16.1.2 二次根式的性质（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

(共28张PPT)
第16章
二次根式
八年级数学下册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 下册
16.1.2
二次根式的性质
复习引入
面积为a 的正方形的边长
表示非负数a的算术平方根.
具有双重非负性：
①被开方数的非负性a
②二次根式值的非负性
新知探究
有一个数值转换器，原理如图所示，分别输入以下数字时，结果如何？
输入 x
x是否为非负数
求其算术平方根
平方
输出
是
否
新知探究
算术平方根
平方运算
a(a≥0)
0
2
9
π
a
观察两者有什么关系？
新知探究
思考：
根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
　()2= ; ()2 = ;
()2 = ; ()2 = .
0
4
2
结论推广到一般，如何用字母表示：
思考：
()2=a, （a≥0）
二次根式的性质1
新知探究
的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意： 不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
典例精析
例1
化简：
（1） ； （3）
解：（1） ＝ ＝
（3） ＝ ＝
4
5
典例精析
例2
在实数范围内分解因式：
解：
新知探究
有一个数值转换器，原理如图所示，分别输入以下数字时，结果如何？
输入 x
求其算术平方根
平方
输出
新知探究
算术平方根
平方运算
a
0
2
-9
-π
a
观察两者有什么关系？
二次根式的性质2
新知探究
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
的性质：
典例精析
例3
化简：
解：
，而3.14＜π，要注意a的正负性.
典例精析
例4
下列五个等式中一定成立的有（　　）
① ()2=a；② =a；③ =a2；④a0=1；⑤＝2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
解析：① ()2=a的条件是a≥0，故①不一定成立；
②当a＜0时， =a不成立，故②不一定成立；
③ =a2一定成立；
④ a0=1的条件是a不等于0，故④不一定成立；
⑤ ＝ =，故⑤错误。故选：A．
典例精析
例5
计算:
解：
(1)
(2)
=2
(2)
典例精析
例6
化简下列各式：
（1） （y＞0）； （2） ；
解：（1）∵y＞0，
∴ =
=7x2 |y| =7x2y
（2）∵π＞3，则3-π＜0
∴ =π-3
典例精析
例6
化简下列各式：
（3） (x≥ )；（4） + （1＜x＜3）
解：（3）∵x≥，则1-3x≤0
∴ = =|1-3x|=3x-1
（4）∵1＜x＜3 则有x-3＜0，1-x＜0
∴ + =|x-3|+|1-x|=3-x+x-1=2
典例精析
如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
思考：
典例精析
例7
已知1＜x＜8，化简++
解：∵1＜x＜8，
∴ ++
=|x-8|+|x+8|+
=8-x+x+8-1
=15
新知探究
（1）含有表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母。
　　用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得
到的式子叫代数式。
回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，-ab， 等，
这些式子有哪些共同特征？
思考：
代数式
新知探究
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
新知探究
判断下列式子是否为代数式？
(1)
(2) x+y=5
(3)
(4) x
(5) 32
这种用等号或不等号连接起来的式子都不是代数式。
是
不是
是
是
不是
思考：
典例精析
例8
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为
归纳总结
新知探究
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
当堂检测
1.化简 得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
C
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
3.化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
3
7
4
81
当堂检测
4. 计算：
解:
5.已知2＜a＜3，化简 +|a-3|．
解析：∵2＜a＜3，
∴2-a＜0，a-3＜0，
∴原式=a-2+|a-3|=a-2+3-a=1．
当堂检测
6.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
当堂检测
7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .
(2)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴