课件23张PPT。1．会用正弦线画正弦曲线，会利用平移作余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线的简图．
3.3 三角函数的图象与性质3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(一)
正弦函数图象的画法
(1)几何法—借助三角函数线；
(2)描点法—五点法．
函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上起关键作用的点有以下五个：
自学导引1．余弦函数图象的画法
(1)依据诱导公式cos x＝sin ，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向__平移 个单位长度即可．
(2)用“五点法”画出余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：
2．左函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
自主探究在同一坐标系里作出函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k.
由图可知，当函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点时，k的取值范围是
1＜k＜3.
正弦曲线上最高点的纵坐标是 ( )．
预习测评1．答案 Dy＝1＋sin x，x∈[0，2π)的图象与直线y＝ 有______个交点 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
在[0，2π]上，f(x)＝cos x的零点有________个 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
2．3．在“五点法”中对于正弦曲线，最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于 ( )．
4．答案 B正弦曲线的几何作法
利用单位圆中的正弦线，可以作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，具体分为如下五个步骤：
(1)作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆．
(2)把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)如图．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0， …，2π等角的正弦线．
名师点睛1．(3)找横坐标：把x轴上从0～2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
(4)找纵坐标：将正弦线对应平移，即可找出相应的12个点．
(5)连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
我们通过图象的平移作正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．
下图是正弦曲线y＝sin x，(x∈R)的图象：
“五点法”
在精确度要求不太高的情况下，可用五点法作出y＝sin x的图象，x∈[0，2π]的图象上有五点起决定作用，它们是(0，0)、 (2π，0)．描出这五
2．点后，其图象的形状基本上就确定了．
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做“五点法”．
作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x，x∈[0，2π]；
(2)y＝－1－cos x，x∈[0，2π]．
解 (1)利用“五点法”作图
列表：
?
题型一 “五点法”作图【例1】典例剖析描点作图，如图所示：
(2)列表：
描点作图，如图所示．
点评 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
作出函数y＝ 的图象．
解 原函数可化为y＝|sin x|，
作出函数y＝sin x的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，其图象如图：
1. 求函数y＝lg sin x＋ 的定义域．题型二 利用图象求定义域【例2】点评 求有关正弦函数、余弦函数的定义域问题，就是先列出使函数解析式有意义的关于sin x和cos x的不等式或不等式组，再借助正弦曲线、余弦曲线找出使不等式成立的x的取值范围．此类问题也可借助单位圆中的正弦线、余弦线求解．
函数y＝ 的定义域是______________．
2. 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
解 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
题型三 利用三角函数的图象判断方程解的个数【例3】由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
点评 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
方程sin x＝x的实数解的个数为 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．5
解析 在同一平面直角坐标系中，作出直线y＝x和正弦曲线y＝sin x，观察图象可知，x＝0是方程的一个实数解．而在(0，＋∞)上总有sin x答案 A
3． 当x∈[ ，π]时，sin x＝2m－1，求实数m的取值范围．
错解 因为－1≤sin x≤1，所以－1≤2m－1≤1，解得m的取值范围0≤m≤1.
误区警示 不注意三角函数的取值范围而出错【示例】纠错心得 三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数的取值范围，最后求出正确答案．
正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在同一直角坐标系下的位置不同．
三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．
关键点指的是图象的最高点、最低点及与x轴的交点．
利用正弦曲线、余弦曲线，可以根据三角函数值的范围判断角的范围，也可以判断某些超越方程实数解的个数．要求准确作图，数形结合，综合分析．
课堂总结1．2．3．4．课件20张PPT。1．理解正弦函数、余弦函数单调性的概念，能够解决一
些有关三角函数单调性的问题．
2．利用正弦函数、余弦函数的图象与性质比较大小．
3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(三)y＝sin x
单调性：正弦函数y＝sin x在每一个闭区间
(k∈Z)上，都从－1增大到1，是自学导引1．增函数；在每一个闭区间 (k∈Z)
上，都从1减小到－1，是减函数．y＝cosx
单调性：余弦函数在每一个闭区间_______________________上都是减函数，它的值由1减小到－1；在每一个闭区间
___________________________上都是增函数，它的值由－1增大到1.
2．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的单调区间？
提示 求这类函数的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y＝sin x或y＝cos x相关的单调区间所对应的不等式，解之即得，这里实际上是整体的思想．
自主探究函数y＝ sin x在[－π，π]上的单调递增区间为 ( )．
预习测评1.答案 C函数y＝cos 2x的单调递减区间是 ( )．
A．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
2．答案 B函数y＝cos x在[－2π，0]上的单调递减区间为________．
答案 [－2π，－π]
不求值，判断下列各式的值的符号．
(1)sin 1－sin 1.2；
3．4．三角函数单调性的理解
正弦函数、余弦函数在实数集R上的单调递增(减)区间有无数多个，意思是在各个单调区间上单调递增(减)，切忌将单调递增(减)区间取并集．“函数y＝sin x在第一象限是增函数”是一种常见的错误认识．
名师点睛题型一 正弦函数、余弦函数的单调性【例1】典例剖析点评 应首先弄清函数是由哪两个函数构成，再结合y＝sin x、y＝cos x的单调区间求解．
函数y＝2－cos x的单调递增区间是 ( )．
A．[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
B．[kπ＋π，kπ＋2π](k∈Z)
1．D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
解析 令u＝－cos x，则y＝2u，
∵y＝2u在u∈(－∞，＋∞)上是增函数．
∴y＝2－cos x的单调递增区间，即u＝－cos x的单调递增区间，即v＝cos x的单调递减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
答案 D
比较下列各组数的大小：题型二 比较三角函数大小【例2】点评 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．不求值，判断下列各式的值的符号．
(1)sin 194°－cos 160°；
2. 已知函数y＝sin ωx在区间[ ]上是减函数，则ω的取值范围是 ( )．
误区警示 因对题意分析不清而出错【示例】答案 C错因分析 解题中出现错误的原因在于忽视了对ω符号的判断；另外，由于对函数的单调区间掌握不熟而出错．
答案 A
纠错心得 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其单调性与ω的符号有关系．解题时要注意分析所给条件，避免以上错误出现．
对于未知数系数为负数的三角函数的单调性，要先把未知系数变为正数，再结合复合函数的单调性求解．
利用正弦、余弦函数的单调性还可以比较三角函数值的大小，但利用单调性判断两角的三角函数值的大小时，必须将两角的同名三角函数化到同一单调区间内才能比较大小．
课堂总结1．2．课件23张PPT。1．理解正弦函数、余弦函数的奇偶性的概念，并能够判
断和应用三角函数的奇偶性．
2．理解正弦函数和余弦函数的对称性．
3．理解正弦函数、余弦函数最大值和最小值的概念，会
求三角函数的最值或值域．
3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)
正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__，定义域关于____对称．
(2)由sin(－x)＝______知正弦函数y＝sin x是__上的__函数，它的图象关于_____对称．
(3)由cos(－x)＝____知余弦函数y＝cos x是R上的__函数，它的图象关于____对称．
自学导引1．R原点－sin xR奇原点cos x偶y轴y＝sin x的定义域为__，值域为________．y＝cos x的定义域为__，值域为________．
正弦函数y＝sin x
(1)最大值1，当且仅当x＝ ＋2kπ(k∈Z)时取得；
2．3．R[－1，1]R[－1，1](3)图象与x轴的交点(y＝0的点)的坐标为(kπ，0)，(k∈Z)．
余弦函数y＝cos x：
4．已知f(x)＝sin(2x＋φ)，试求φ为何值时：(1)f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？
提示(1)∵f(x)的定义域为R.
∴当f(x)为奇函数时必有f(0)＝0，
即sin φ＝0，∴φ＝kπ(k∈Z)．
即当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数．
(2)∵偶函数的图象关于y轴对称，且正余弦函数在对称轴处取最值．
∴要使f(x)为偶函数，需有f(0)＝±1，
自主探究函数f(x)＝sin 3x是 ( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 A
预习测评1．2.答案 B函数y＝4sin(2x＋π)关于 ( )．
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝ 对称
答案 B
3．设M和m分别是函数y＝ cos x＋1的最大值和最小值，则M－m等于 ( )．
4．答案 B根据正弦函数和余弦函数的奇偶性与周期性可知，正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．
(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．正弦曲线的对称轴为x＝kπ＋ k∈Z)，余弦曲线的对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
名师点睛1．2． 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝－3cos 2x；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
解 (1)显然x∈R，
∵f(－x)＝－3cos(－2x)＝－3cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
题型一 正弦函数、余弦函数的奇偶性【例1】典例剖析∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
点评 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．
A．奇函数 B．非奇非偶函数
C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析 ∵f(x)＝xsin x，定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)
＝xsin x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
答案 C
1.题型二 图象的对称性【例2】点评 正弦函数、余弦函数图象的对称轴就是过最值点且垂直于x轴的直线，对称中心是其图象与x轴的交点．但正、余弦函数在某个指定区间内的图象，不一定有对称轴或对称中心．如函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象有一个对称中心(π，0)，但没有对称轴；函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象有一条对称轴x＝π，但没有对称中心．
函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是
( )．
2.答案 A 求下列函数的最大值和最小值：
题型三 正弦函数、余弦函数的最值
【例3】点评 求三角函数的最值(或值域)，方法灵活，因题而异，其基本思路是将所求函数的最值(或值域)转化为正、余弦函数的最值(或值域)．
3.误区警示 在求msin x的最值时考虑不周全而出错【示例】错因分析 函数y＝a＋bsin x的最值受b的影响，当b＞0时，最大值为a＋b，最小值为a－b；当b＜0时，最大值为a－b，最小值为a＋b.
纠错心得 对于msin x及mcos x，不能简单地认为它们的最大值为m，最小值为－m.应按m的符号进行讨论．一般地，msin x及mcos x的最大值为|m|，最小值为－|m|.
讨论对称问题时要注意最值点、平衡点的必然联系，形成思维网络．
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，判断函数定义域关于原点对称后，可先把解析式化简后再判断奇偶性．函数的奇偶性体现了图象的对称性，要牢记正弦曲线、余弦曲线的对称轴与对称中心．
讨论三角函数的所有性质都要在其定义域内进行．
课堂总结1．2．3．课件26张PPT。理解并掌握正切函数的奇偶性、单调性、值域等相关性质．
3.3.2 正切函数的图象与性质正切曲线
正切函数的图象叫_________，如下图所示：
自学导引1．正切曲线正切函数的性质
2．(2)值域：R.
(3)奇偶性：正切函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)，即
tan(－x)＝－tan x.
自主探究f(x)＝tan 3x是 ( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 A
预习测评1．2.答案 CA．[－1，1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
3.答案 B函数y＝tan x的图象的一个对称中心坐标为 ( )．
4.答案 D正切函数性质的理解
(1)学习正切函数的性质，应类比正弦函数和余弦函数，注意有哪些相同与不同之处，既便于理解记忆又可避免混淆．
名师点睛1．(2)正切曲线不但关于正切曲线与x轴的交点中心对称，而且在x轴上正切函数无意义的点也是正切曲线的对称中心．
2.题型一 正切函数的性质
【例1】典例剖析1. 利用正切函数的单调性比较下列函数值的大小：
题型二 正切函数单调性的应用【例2】比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
答案 tan 22． 利用正切函数的图象求满足下列条件的x的集合，
tan x≥1.
题型三 正切曲线的应用【例3】点评 解三角不等式tan x>m(或3.答案 D误区警示 因对正切函数的单调性理解不清而出错
【示例】纠错心得 函数y＝tan(－x)与y＝tan x的单调性恰恰相反，因此在解题时，一般先把ω＜0的情况变形为ω＞0的情况后再求解．
作正切函数的图象一般是用几何法或描点法，而在运用正切函数的图象解决问题时，主要是根据正切函数的基本形状以及它的性质画草图．
正弦、余弦、正切函数的图象与性质比较如下表：
课堂总结1．2．
