课件31张PPT。1．理解任意角三角函数的概念，掌握三角函数在各个象限
的符号．
2．了解三角函数线，会画角的正弦线、余弦线、正切线．
3.2 任意角的三角函数3.2.1 任意角三角函数的定义三角函数的定义
如图，在α的终边上任取一点P(x，y)，
(原点除外)
设OP＝r(r≠0)．
定义
自学导引1．依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ± (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都
是以α为自变量的函数，分别叫做角α的____________、
_________和_________．
三角函数的定义域
余弦函数正弦函数正切函数2．RR3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
4．正弦线、余弦线、正切线统称为___________．
三角函数线当α∈(0， )时，你能比较α，sin α，tan α这三者之间的大小吗？
自主探究提示 如图，设角α的始边与单位圆的交点为A，角α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线交x轴于M点过A点作单位圆的切线，交OP的延长线于T点，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
已知α的终边与单位圆的交点为 ，则tan α＝ ( )．预习测评1.答案 C已知sin α＞0，则α为 ( )．
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角
D．第三象限角
答案 C
下列各式的值为正的是 ( )．
A．cos 2－sin 2 B．cos 2·sin 2
C．tan 2·cos 2 D．sin 2·tan 2
解析 ∵2是第二象限角，∴cos 2<0，tan 2<0，
∴tan 2·cos 2>0.
答案 C
2．3．4.对三角函数定义的理解
(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P的横坐标x等于0，则tan α无意义．
名师点睛1．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
对三角函数线的理解
(1)三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦
2．线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
(2)三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
(3)三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．
(4)注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
已知角α的终边为射线y＝－ x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
题型一 利用定义求三角函数值【例1】典例剖析点评 利用任意角三角函数的定义，求角α的三角函数值，则只要在角α终边上任取一点，就可利用其坐标求解．
求cos θ与tan θ.
1. 求下列函数的定义域：
题型二 三角函数的定义域【例2】点评 求三角函数的定义域，除了使已知的式子有意义之外，三角函数本身的定义域也不可忽视，如tan x中x的取值要特别注意．
2. 判断下列各式的符号：
(1)sin 340°·cos 265°；
题型三 三角函数值的符号【例3】解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，
∴sin 340°·cos 265°＞0.
点评 三角函数值“符号看象限”，熟练掌握各象限内的三角函数值符号，是解题的基础，对绝对值大于360°或2π的角，可通过找出0°～360°(或0～2π)内与终边相同的角判断其象限．
若cos θ<0且sin θ>0，则 是第________象限角． ( )．
A．一 B．三 C．一或三 D．任意象限角
3.答案 C 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围：
题型四 三角函数线的应用【例4】点评 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：(1)熟悉角α的正弦线、余弦线、正切线；(2)先找到“正值”区间，即0～2π中满足条件的角α的范围，然后再加上周期；(3)注意取值区间是开区间还是闭区间．
利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1.
4．证明 当α终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.
当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有
|sin α|＋|cos α|＝|OP|＋|MP|>1，
∴|sin α|＋|cos α|≥1.
设0≤α＜2π，若sin α＞ cos α，则角α的取值范围是
( )．
误区警示 因不注意三角函数值的符号而出错
【示例】答案 A答案 C纠错心得 不等式的两边乘以(或除以)一个正数，不等号不改变方向；不等式的两边乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向．本题的cos α可为正、也可为负、还可为零，因此，不等式的两边同除以cos α，要分情况讨论．本题利用了三角函数线求角的取值范围，利用三角函数线求角的取值范围的方法是：先画出单位圆，再根据三角函数线的定义找出“临界”函数线，接着确定满足不等式的角的终边所在的范围．
利用三角函数的定义求三角函数值时，要注意对含参数问题的讨论．
借助三角函数的定义，在理解的基础上记忆三角函数值在各象限内的符号，并熟记特殊角的三角函数值．
特殊角的三角函数值如下表：
课堂总结1．2．三角函数线是三角函数的几何表示，它体现了三角函数中的数形结合思想．其应用表现在以下三个方面：(1)证明有关不等式；(2)解三角不等式；(3)比较大小．3.课件28张PPT。1．掌握同角三角函数的基本关系式的推导方法．
2．会用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、求任意
角的三角函数值，证明简单的三角恒等式．
3．通过同角三角函数的基本关系式的推导进一步理解三角函
数的定义，体会数形结合思想．通过同角三角函数的基本
关系的应用，感受转化与化归思想在三角函数中的作用．
3.2.2 同角三角函数之间的关系同角三角函数的基本关系式
(1)__________________．
自学导引1．sin2α＋cos2α＝1(2)．基本关系式的常用变形
(1)sin2α＝____________；cos2α＝___________；
(2)(sin α＋cos α)2＝_________________；
2．1－cos2α1－sin2α1＋2sin αcos α(3)(sin α－cos α)2＝________________；
(4)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；
(5)sin α＝______________；
(6)cos α＝ 1－2sin αcos α2cos αtan α.自主探究若sin α＝ 且α为第一象限角，则tan α的值是 ( )．
预习测评1．答案 D已知sin α＝ ，且α为第二象限角，则cos α的值为 ( )．
2．答案 D化简＝ ________．
答案 cos 10°－sin 10°
3．若θ是△ABC的内角，且sin θ·cos θ＝－ ，则sin θ－cos θ
的值为________．
4.对基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1；名师点睛1．(3)公式的应用非常广泛，除记住公式的原型外，还应注意公式的逆用和变形．
三个基本思想方法
(1)“1”的代换．为了解题的需要有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
(2)切化弦．利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数．
(3)整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．
2．化简或证明应注意的问题
(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，化简结果尽可能使项数少，函数的种类少、次数低，能求出值的要求出值，无根式、无分式等．
(2)证明简单的三角函数关系式常用的途径有：①由左边推至右边，或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则；②两边夹法，即左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用；③左边－右边＝0，或
＝1，通过作差或作商，将原式转化为一个等价的、更便于证明的等式．
3．(3)在计算、化简或证明三角函数式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切；多项式运算技巧的运用，如因式分解等；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．
(4)运用三个基本关系式进行化简、求值、证明时，主要是灵活运用公式，消除差异，其思维模式归纳为三点：
①发现差异：观察角、函数、关系结构的差异；
②寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
③合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
在解决问题的过程中，要注意运用方程的思想、等价转化的思想和分类讨论的思想等．
题型一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值
【例1】典例剖析点评 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
1.题型二 化简与证明
【例2】点评 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．特别需要注意的是去根号时的正负问题．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．(4)化简结果的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．
2. 已知tan α＝3，求下列各式的值：
题型三 已知α的正切值的求值问题【例3】点评 将所求三角函数式通过恒等变形，用已知三角函数表示出来，是一种整体思想，利用“1＝sin2α＋cos2α”将常数转化为三角函数，是一种重要的三角变换技巧，须切实领会和掌握，本例中，若由tan α＝3分别求出sin α和cos α的值，则需讨论α是第一还是第三象限角，这无疑会增加计算量，走许多弯路．
已知tan α＝2，求下列各式的值：
3． 已知sin α＝m，|m|≤1，试用m表示cos α与tan α.
误区警示 因未按角α所在的象限分类讨论而出错【示例】纠错心得 当角α的某个三角函数的值含有字母，则应按字母的取值确定角α所在的象限，然后才好用这个字母表示角α的其它三角函数值．
根据同角三角函数的基本关系式，如果知道一个角的某一个三角函数值，可以求出这个角的其它两个三角函数值．在利用平方关系进行开方时，一定要注意判定角的范围，从而确定正确的符号．
课堂总结1．2．课件29张PPT。1．理解诱导公式的推导方法，体会数学知识的“发现”过程．
2．掌握诱导公式，能用它们解决有关问题．
3.2.3 诱导公式角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
自学导引1．2.角α与－α的三角函数间的关系
3．角α与π＋α的三角函数间的关系
4．角α与π－α的三角函数间的关系
自主探究sin 210°＝ ( )．
预习测评1．答案 BA．sin 3－cos 3 B．cos 3－sin 3
C．±(sin 3－cos 3) D．以上都不对
2.答案 A3.cos 135°＝________.
4．诱导公式法则
kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面添上一个把α看成锐角时原来函数值的符号．简记为：“函数名不变，符号看象限”．
关于诱导公式需要注意的问题
(1)公式(一)
①公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．
②公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 角的三角函数值．
(2)公式(二)
名师点睛1．2．利用公式(二)，我们可以用正角的三角函数表示负角的三角函数．
(3)公式(三)(四)
由公式(一)和(三)(四)可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即
求下列各式的值．题型一 给角求值【例1】典例剖析点评 此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．
已知α是第三象限角，且
1．题型二 给值求值【例2】点评 观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2.题型三 化简三角函数式【例3】k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，仿上可得原式＝－1.
从而对任意整数k，都有原式＝－1.
法二 由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得：sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，
cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，
点评 解决此类问题常见方法：
(1)为便于运用诱导公式必须把k分成偶数、奇数两种情况讨论．
(2)观察式子结构，注意到(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，用配角的方法解决．
3.误区警示 对由三角函数复合所得的函数认识模糊而出错【示例】诱导公式分两类，一类是函数名不变，另一类是函数名改变(正弦变余弦，余弦变正弦)，这两类公式中的符号都由角所在象限确定．常记作“函数名不变，符号看象限”和“函数名改变，符号看象限”．
求任意角的三角函数的步骤：
课堂总结1．2．
