16.1.1二次根式的概念（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

(共24张PPT)
第16章
二次根式
八年级数学下册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 下册
16.1.1
二次根式的概念
情景引入
运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系： ，其中重力加速度常数 若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？
因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度
复习回顾
什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
若x2＝9，则x＝_______；若y 2＝3，则y＝_____．
±3
若正方形的面积为S，则正方形的边长为_____．
S
思考：
思考：
思考：
思考：
复习回顾
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)一张海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为4 m2，则它的宽为_____m．
思考：
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h
的式子表示 t ，那么 t 为_______．
(2)一个圆锥的体积为V，高为H，则底面半径为R=__ ___．
新知探究
思考：
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， , 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， , ．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
新知探究
二次根式
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
“ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
典例精析
例1
在实数范围内,负数没有平方根
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4) ，x
(5)
是
不是
是
是
是
被开方数恒为正数
典例精析
例2
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）由 a－1≥0， 得 a≥1．
所以当 a≥1 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 ≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3．
所以当 a＜3 时， 在实数范围内有意义．
典例精析
例2
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（3）因为不论 a 为何值， ≥0 恒成立，
所以 a 取任意实数， 在实数范围内都有意义．
（4）由 x－4≥0，得 x≥4．
由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时， 在实数范围内有意义．
典例精析
归纳总结
　　求使式子有意义的字母取值范围：
　　（2）分式型：
　　（3）零指数幂型：a0＝1
　　（1）二次根式型：
被开方数≥0
分母≠0
底数≠0
新知探究
思考：
(2)当 x 时， 在实数范围内有意义.
(1)当 x 时， 在实数范围内有意义.
当 x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
为任意实数
为非负数
二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值
范围又是什么？
当a ＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；
当a =0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.
这就是说，当a ≥0时， ≥0.
我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.
思考：
新知探究
二次根式的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.
对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的
被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
典例精析
例3
已知 ，求 x－y 的值.
解：由题意，得 x－4＝0且2x＋y＝0，
解得 x＝4，y＝- 8.
∴ x－y＝4－( - 8)＝4＋8＝12.
典例精析
例4
已知y= ,求8x+5y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴8x+5y=64.
∵64的算术平方根为8，
∴8x+5y的算术平方根为8．
出现 的形式，根据二次根数的双重非负性，
可得a=0.
典例精析
例5
解：依题意，得(b－2)2＋ ＝0，
△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足
b2－4b＋4＋ ＝0，求c的取值范围．
∴b＝2，a＝5.
又∵a，b，c为三角形的三边长，
∴3典例精析
例6
先观察下列等式，再回答问题．
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子；
(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律．
归纳总结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且 ≥0
当堂检测
1.下列各式中不是二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
C
2.下列各式： .
一定是二次根式的有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
当堂检测
3.若 ，则x-y的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
C
6.要使式子 有意义，则x应该满足____________．
x≥2且 x ≠3
4.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
5.若 , 则a-b+c=_____.
3
当堂检测
7.已知 ，试求x+2y的值.
解：由题意知
解得x=1，
y=2024，
所以
1-x ≥ 0,
x-1 ≥ 0
所以x+2y=1+2×2024=4049.
当堂检测
8.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
　 （1） ；　　（2） ；　　（3） ；　　（4） ．
解：（1）由 a－7≥0，得 a≥7．
当 a≥7 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 2a＋3≥0，得 a≥ ．
当 a≥ 时， 在实数范围内有意义．
（3）由 －a≥0，得 a≤0．
当 a≤0 时， 在实数范围内有意义．
（4）由 5－a≥0，得 a≤5．
当 a≤5 时， 在实数范围内有意义．
当堂检测
9.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
典例精析
10.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
， 求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．