课件27张PPT。1．理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边
相同的角．
2．会求某范围内与角α终边相同的角．
3.1 弧度制与任意角3.1.1 角的概念的推广角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内_________绕着_____从一个位置____到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
自学导引1．一条射线端点旋转逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是______
____．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与___________的和．
2.3．第几象限角α＋k·360°整数个周角若α是第四象限的角，那么 是第二象限的角吗？如果不是，请说明理由．
自主探究5分钟的时间，分针所转过的角度是 ( )．
A．360° B．－360°
C．5° D．－30°
答案 D
下列各角中是第二象限角的有________个 ( )．
①125° ②195° ③－200° ④179°
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①、③、④中的角都是第二象限角，故选C.
答案 C
预习测评1．2．与25°角终边相同的角的集合是 ( )．
A．{α|α＝25°＋360°}
B．{α|α＝25°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝25°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－25°＋k·360°，k∈Z}
答案 C
在0°～360°范围的与－30°终边相同的角是________．
答案 330°3．4．对象限角的认识
(1)象限角的前提条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角(或者说这个角属于第几象限)．各象限角的集合表示如下：
第一象限角：
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；
第二象限角：
名师点睛1．{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}；
第三象限角：
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}；
第四象限角：
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}．
(3)角的终边若落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称它为轴线角(或称为象限界角)．轴线角的集合表示如下：
{α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z} {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
对终边相同的角的认识
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合．2．(2)对于与角α终边相同的角的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}明确以下几点：k为整数；α为任意角；k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成是k·360°＋(－30°)；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角．
(1)420° (2)－75° (3)855° (4)－510°
解 作出各角的终边如图所示：
题型一 终边相同的角与象限角【例1】典例剖析由图可知(1)420°是第一象限角；(2)－75°是第四象限角；
(3)855°是第二象限角；(4)－510°是第三象限角．
点评 象限角的判定其实有两种方法：一是图象观察法
(如上)，二是转化为与0°～360°角终边相同的角(今后常用)．
在与1 089°角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)在－360°～720°内；(2)最大的负角；(3)最小的正角．
解 与1 089°角终边相同角的一般形式为α＝k·360°＋
1 089°(k∈Z)．
(1)由－360°≤α＜720°，得－360°≤k·360°＋1 089°＜720°(k∈Z)，－1 449°≤k·360°＜－369°(k∈Z)，
所以k＝－4，－3，－2，
所以在－360°～720°内与角1 089°终边相同的角分别为
－351°、9°、369°.
(2)由α＜0°，得k·360°＋1 089°＜0°(k∈Z)，
1．(3)由α＞0°，得k·360°＋1 089°＞0°(k∈Z)，
写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解 终边在直线y＝x上的第一象限角的集合为
M＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，
第三象限角的集合为N＝{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}．
∴终边在直线y＝x上的角的集合为
M∪N＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
题型二 终边在一条直线上的角【例2】写出终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合．
解 第二象限时，α＝k·360°＋135°，k∈Z；第四象限时，α＝k·360°＋315°＝k·360°＋180°＋135°，即第二象限角α＝k·360°＋135°＝2k·180°＋135°，第四象限角α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z，综合知：终边在第二、四象限角平分线的角的集合{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
2． 已知α是第二象限角，试确定2α， 的终边所在的位置．
解 因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.
所以2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．
因为k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，
题型三 相关角所在象限的判定【例3】已知α是第三象限角，则 是 ( )．
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第四象限角
D．第二或第四象限角
3．答案 D
若α是第三象限的角，则 是 ( )．
A．第一象限的角
B．第三象限的角
C．第四象限的角
D．第一象限或第三象限或第四象限的角
误区警示 以偏概全而出错
【示例】答案 D
任意角包括正角、负角、零角．在平面直角坐标系中，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限就叫做第几象限角，当角的终边在坐标轴上时叫做轴线角(或象限界角)．与α终边相同的角有无数多个，这无数多个组成的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
课堂总结1．2．由α所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：
(1)画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；
3.(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(如图所示)；
(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．
由α所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：
4．(1)画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；
(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示；
(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．
课件24张PPT。1．理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算．
2．理解弧度制下，任意角的集合与实数集之间建立一一
对应的关系．
3．掌握扇形的弧长公式及扇形的面积公式．
3.1.2 弧度制角的单位制
(1)角度制：规定周角的 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称作弧度(radian)，这样的单位制称为弧度制(radian measure)．
自学导引1．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α＝x弧度所对的弧长为l，那么l，x，r之间存在的关系是： ;
这里x的正负由角α的__________________决定．正角的弧
度数是一个____，负角的弧度数是一个____，零角的弧度数是__．
角度与弧度的互化
(1)周角＝360°＝2π弧度；
_______ 弧度，
终边的旋转方向正数负数02．0.017 45 1扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
3．自主探究下列叙述中，正确的是 ( )．
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角
的一种度量单位
答案 D
预习测评1．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是 ( )．
2．答案 A在半径为2的圆中，圆心角为 所对的弧长是________．
3．α＝kπ＋ (k∈Z)表示的角的终边在________上．
答案 y轴4．弧度制的有关概念
关于弧度制的理解，主要明确如下几点：
名师点睛1．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，“弧度”或“度”仅仅是为了能使角的概念描述得更具体而设置的一个“过渡量”，这对于推广角的概念有积极的意义．
角度制与弧度制的区别与联系
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度“°”为单位表示角时，度“°”就不能省去．
2．(2)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．
(3)需注意的一个问题，在今后表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度制表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，例如：α＝2kπ＋30°
(k∈Z)，β＝k·360°＋ π(k∈Z)都是不允许的．
(1)将下列各角度化成弧度：①1 080°；②－750°；
(2)将下列各弧度化成角度：①－ ；② .题型一 角度制与弧度制的换算【例1】典例剖析1. 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)
题型二 弧度制表示角的范围【例2】点评 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负角之间的转化．
用弧度制表示第二象限角的集合为________．
2． 解答下列各题：
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，题型三 扇形的弧长与面积【例3】①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8>2π舍去．
(2)设扇形的圆心角为x，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，
∴l＝40－2r，
已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积．
3． 将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．
错解 因为－1 485°＝－4×360°－45°
＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°化为2kπ＋α形式应为－10π＋315°
答案 －10π＋315°
错因分析 只考虑了将－1 485°写成了“2kπ”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者易犯的一个错误．
误区警示 因角度制与弧度制混用而出错【示例】正解 由－1 485°＝－5×360°＋315°，
纠错心得 表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制，不能混用．
角度制与弧度制的互化：熟记基本关系180°＝π弧度．然后用公式 进行求解，并注意各自的单位．
角进行了推广后，实数与角之间建立了一种一一对应关系，即每一个角都有唯一的实数与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．
使用弧度制下的弧长公式，扇形面积公式有诸多优越性，但是如果已知角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算．
课堂总结1．2．3．
