2014-2015学年高中数学+2-3-1,2-3-2幂函数的概念幂函数的图象和性质课件湘教版必修1（共33张PPT）

课件33张PPT。【课标要求】
2.3　幂函数2.3.1 幂函数的概念2.3.2 幂函数的图象和性质一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作
(α次的)_________(power fun_ction)．
一般说来，我们只考虑定义域为[0，＋∞)的分数次幂函数
______，这里p是不为0的整数，q是大于1的正整数，并且p和q_____．
正整数次幂函数的倒数_____，叫作负整数次的幂函数．
一般写成________ ，这里n是正整数，x≠0.
自学导引1．幂函数互素y＝x－n负整数次的幂函数和正整数次的幂函数，统称为________
_________．
幂函数：
代表了幂函数的各种不同类型．
对于一般的非0实数α，幂函数y＝xα只在______时才能都有意义．对于整数次的幂函数，由于图象的对称性，把它们在__________上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就很容易了解．
2．3．整数次x>0(0，＋∞)的幂函数注意到当x>0时，有等式xα＝(eln x)α＝_____，可见幂函数
的性质都可以归结到指数函数和对数函数的性质．例如，
由ex和ln x的递增性立刻得知：α>0时xα _____ ；α<0时，xa
_____ ，由ex恒为正可知x>0时_____ ．
定义在非负数范围内的幂函数y＝xα的定义域只有两种可能：
当α>0时是__________ ，当α<0时是__________ ．
(1)当α>0时，幂函数在区间[0，＋∞)上有如下性质：
①都经过两个点______和______，即0α＝0，1α＝1；
②是递___函数；
③图象与直线y＝x有如下关系：
4．5．eαlnx递增递减xα>0[0，＋∞)(0，＋∞)(0，0)(1，1)增在y＝x下方在y＝x上方在y＝x上方在y＝x下方(2)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上有如下性质：
①图象都过点_______，即1α＝1；
②是递___函数；
③图象向上与____正向无限接近，向右与____正向无限接近．
(1，1)减y轴x轴y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？
提示　不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数．
幂函数与指数函数有什么区别？
提示　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数a为常数，指数为变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数．
自主探究1．2．答案　C
预习测评A．h(x)C．g(x)答案　D
当x∈(0，1)时，y＝xp (p∈R)的图象在y＝x的上方，则p的范围是________．
答案　(－∞，1)
已知函数y＝(a2－3a＋3)xa(a为常数)为幂函数，则a＝________．
解析　由幂函数定义知a2－3a＋3＝1，解得a＝1或2.
答案　1或23．4．幂函数
(1)幂函数的有关概念与性质
①幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数．y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．②在(0，1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．③幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；
名师点睛幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(2)幂函数的图象
当指数α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝xα＝x0＝1是直线(不包括(0，1)点)．除上述特例外，幂函数的图象都是曲线，如下表.
当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸．
(3)幂函数的增减性
在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增函数；当α<0时，y＝xα是递减函数．
(4)幂函数的奇偶性
已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
题型一　幂函数的概念【例1】典例剖析【变式1】题型二　求定义域和值域
【例2】点评　课本上仅研究了几种最简单的幂函数，对于其它幂函数，我们可以利用课本上介绍的方法去研究．对于分数指数的幂函数，我们可以转换成为根式表示的函数再研究．
【变式2】答案　B
题型三　图象问题【例3】答案　D
点评　函数的奇偶性是解答本题的关键所在，在解题过程中要充分利用．
【变式3】答案　D
(2)解　y＝x－2定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，是偶函数，且在(0，＋∞)上是递减函数，根据以上特征知y＝x－2的图象如右图．
题型四　利用幂函数的增减性比较大小【例4】点评　比较大小时，要综合考虑函数的性质，特别是增减性的应用，要善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．
【变式4】 若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围．
误区警示　因对幂函数的单调性理解不透而出错
【例5】错因分析　函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．
纠错心得　函数的单调性是函数的重要性质，运用单调性时可结合函数的图象进行．幂函数y＝x－1的单调性很容易出错，要正确运用．
本节的幂函数不同于其他几种初等函数，虽然形式只有一种：y＝xα，但随α值的不同所产生的多种幂函数，在性质、图象方面有一些差异，所以幂函数的知识比较繁琐，须把握规律，加强理解和记忆．
幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)在形式上有相近的地方，但有本质的不同．
(1)幂函数的自变量是底数，指数函数的自变量是指数．
(2)指数函数是整个定义域上的单调函数，但幂函数却不一定．
(3)有些幂函数有奇偶性，但所有的指数函数都不具有奇偶性．
课堂总结1．2．应用幂函数的性质可以比较两个数的大小，当不便直接利用增减性时，可以找到0与1或其他中间数，这种方法可以称为“搭桥”法，另外比较两个函数值的大小还可以借助于图象法或作差法．
3．