课件27张PPT。【课标要求】
1.2 函数的概念和性质1.2.1 对应、映射和函数了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．
理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
通过实例领悟构成函数的三要素．
1．2．3．映射的定义：设A，B是两个_____的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_____元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的_____ ，记作_________．
在映射f：A→B中，集合A叫作映射的________ ，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的___ (image)，记作y＝f(x)G，x叫作y的_____(inverse image)．自学导引1．非空唯一映射f：A→B定义域象原象如果在某个变化过程中有两个变量x，y，对于每一个在一定范围内变化着的__________________的值，按照一定的对应法则，都有一个_________的y值与之对应，那么，就说y是自变量x的_____，而自变量x的上述变化范围，就叫作该函数的_______ (domain)，和自变量x对应的y的值，叫作_______，函数值的变化范围叫作该函数的_____ (co-domain)．
函数的定义：设A，B是两个非空的_____，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有_____的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的_____ (fun_ction)，记作f：A→B，或者_______ (x∈A，y∈B)．
2．3．自变量(argument)x唯一确定函数定义域函数值值域数集唯一函数y＝f(x)这里，A叫作函数的_______，与x∈A对应的数y叫x的____,记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的
_____．
观察实际例子并对照定义看出，一个函数f(x)有三个要素：
首先是________ ，也就是如何从x确定f(x)的法则．不知道________ ，就不能从根本上了解这个函数．
其次是______，就是自变量x的取值范围．对应法则形式上相同的两个函数，若______不同，就算不同的函数．
知道了对应法则和定义域，_____也就确定了，对_____的了解表明对函数有了更深入的认识，所以_____也算是函数的要素之一．
4．定义域象值域对应法则对应法则定义域定义域值域值域值域函数与映射的主要联系和区别是什么？
提示 函数是一个特殊的映射，函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
f(x)与f(a)的含义有什么不同？
提示 f(x)是自变量x的函数，在一般情况下是一个变量；f(a)表示当x＝a时所得的函数值，是一个常量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如：函数f(x)＝3x＋2，f(2)＝3×2＋2＝8.
自主探究1．2．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是 ( )．
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案 A
预习测评1．解析 答案A中的两函数定义域不同，答案B中的两函数值域不同，答案D中的两函数对应法则不同，答案C正确．
答案 C
下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．
答案 (2)(5)
3．给出下列四个对应关系，能构成函数的有________(填序号)．
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝2x－3；
②A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{y|y∈N，y≤5}，
f：x→y＝|x－1|；
③A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，f：x→y＝x－3；
④A＝N＋，B＝{y∈N＋|y＝2x，x∈N＋}，f：x→y＝2x－1.
答案 ①②③
4．对映射概念的理解
(1)“任意”：就是说映射作用下集合A中的每一个元素在集合B中都有它的象，这是映射的完备性．
(2)“集合A到集合B”：映射定义中的两个集合A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，这是映射的方向性．
(3)“有一个且仅有一个”：就是说映射作用下集合A中的任何一个元素在集合B中的象是存在且唯一的，这是映射的存在性与唯一性．
名师点睛1．(4)“在B中”：就是说集合A中元素的象必在集合B中，即A中元素的象集是B的子集，这是映射的封闭性．
(5)映射的三要素是集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射不是只有集合A或者集合B，而是集合A、B以及对应法则f的整体，是一个系统，记作f：A→B.有时，映射f：A→B，集合A中的元素a对应集合B中的元素b，也可表示为f：a→b＝f(a)或者直接写成b＝f(a)．只要其中一个要素不同就是不同的映射．
(6)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合．但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．
函数符号y＝f(x)的理解
(1)对应法则f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示．变量也不是用唯一的字母来表示，f(x)＝x＋1与f(t)＝t＋1是同一个函数．
(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述等．y＝f(x)仅仅是函数符号，不能认为“y等于f与x的乘积”．
2．(3)虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于对应法则f所施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此函数的解析式是不同的．
(4)f(a)(a是常量)与f(x)的关系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般表示的是变量．
题型一 映射定义的理解【例1】典例剖析解 (1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射．
(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射．
(3)在f的作用下，A中的0，1，2，9分别对应到B中的1，0，1，64，
∴是映射．
点评 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”．
一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射．
说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
【变式1】解 (1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数．
(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．
已知A＝{a，b，c}，B＝{－2，0，2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．
解 (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2，0＋2＝2，
(－2)＋0＝－2，0＋(－2)＝－2.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0，2＋(－2)＝0.
因此满足条件的映射共有7个．
点评 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．
题型二 映射综合问题【例2】【变式2】(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)集合A＝R，B＝{－1，1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？
题型三 对函数定义的理解【例3】(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数．
(3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．
点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)．
2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
【变式3】[错解] 函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此时5k2<0，无解，∴k值不存在．
错因分析 本题忽视了k＝0的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．
误区警示 因求函数定义域忽视对二次项系数的讨论而出错【例4】纠错心得 求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数．本题中k2x2＋3kx＋1≠0应注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心．
映射的定义
(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系．
(2)映射有三种对应关系：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”．根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以．
(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合．
课堂总结1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到唯一确定的值y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．
正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
2．3．课件29张PPT。【课标要求】
1.2.2 表示函数的方法掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点．
掌握函数图象的画法及解析式的求法．
1．2．把一个函数的_________和_______交待清楚的办法，就是表示函数的方法．在初中数学课程中学过，可以用数学表达式、函数图象或函数表来表示函数．这是表示函数的三种主要方法，分别叫作_______ 、 _______和_______ ．
把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作_______(还常常叫作解析表达式或函数关系式)，解析法就是用_______来表示函数的方法．
自学导引1．2．对应法则定义域解析法图象法列表法解析式解析式用列表方法表示函数关系，优点是_________，不懂数学运算的人也能查表做事；缺点一是_________ ，二是从表上也很难看出函数的_________ ．
作图过程通常有______、 ______ 、 ______三个步骤：
______——先找出一些(有代表性的)自变量值x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
______——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
______——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
3．4．具体易用不够全面数学性质列表描点连线列表描点连线任何一个函数都可以用解析法表示吗？
提示 不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系等无法用解析式表示．
自主探究已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为 ( )．
预习测评A.－1 B．－2 C．－3 D．－4
答案 D
1．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 ( )．
答案 C
2．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝－2，f(－1)＝0，则a＝________，b＝________.
解析 由f(1)＝－2得：a＋b＝－2，
由f(－1)＝0得：－a＋b＝0，∴a＝b＝－1.
答案 －1 －1
4．三种表示方法的比较
名师点睛1．三种表示方法的运用
(1)首先，要熟练地掌握解析法、列表法、图象法的各自含义，以及它们的优缺点，只有把握了这些，才能恰当地运用这些表示方法表示函数．
(2)其次，解析法、列表法、图象法同为研究函数的重要方法，它们不是孤立的，而是和谐统一的．为研究函数的需要，常常根据函数的解析式列表或作图、或者根据函数的图象写出函数的解析式．因此在学习三种方法的同时，还要掌握三种方法之间的转化．
2. (3)最后，要明白函数的这三种表示方法并不是万能之法，也就是它不能表示所有的函数．例如某地在某一天的气温W显然是每一个时刻t的函数，它并不一定能用某一个函数解析式表示出来，也不能用列表法表示(列表法只能表示一系列孤立点的对应关系)．
(1)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100 kg)如表所示：
题型一 函数的表示方法【例1】典例剖析则零售量是否为月份的函数？为什么？
(2)由下列图形是否能确定y是x的函数？
解 (1)是函数．
∵对于集合{1，2，…，12}中的任一个值，
由表可知y都有唯一确定的值与它对应，
∴由它可确定为y是t的函数．
(2)①不能确定为y是x的函数．∵当x＝0时，由图①可确定y有两个值±1与它对应；
②能确定y是x的函数．∵当x在{x|x<－1或x≥1}中任取一个值时，由图②可确定唯一的y的值与它对应；
③能确定y是x的函数．∴当x在{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中任取一个值时，由图③可确定y有唯一的值与它对应；
④能确定y是x的函数，∵当对于R上任意的x，由图④都能确定唯一的y值与之对应．
点评 (1)函数关系在客观实际中广泛存在着，而不仅仅是能给出解析式的就是函数．如本例(1)中就无法写出该函数的解析式.
(2)由本例(2)可知，函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点和线段等．
(3)要判断一个直角坐标系下的图形能否确定为y是x的函数的一个方法是：任作一条垂直于x轴的直线，若该直线与其图形至多只有一个交点，则由该图形能确定y是x的函数；否则就不行．
设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为图中之一，则a的值为 ( )．
【变式1】答案 B
解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，从而y∈Z)，这些点称为整点(如图1所示)．
(2)∵0≤x<3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线(如图2所示)．
题型二 画函数图象【例2】点评 (1)作函数图象的步骤是：列表、描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列表，直接描点、连线即可；
(2)函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线、几条射线或曲线；
(3)有些函数应先求定义域，并化简函数式后再作图．
函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合法解题的有力工具，要切实掌握好．
【变式2】题型三 求函数解析式【例3】点评 求函数解析式的常用方法是待定系数法和换元法．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．
已知二次函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，且f(0)＝1，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
f(0)＝c＝1，
∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋1－ax2－bx－1＝4ax＋4a＋2b＝4x＋6，
【变式3】 已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
[错解] ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4.
错因分析 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．
[正解] ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
∴f(x)＝x2－4(x≥2)．
误区警示 因忽略函数的定义域而出错
【例4】纠错心得 采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.
作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．
求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，采用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消去法)．
课堂总结1．2．课件29张PPT。【课标要求】
1.2.3 从图象看函数的性质能从函数的图象上看出函数的性质，如最值，有界性，单调性，奇偶性等．
掌握正比例函数，一次函数，反比例函数的性质．
1．2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过_____的直线．
它是一次函数的一个特殊类型，和其他一次函数的区别就
在于图象是否经过_____ ．
正比例函数图象关于原点_____对称．也就是说，绕原点旋转180°后和自己重合．这样的函数被说成是_______
(odd fun_ction)．
一次函数y＝kx＋m(k≠0)的图象也是一条_____ ．它的主要性质有：
自学导引1．2．原点原点中心奇函数直线(1)k＞0时，函数值y随自变量x的增大也_____，这样的函数叫作_____________ ；
k＜0时，函数值y随自变量x的增大而_____ ，这样的函数叫作_____________；
(2)图象向上方和下方无限伸展，这样的函数叫作________
_______的函数．
单调递增、单调递减通常简称为_____或_____．
递增函数和递减函数统称为_____函数．
增大单调递增函数减小单调递减函数无上界也递增递减单调无下界(1)k＞0时，它在(－∞，0)上递___ ，在(0，＋∞)上也递___ ；k＜0时，它在(－∞，0)上递___，在(0，＋∞)上也递___ ．
(2)当x的绝对值增大时，图象越来越接近于__轴，但不会和__轴相交；当x的绝对值接近于0时，图象越来越接近于__轴，也不会和__轴相交．
(3)反比例函数的图象关于_____成中心对称图形，它的对称中心是_____ ，所以它也是___函数．
(4)从图象容易“读”出，反比例函数既无上界，也无_____ ；和一次函数不同的是，它在有限区间上也可能无上界或_______ ．减减增增xxyy原点原点奇下界无下界最简单的函数是常数函数y＝c，图象是___________于x轴的直线，它是以y轴为_______的轴对称图形．
如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，这个函数被说成是_______ (even fun_ction)．
通过观察图象，可以把函数的基本性质初步概括为以下几个方面：
(1)函数的最大值和最小值，以及最大值点和最小值点，最大值和最小值统称为_____．
4．5．平行或重合对称轴偶函数最值(3)函数的单调性把自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来了，描述了函数的_________和_____，是函数的最重要的特征之一．实际问题中出现的函数或数学中感兴趣的函数，多数可以把定义域_________ ，使它在每一段上是递增或递减的．
封顶保底上界下界界下界变化过程趋势分成几段(4)有些函数的图象是以_____为中心的中心对称图形，这类函数是_______ ；有些函数的图象是以____为对称轴的轴对称图形，这类函数是_______ ．
原点奇函数y轴偶函数在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？
提示 不能．如图所示
自主探究虽然f(－1)
1．如果函数在两个区间上都是单调的，在这两个区间的并集上是不是一定单调呢？
提示 如果函数在两个区间上都单调递增(或递减)，但在这两个区间的并集上不一定单调递增(或递减)．
2．答案 C
预习测评答案 B
若函数y＝f(x)的图象经过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象经过点________．
解析 令4－x＝1，则函数y＝f(4－x)的图象过点(3，1)．
答案 (3，1)
若y＝(m＋2)xm2＋3m＋3＋2m－1是一次函数，则m＝________．
答案 －1
3．4．正比例函数与一次函数的关系：
(1)一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)中，若b＝0，则一次函数就变为正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)．可见正比例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图象一定过点(0，b)．
名师点睛1．函数的图象有着重要的作用，一般为这样几个方面：①方程解个数的判定问题；②判断函数的奇偶性、单调性；③解不等式；④求参数的范围．
函数的图象是函数的一种表达形式，在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的问题(如分类讨论，求参数的范围，确定方程解的个数等)时要注意充分利用图象的直观作用．
2． 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
(3)函数值y随x的增大而减小；
(4)这个函数图象与直线y＝x＋1的交点在x轴上．
题型一 一次函数概念与性质的应用【例1】典例剖析点评 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数及一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解．
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标是什么？
(2)当x取何值时，y>0？当x取何值时，y<0?
(3)图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是多少？
解 (1)列表如下：
【变式1】 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的取值范围是 ( )．
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2)
题型二 利用函数图象解决问题(数形结合思想的应用)
【例2】解析 由图象法可解，由函数的性质可画出其图象如图所示：
显然f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜2}．
答案 D
点评 根据题意画出函数图象，从图象上能比较容易地找到答案，这实际上就是数形结合思想，我们一定要认真体会这一重要数学思想．
下列图象中能作为偶函数图象的是 ( )．
【变式2】解析 偶函数图象关于y轴对称，而B项是一对多对应，不能作为函数图象，而D项符合题意，因此选D.
答案 D
向高为H的水瓶注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 ( )．题型三 图象信息题【例3】解析 法一 (定性判断)从函数单调性考虑，观察函数图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A、C、D都不具备此特性．也就是由函数图象可知，随高度h增加，体积V也增加，并且随单位高度h增加，选项A的体积V的增加量变大；选项B的体积V的增加量变小；选项C的体积V的增加量先变小后变大；选项D的体积V的增加量不变，故选B.
答案 B
点评 这种题目为图象分析题，属于“想得多，算得少”的开放型题目，要敏锐地从所给图象中找出诸如单调性、对称性、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合题目特点作出合理取舍．
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 ( )．【变式3】答案 A
若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．
[错解] 函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.
错因分析 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
答案 a＝－3
误区警示 因对“单调区间”和“区间上单调”两个概念
混淆而出错【例4】纠错心得 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．一次函数定义：y＝kx＋b (k≠0)，不要漏掉条件k≠0.当b＝0时，此函数为正比例函数，它是一次函数的特例．
一次函数的性质：k>0时，y＝kx＋b单调递增；k<0时，y＝kx＋b单调递减．
函数的图象有着重要的应用，读图、识图作为一种能力在高考中越来越受重视．常见的思考方法：定性法、定量法、模型函数法、转化法．用图象法要通过图象不仅看出函数的定义域、值域，更要看出图象反映出的其它性质．
课堂总结1．2．3．课件33张PPT。【课标要求】
1.2.4 从解析式看函数的性质理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义．
运用函数单调性的定义判断函数的单调性．
通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义．
会利用函数的单调性求函数的最值．
1．2．3．4．函数的性质：以下设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如不加说明，我们认为I是个区间．
(1)上界和下界
如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个_____ (upper bound)；如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个_____(lower bound)．
既有上界又有下界的函数叫_____函数(bounded fun_ction)，否则叫_____函数(unbounded fun_ction)．
自学导引上界下界有界无界(2)函数的最大(小)值定义
如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)(f(x))≥f(a))对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大(小)值M＝f(a)，称M为f(x)的
_________，a为f(x)的___________ ．
(3)函数的单调性定义
如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的_____函数(increasing fun_ction)，如图1；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的_____函数(decreasing fun_ction)，如图2.
最大小值最大(小)值点递增递减如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上_________(strictly monotone)，区间I叫作f(x)的_________区间．
图1 图2严格单调严格单调在上述定义中，记x＝x1，x＋h＝x2，条件x1＜x2可以写成______，f(x1)＜f(x2)可以写成______________ ，f(x1)＞f(x2)可以写成_______________ ．差式f(x＋h)－f(x)叫做函数在区间I上的______(difference)．如果不加说明，总认为h＞0.这样，差分为正的函数就是_____函数，差分为负的函数就是______函数．
h＞0f(x＋h)－f(x)＞0f(x＋h)－f(x)＜0差分递减递增函数最大值或最小值的几何意义是什么？
提示 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．
自主探究1．注意 (1)在给定的区间内，当某个代数式的符号无法确定时(如本题中x1x2－a)，可取极端情况(如x1＝x2)入手分析，以此为界分类讨论．
若函数f(x)在R上是递增函数，则有 ( )．
A．f(5)f(7)
C．f(5)≤f(7) D．f(5)≥f(7)
解析 因为函数f(x)在R上递增，所以由5<7，得f(5)答案 A
预习测评1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其中为递增函数的区间是
( )．
A．[－4，4]
B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1]
D．[－3，4]
答案 C
2．答案 无
答案 递增 递减
函数单调性的理解
如果一个函数在某个区间上是递增函数或递减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义证明．
定义中的x1、x2有三个特征：(1)“任意”性，不能由两个特殊值代替；(2)二者有大小，通常规定x1函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域
(－∞，＋∞)是递增函数．
名师点睛一、1．2．3．(2)这个区间也可以是定义域的真子集，如y＝x2在定义域
(－∞，＋∞)不具备单调性，但在(－∞，0]是递减函数，在[0，＋∞)是递增函数．
区间端点的写法
对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题．因此写单调区间时，如果端点在定义域内，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
4．求函数的单调区间，就是求函数保持同一单调性不变的最大区间．
函数单调性的判断与证明
函数单调性的判断方法有三种：一是依据函数单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．
函数单调性的证明方法：
依据定义进行证明．其步骤如下：
①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1②作差变形：即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
5．二、1．2．③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，需要分情况讨论；
④判定：依据定义得出结论．
求函数最值的方法
求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)值域法：求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数的最值)；
(2)单调性法：通过研究函数的单调性来求函数的最值；
三、1．当一般的求最值方法难以奏效时，不妨研究函数的单调性试一试，单调性法是求有些非常规函数最值的有效方法．
(1)一般地，若y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且在定义域内有相同的单调性，则函数y＝f(x)＋g(x)与它们也有相同的单调性．
(2)函数y＝f(x)的最大值和最小值也可用下列符号表示：用y大或ymax表示y＝f(x)的最大值；用y小或ymin表示y＝f(x)的最小值．
2．题型一 证明单调性【例1】典例剖析【变式1】题型二 求最值【例2】点评 (1)函数的单调性是确定函数在某个区间(特别是闭区间)上最值的重要依据．
(2)求最值问题往往依赖于函数的单调性，由于这个函数并不是我们所熟悉的函数，可考虑先判断一下单调性，再求最值．
【变式2】 分别作出下列函数图象，写出它们的单调区间．
(1)y＝x2＋2x；(2)y＝2|x|；(3)y＝－x2＋2|x|＋3.
题型三 利用图象求单调区间或最值【例3】函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是递增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是递减函数．
点评 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：
(1)x∈R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
解 f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，
当x＝2时，等号成立，即函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
【变式3】(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0，2)上递减，在[2，3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0，3]上，函数f(x)＝3(x－2)2－7在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时取得最小值，最小值为－7.
(3)由图象可知，在[－1，1]上单调递减，
f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4.
[错解] 令t＝x2－3，当x＞0时此函数为增函数，x＜0时为减函数．
所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)．
错因分析 解答过程中忽视了函数定义域x2－3＞0，所以结果错误．
误区警示 因忽略函数的定义域而出错【例4】纠错心得 函数的单调区间必须是定义域的子集，因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
课堂总结1．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
3．4．即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．
运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
在实际应用中，应根据问题的实际背景求解，考虑到定义域的特殊情形去求函数的最值．
5．6．7．课件29张PPT。【课标要求】
1.2.5 函数的定义域和值域会求一些简单函数的定义域和值域．
实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式_______，还受到_________的限制，要符合实际情形．
在数学里，常常把数学关系从实际问题中抽象出来研究．有时只写出函数的表达式，略去函数的_______ ，那么这个函数的定义域就是使___________________的自变量的变化范围．
自学导引1．有意义实际问题定义域函数的表达式有意义值域，是指_______的集合．求值域的问题是一类综合性强、方法很多的问题．
{c}R{x∈R|x≠0}函数值2．已知f(x)的定义域为A，如何求f(g(x))的定义域？
提示 f(g(x))的定义域相当于已知g(x)的值域为A，求其定义域，即g(x)∈A，解不等式求x的范围．如：已知f(x)的定义域为[3，4]，求f(1－x)的定义域，只需解不等式3≤1－x≤4即可．
自主探究答案 D
预习测评答案 B
答案 {x|x≥－4且x≠－2}
函数g(x)＝3x＋1，x∈{0，1，2，3，4}的值域为________．
解析 g(0)＝3×0＋1＝1，
g(1)＝3×1＋1＝4，
g(2)＝3×2＋1＝7，
g(3)＝3×3＋1＝10，g(4)＝3×4＋1＝13.
答案 {1，4，7，10，13}
4．函数定义域的求法
(1)求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化．
(2)求函数的定义域，就是求使得函数的解析式有意义的自变量x的取值范围．
当f(x)是整式时，其定义域为R.
当f(x)是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．
名师点睛1．当f(x)是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
对于x0，x不能为0，因为00无意义．
函数的值域
对于函数y＝f(x)(x∈A)，与x的值相对应的y值叫函数值．如：函数y＝x2＋5x＋3，当x＝3时，y＝32＋5×3＋3＝27叫做x＝3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．
函数的值域是由对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合．关于求函数值域问题，是可用初等手段解决的问题，只要依据函数的相应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段即可求得其解．
2．题型一 求函数的定义域【例1】典例剖析点评 求定义域的实质就是求使函数表达式有意义的自变量x的取值范围．常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．【变式1】 题型二 求函数的值域【例2】点评 求函数的值域问题首先必须明确两点：一是对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值域的依据．
【变式2】题型三 综合问题
【例3】点评 值域和最值有密切的关系，而最值和恒成立问题又有联系，因此要熟练掌握求值域的常用方法．
【变式3】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域．
[错解] y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0，
所以y＝(x－1)2－1≥－1.
从而知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)．
错因分析 这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
误区警示 因忽略函数的定义域而出错
【例4】[正解] y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]．由图象知，
当－1≤x<1时，y随x的增大而减小；
当1≤x≤2时，y随x的增大而增大．
并且当x＝－1时，y取最大值3；
当x＝1时，y取最小值－1.
从而知－1≤y≤3，
即函数y＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域是[－1，3]．
纠错心得 函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先要注意函数的定义域．
求函数值域，应理解两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域是指集合B＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则及函数的性质是确定值域的依据．目前常用的方法有：图象法、配方法、分离常数法、换元法等．
课堂总结1．求函数的定义域一般有三类问题：
(1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解．
(2)由y＝f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域问题，实际上是已知中间变量u＝g(x)的值域，求自变量x的取值范围问题．
(3)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义．
2．课件24张PPT。【课标要求】
1.2.6 分段函数了解分段函数的概念；
会画分段函数的图象；
能解决相关问题．
1．2．3．如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的_______给出，这种函数叫作_________ ．
分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是空集．
作分段函数图象时，应_____________________ ．
自学导引1．2．3．4．解析式分段函数对应关系并集分别作出每一段的图象如何判断分段函数的奇偶性？
提示 先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系，首先要注意x与－x的范围，然后将它代入相应的函数表达式中．
自主探究2．答案 B
预习测评解析 f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.
答案 A
答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 由题意知，当x>0时，x＋1>2，解得x>1；
当x＝0时，无解；
当x<0时，－(x＋1)>2，解得x<－3，
故不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案 {x|x<－3或x>1}分段函数
(1)有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值区间，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数，其解析式是由几个不同的式子构成的，它们合为一个整体表示一个函数．
(2)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在内，则用虚点“。”表示．
名师点睛(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集；区间端点应不重不漏．求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取并集；
(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．
(5)求分段函数最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值，然后取各段中的最大(小)值．
题型一 作分段函数的图象【例1】典例剖析(2)函数f(x)的图象如图所示：
点评 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
【变式1】图(1)如图(2)所示
图(2)题型二 分段函数的求值
【例2】点评 对于f(a)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a所在范围有关．因此要对a进行讨论，由此我们可以得出：(1)分段函数的函数值要分段去求.
(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要产生的．
【变式2】解 ∵－3<0，∴f(－3)＝0，∴f(f(－3))＝f(0)＝π，
又π>0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1，
即f(f(f(－3)))＝π＋1.
如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD 位于直线MN左边部分的面积y写成关于x的函数，并指出其定义域和值域．
题型三 分段函数的实际应用【例3】点评 由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可．
注意：求分段函数的解析式时，最后要把各段综合在一起写成一个函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B
(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)的图象．
【变式3】[错解] 由x2－1＝3，得x＝±2；
由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1.
错因分析 本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，上述解法没有注意x的取值范围，造成增解．
[正解] 当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2. 误区警示 因忽视分段函数自变量的范围而出错【例4】纠错心得 对于分段函数分为几部分应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求某个自变量的函数值，容易不看自变量的范围直接代入解析式而求错解．
关于分段函数应注意的几点：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用对应法则造成错误结果．
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，要特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
课堂总结课件24张PPT。【课标要求】
1.2.7 二次函数的图象和性质
——增减性和最值
了解二次函数的定义．
掌握二次函数的图象及增减性和最值．
1．2．自学导引上（下）如何求二次函数在给定区间上的最值？
提示 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，其最值在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．
自主探究若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则 ( )．
A．m为任意实数 B．m≠1
C．m≠－1 D．m≠1且m≠－1
解析 由m－1≠0，得m≠1，故选B.
答案 B
预习测评1．答案 D
函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是____________．
函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－1]时是递减函数，则m的取值范围是____________．
答案 m≥－4
3．4．二次函数的系数对抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)形状的影响
(1)a决定开口方向及开口大小．当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
当|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同；当|a|逐渐变大时，抛物线开口程度逐渐变小；当|a|→＋∞，抛物线渐变为y轴；当|a|逐渐变小时，抛物线开口程度逐渐变大；当|a|→0时，抛物线逐渐变为x轴．
名师点睛(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置．
当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)．
①c＝0时，抛物线经过原点；
②c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；
③c<0时，抛物线与y轴交于负半轴．
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．
题型一 求二次函数的解析式【例1】典例剖析由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.
代入③整理得a2＝－4a，解得a＝－4，或a＝0(舍去)．
∴b＝4，c＝7.
因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二 利用二次函数顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
点评 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)．
f(x)是二次函数且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)解析式．
解 待定系数法，设f(x)＝ax2＋bx＋c.
∵f(0)＝c＝0
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b)
f(x)＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1
【变式1】 f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围．
题型二 二次函数的增减性【例2】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
x∈[－5，5]，1∈[－5，5]．∴当x＝1时，f(x)min＝1；
当x＝－5时，f(x)max＝37.
(2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
其图象对称轴为x＝－a.
∵f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.
【变式2】 求函数y＝x2－2ax－1在[0，2]上的值域．
解 ①当a<0时，ymin＝f(0)＝－1，
ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，
所以函数的值域为[－1，3－4a]．
②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，
ymax＝f(2)＝3－4a，
所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．
③当1ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．
④当a>2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a，－1]．
题型三 求二次函数的值域或最值【例3】点评 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得．
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0，4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解 (1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
其图象对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x∈[0，4]时，∴f(x)max＝f(4)＝42－2×4＋2＝10，
f(x)min＝f(1)＝1.
【变式3】 设函数f(x)＝ax2－2x＋2.对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．误区警示 讨论不严密造成错误【例4】错因分析 ①当a＞0时，未对对称轴的位置加以分类讨论，从而导致解有误．②丢掉了对a＝0的情况的讨论．
纠错心得 二次函数问题当“轴定，区间定”时，直接利用二次函数的单调性解题即可，若“轴变、区间定”或“轴定、区间变”时，要采用分类讨论的思想，分析轴与区间的关系．
二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．
具体做法是：首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m.
其次对区间进行讨论，可分成三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定．
(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
课堂总结课件29张PPT。【课标要求】
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．
理解奇函数和偶函数的图象的特点．
掌握二次函数图象的对称性及二次函数图象的分类．
1．2．3．奇、偶函数的定义
(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且____________成立，则称F(x)为偶函数；
(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且______________成立，则称F(x)为奇函数．
奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象是以_____为对称轴的轴对称图形，奇函数的图象是以_____为对称中心的中心对称图形．
自学导引1．2．F(－x)＝F(x)F(－x)＝－F(x)y轴原点缺少一次项的二次函数y＝ax2＋c是偶函数，其图象是以_____为对称轴的轴对称图形．
如果函数F(x)有一条平行于y轴的对称轴，对称轴和x轴交点的坐标是(s，0)，则对任意的h，有________________
反之亦然．
4．y轴F(s＋h)＝F(s－h)轴六x轴(x0，0)上恒正(3)如Δ＞0，图象和x轴交于两点(x1，0)和(x2，0)，这里x1＜x2，是方程______________的两个不等实根．对应于x∈_______，图象在x轴下方，当x在_______之外时，图象在x轴上方．
ax2＋bx＋c＝0(x1，x2)[x1，x2]判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？
提示 由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2，1]上既不是奇函数也不是偶函数．
自主探究1．有没有既是奇函数又是偶函数的函数？
提示 有．如f(x)＝0，x∈(－5，5)．
2．解析 结合图象知选项为D.
答案 D
预习测评二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为 ( )．
A．－9 B．9 C．3 D．－3
解析 ∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.
答案 A
设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝______．
答案 －1
2．3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______．
答案 64．
定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(－x)＝±f(x)之一是否成立．
名师点睛1．判断函数奇偶性的常用方法图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称．
性质法：利用性质来判断，即利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性来判断．即：
(1)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
(2)对于复合函数F(x)＝f[g(x)]：若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数；若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数．
3．4．警示 在判断函数的奇偶性时，容易忽视函数的定义域是否关于原点对称这一前提条件，从而导致做无用功(即浪费时间和精力，又判断失误而出错)．
已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象．
解 (1)设x<0，由于f(x)是奇函数，
故f(x)＝－f(－x)，又－x>0，
由已知有f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1
＝－2x2－3x＋1.
所以－f(－x)＝2x2＋3x－1.又f(0)＝0，
题型一 函数奇偶性的应用【例1】典例剖析点评 利用奇、偶函数图象的对称性，可以画出图象的另一半，从而可以减少工作量．本题容易将f(0)＝0遗漏掉．
【变式1】 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)由题易知函数f(x)的定义域{x|x≠0}，关于原点对称，
①当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
②当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
点评 (1)判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再与f(x)比较得出结论．
(2)分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性.
已知二次函数f(x)同时满足下列条件：
①f(1＋x)＝f(1－x)；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式．
题型二 二次函数的对称性【例2】点评 二次函数图象的对称性非常重要，只要知道了对称轴，单调性和最值就非常简单．对称性还可以推广到一般函数：已知函数f(x)，则f(x)关于x＝a对称的充要条件是f(a＋x)＝f(a－x)，还可以变形为f(x)＝f(2a－x)．
【变式2】 已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，函数有最小值－1，方程ax2＋bx＋c＝0的两根α，β满足α2＋β2＝4，求这个二次函数的解析式．
题型三 综合问题【例3】点评 从本题中可以看出，二次函数与一元二次方程之间有着密切的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0就是二次函数y＝ax2＋bx＋c当y＝0时的情形．
不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
解 法一 (1)当a＝2时，f(x)＝－4<0恒成立；
?(2)当a≠2时，f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
f(x)有最大值且最大值为负，即
【变式3】由(1)(2)知，a的取值范围是(－2，2]．
法二 当a＝2时，不等式显然成立．
当a≠2时，若不等式成立，
即f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，
必有a－2<0，且Δ＝4(a－2)2＋4(a－2)×4<0，
解得－2∴a的取值范围是(－2，2]．
误区警示 判断函数奇偶性时，因忽略定义域而出错【例4】错因分析 错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．
[正解] 函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
纠错心得 判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论．
在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或作为偶函数的条件．
解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性．
课堂总结1．2．3．4．