课件22张PPT。1．理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小
正周期．
2．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．
3．理解y＝sin x的图象与y＝Asin ωx的图象之间的变换关系．
4．掌握参数A、ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质3.4.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
3.4.1 三角函数的周期性
函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在__________，使得当x取定义域内的_________时x±T都有意义，_________
____，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)一般地，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的___________．
(3)2π是y＝sin x，y＝cos x的最小正周期，π是y＝tan x的最小正周期．
自学导引1．非零常数T每一个值f(x±T)＝f(x)最小正周期2.图象的伸缩变换
(1)一般地，对任意A>0，A≠1，函数y＝Asin x，x∈R的图象可以由y＝sin x的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A得到．y＝Asin x的周期仍是2π，值域为[－A，A]，最大值和最小值分别为A和－A.
3．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它的最小正周期是多少？
自主探究1．答案 C预习测评y＝|cos x|的周期是 ( )．
2．解析 由函数y＝|cos x|的图象可知，它的周期T＝π.
答案 B
把y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的 得到函数________的图象 ( )．3.答案 A4.答案 D对函数周期的理解
(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f(x±T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．例如：
名师点睛1.(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．
(5)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定是函数的周期．
(6)在周期函数中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z，且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．
(1)这种y＝sin x与y＝Asin x(A>0)之间的图象变换实质上是纵向的伸缩．
(2)对于函数y＝sin x与y＝sin ωx(ω>0)之间的图象变换实质上是横向的伸缩．
2． 求下列函数的周期．题型一 三角函数的周期性【例1】典例剖析(2)作出y＝|sin 2x|的图象．
(2)求函数的最小正周期的常用方法有：①定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质(如本例中sin(x＋2kπ)＝sin x)，进而推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T即可．②图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象便可求出T.③结论法，即利用上述结论求形如y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
1. 如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3 sin 2x的图象？
题型二 图象的伸缩变换【例2】把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，所得函数图象所对应的解析式为_______．
2. 判断函数f(x)＝tan|x|的周期性．
错解 当x＞0时，f(x)＝tan|x|化为y＝tan x，它是周期函数，周期为π；当x＜0时，f(x)＝tan|x|化为y＝－tan x，它也是周期函数，周期为π.故函数f(x)＝tan|x|是周期函数，周期为π.
错因分析 函数的周期性是对整个定义域而言的，而这种错误解法把一个应整体考虑的问题人为地分割成x＞0和x＜0两部分，使得函数表面看起来是周期函数，其实不然．
误区警示 未透彻理解周期函数的定义而出错【示例】纠错心得 判断一个函数是周期函数，需要按照定义进行证明．指出一个函数不是周期函数，则只须举一反例即可．本例也可以通过画出其图象来说明它不是周期函数，当x＞0时，f(x)＝tan|x|化为f(x)＝tan x，它的图象是可知的，再将这部分图象以y轴为对称轴作出其在y轴左侧的图象，整个图象如图，即可知道它不是周期函数．
周期性是三角函数的重要性质之一，周期的求法有定义法、公式法、图象法等．
伸缩变换
y＝af(x)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0
0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(01)为原来的 倍(纵坐标不变)而得到．课堂总结1．2．课件34张PPT。1．会通过变换由y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2．借助图象，观察参数φ对函数图象变化的影响．
3.4.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)图象的平移变换
函数y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦
曲线上所有点_______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平
行移动_____个单位而得到的．
自学导引1．向左向右|φ|函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象可以看作是由下面的方法得到的：先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向左(右)平移______个单位长度，得到函数y＝sin(x ＋
φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2．|φ| 倍，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的_____倍，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
A3．在y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A叫简谐振动的_______，
它是简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离，周期T＝
，它是单位时间内往复运动的次4．振幅数，ωx＋φ称为_______，x＝0时的相位φ称为______．
相位初相自主探究预习测评1.答案 B2.答案 A将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移 个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，则所得到的图象的解析式为 ( )．
3.答案 C4.作图和用图
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，无论是由解析式作图象，还是利用图象求解析式，都必须牢记五个点，明确这五个点的坐标与它们在图象上的位置，这是解决此类问题的关键．这五个点的坐标依次是名师点睛1．它们在图象上的位置依次是第一个零点(也叫上始点，即“上弓形”的始点)，最高点，第二个零点(也叫下始点，即“下弓形”的始点)，最低点，第三个零点(也叫终点，也是下一个周期的第一个零点)．
图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法的变换顺序如下：
2．由图象或部分图象确定解析式
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)能准确地研究其图象和性质，反过来，已知它的图象或部分图象，怎样确定它的解析式呢？解决问题的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ：
(1)A：一般可用图象上的最高点和最低点来确定A.
3． 作出函数y＝3sin －1的简图，并写出它的周期、频率、相位、初相、振幅及单调区间．
解 列表：
题型一 由解析式作图象【例1】典例剖析描点连线，如图所示：
1.解 列表：
描点画图：
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的单调递增区间．题型二 由图象求解析式【例2】如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象，
求此函数解析式．
2．题型三 图象变换问题
【例3】描点画图(如下图所示)：
3. 下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象，请写出它的解析式．
误区警示 看图不仔细导致处理|φ|不当而出错【示例】错因分析 由于没有注意点(π，0)是“五点法”的第几点，只注意|φ|＜π，得出了两个φ值的错误．
纠错心得 在由图象求解析式时，一定要抓住题中所给的点是“五点法”的第几点，这样，不仅可以避免解题时出错，而且会使解题简便快捷．
图象变换中，先伸缩后平移和先平移后伸缩，其平移量通常是不一致的．
课堂总结1.2．课件29张PPT。1．能够根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象求出y＝
Asin(ωx＋φ)＋b的解析式．
2．会收集数据，利用收集到的数据作出散点图，根据散
点图进行函数拟合，建立三角函数模型，会利用三角
函数模型解决实际问题．
3.4.3 应用举例三角函数的周期性
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝ ；
(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝ ；
(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝ ；
(4)y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是 ；
(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是 ；
(6)y＝|Atan(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是 .
自学导引1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的性质
(1)ymax＝_____，ymin＝_______．
2．A＋k－A＋k(2)A＝ ，k＝ ．
(3)ω可由 确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝____，ωx2＋φ＝ ，ωx3＋φ＝_____，
ωx4＋φ＝ ，ωx5＋φ＝_______中的一个确定φ的值．
0π2π如图，已知一长为 dm，宽1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
自主探究预习测评1.答案 B2.答案 A将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放，并同时开始计时取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是 ( )．
3．答案 D如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋
4.2，则有 ( )．答案 A利用三角函数模型研究的常见问题
可用三角函数模型解决的几类问题如下：
(1)在日常生活中的应用
(2)在建筑学方面的应用
(3)在航海中的应用
(4)在气象学中的应用
(5)在天文学中的应用
(6)在物理学中的应用
名师点睛1．解三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
(1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，明确叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
(2)建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了数学问题．
2．(3)解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．
(4)还原评价
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，给出答案．
单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin ，t∈[0，＋∞)．题型一 正弦型函数的应用【例1】典例剖析(1)作出它的图象；
(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少？
(4)单摆来回摆动一次需多长时间？
解 (1)列表：
如图弹簧挂着的小球作上下振动，时间t(s)与小球相对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是h＝2sin(t＋ )，t∈[0，＋∞)，回答下列问题．
1．(1)小球开始振动的位置在哪里？
(2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别为多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)?
(4)小球每1 s能往复振动多少次？
某港口在某季节每天的水深y(m)与时间t(h)的观测数据及其关系如下表：题型二 构建函数模型【例2】(1)选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y(m)与时间(h)的函数关系；
(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5 m时是安全的．如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？(忽略进、离港所用的时间)
解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(如下图)．
根据散点图，可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h来拟合水深与时间之间的对应关系．
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故船在安全航行时水深应不少于11.5 m.
即12k＋1≤t≤12k＋5，(k＝0，1)．
∴1≤t≤5或13≤t≤17.
所以，该船在凌晨1时进港，5时出港；或下午13时进港，下午17时出港，即在港内停留的最长时间为8小时．
点评 由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化，才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作答．
已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
2．(1)根据以上数据选用一个适当的函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)根据数据及其图象可以用y＝Acos ωt＋b来表示，海浪的高度y(米)与时间t(小时)之间的对应关系．
由表中数据，知周期T＝12，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5， ①
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ②
即12k－3∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0，1，2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.
某弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐振动，A与B相距10 cm，振子从A到B需5秒，则振子从O点开始经过10秒所经过的路程和位移分别为 ( )．
A．20 cm和20 cm B．20 cm和10 cm
C．10 cm和20 cm D．20 cm和0 cm
错解 因为从A到B需5秒，而A与B相距10 cm，所以10秒所经过的路程是20 cm，位移也是20 cm.故选A.
错因分析 路程与位移是有区别的，路程只有大小没有方向，而位移不仅有大小，而且有方向．
误区警示 混淆路程与位移而出错【示例】正解 因为从A到B需5秒，而A与B相距10 cm，所以10秒所经过的路程是20 cm.而位移有方向，振子从O点开始经过10秒后仍回到了原点，其位移为0 cm.故选D.
答案 D
纠错心得 位移是一个物理概念，在解答数学试题时，应把数学科与其它学科联系起来，这样才能避免出错．
三角函数的应用可分为三角函数的理论应用和三角函数的实际应用．
三角函数在理论上的应用主要表现在两个方面：
(1)主动地、有意识地实施三角代换，把一些三角函数以外的数学问题迁移到三角函数环境中来，使问题得到简化，实施三角代换的优势体现在三角函数中有体系完整的公式可选用．
(2)三角函数作为一种工具应用于其他课题之中．
课堂总结1．2．三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题．三角函数应用题的特点是：
(1)实际问题的意义反应在三角形中的边、角关系上，这样的三角形有直角三角形、有斜三角形，有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形．
(2)函数的模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时同一个问题中三角函数与代数函数并存．
3．