。
知识精讲
例2、x为锐角，cosx=，则sinx的值为________，tanx的值为________。
03
典例精析
【分析】法二：数形结合
如图，由勾股定理可知：x的对边长为4，
∴sinx=，tanx=。
x
5
3
4
知识精讲
例3、x为锐角，且tanx=2，那么sinx=________，cosx=________。
03
典例精析
【分析】法一：公式法
∵tanx==2，∴sinx=2cosx，
∵sin2x+cos2x=1，∴4cos2x+cos2x=1，解得：cosx=，
∴sinx=2cosx=。
知识精讲
例3、x为锐角，且tanx=2，那么sinx=________，cosx=________。
03
典例精析
2
1
x
【分析】法二：数形结合
如图，根据勾股定理可知：x的斜边长为，
∴sinx==，cosx==。
题型总结
已知锐角三角函数中的其中一个值，即可求出另外两个值
（简称“知一求二”）
法一：公式法——同角三角函数的基本关系式；
法二：数形结合——画直角三角形。
03
典例精析
互余的两个锐角的
三角函数值之间的关系
根据表格完成下列填空，你发现了什么？
(1)sin30°________cos60°，sin45°________cos45°，sin60°________cos30°；（填“＜”、“=”或“＞”）
(2)tan30°·tan60°=________，tan45°·tan45°=________。
01
情境引入
θ=30° θ=45° θ=60°
sinθ
cosθ
tanθ 1
=
=
=
1
1
sinθ=cos(90°-θ)，cosθ=sin(90°-θ)，tanθ·tan(90°-θ)=1
证明1：如图，证明：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)
01
情境引入
证明：∵sinA=，cos(90°-A)=cosB=，
∴sinA=cos(90°-A)，
同理：cosA=sin(90°-A)。
证明2：如图，证明：tanA·tan(90°-A)=1
01
情境引入
证明：∵tanA=，tan(90°-A)=tanB=，
∴tanA·tan(90°-A)=1。
【互余的两个锐角的三角函数值之间的关系】
(1)sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)；
(2)tanA·tan(90°-A)=1。
互余的两个锐角的三角函数值之间的关系
02
知识精讲
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinB=________。
03
典例精析
【分析】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=。
例2、用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________cos50°。
>
【分析】
∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，
∴sin50°＞cos50°。
【总结】
比较非特殊角的三角函数值时，必须先转化成同一三角函数，再根据增减性比较大小。
03
典例精析
例3、计算：+2tan20°·tan70°=________。
【分析】
∵sin36°=cos54°，tan20°·tan70°=1，
∴原式=1+2=3。
3
03
典例精析
课后总结
【锐角三角函数的概念】
如图，在Rt△ABC中，、、的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定。∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。
计算公式 增加性 范围问题
sinθ 随θ的增大而增大 0cosθ 随θ的增大而减小 0tanθ 随θ的增大而增大 tanθ>0
课后总结
【同角三角函数的基本关系式】
(1)sin2A+cos2A=1；(2)tanA=。
已知锐角三角函数中的其中一个值，即可求出另外两个值
（简称“知一求二”）
法一：公式法——同角三角函数的基本关系式；
法二：数形结合——画直角三角形。
【区分sin2A、sinA2与sin2A】
sin2A=sinA·sinA
sinA2表示A2的正弦
sin2A表示2A的正弦
（同样适用于余弦、正切）
【互余的两个锐角的三角函数值之间的关系】
(1)sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)；
(2)tanA·tan(90°-A)=1。