27.3 垂径定理 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
27.3 垂径定理
第27章 圆与正多边形
教师
xxx
沪教版 九年级第二学期
圆的轴对称性
垂径定理作辅助线的常用方法
垂径定理及推论
01
03
02
CONTANTS
目 录
圆的轴对称性
01
中国汉代数学典籍《九章算术》勾股章所记载的“圆材埋壁”问题，原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里。不知道其大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候，锯开的宽度为一尺，问木材的直径是多少？（一尺等于十寸）
用数学语言可表述为：“如图，在⊙O中，弦CD=10寸，弓形高AB=1寸，求直径的长。”
·
O
C
D
B
A
问题：
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
你能证明上述结论吗？
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，
垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵OA=OA′
∴△OAA′是等腰三角形
∵AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
归纳结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
垂径定理及推论
02
在圆形纸片上作 O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
观察发现：
点A与点B重合，AE与BE重合,
重合， 重合.
所以AE=BE, = ， =
已知：如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE.
证明：连接OA、OB,
在△OAB中，
∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形
又∵ CD⊥AB,
∴AE=BE
即CD是AB的垂直平分线.
这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称.
这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB
∴AE=BE,,
定理中的两个条件缺一不可:
①过圆心(直径)；
②垂直于弦.
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；
②垂直于弦；
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧 ；
⑤平分弦所对的劣弧.
在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，可以推出其他三个结论吗？
A
B
O
C
D
E
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
（2）根据图形对称性可得AC =BC， AD =BD.
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⌒
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
已知条件“知二”
∵CD为直接 ∴已知①过圆心 ；
∵AE=BE ∴已知③平分弦（非直径）；
结论“推三”：
CD⊥AB（②垂直于弦）
AC=BC（④平分弦所对的优弧 ）
AD=BD（⑤平分弦所对的劣弧）
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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·
O
A
B
C
D
E
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⌒
⌒
⌒
当弦AB为直径时，相关结论还成立吗？
·
O
A
B
C
D
“不是直径”这个条件不能去掉，因为当AB、CD互相平分且是直径时，虽然“知二”，但AB不一定垂直CD。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
例1 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
⌒
⌒
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
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⌒
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m
垂径定理作辅助线的常用方法
03
归纳总结
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
弓形中重要数量关系
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm.
求⊙O的半径.
由图可知，AE=BE= AB
∵OE=3cm，AB=8cm，
∴BC=4cm
在Rt△OEA中，OA= 4 +3 =5cm
即⊙O的半径是5cm．
1
2
课堂练习
2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C. BC＝BD
D．△OCE≌△ODE
⌒
⌒
B
D
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中
不一正确的是( )
A．∠COE＝∠DOE
B．CE＝DE
C.
D．OE＝BE
4．如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为点N，
则ON＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，
则⊙O的直径为( )
A．8 B．10
C．16 D．20
A
D
6．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，
B不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于
点F，则EF＝( )
A．4
B．5
C．5.5
D．6
B
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴
交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，
OC＝6，则⊙O′的半径为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
C
8．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦
AB上一点，且PB＝2， 求 OP的长.
感谢观看