课件25张PPT。1．掌握向量的加法运算，能够运用三角形法则和平行四
边形法则作向量的和向量．
2．掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量
运算．
4.2 向量的加法(一)
向量加法的定义
求________的运算，叫做向量的加法．
向量加法的运算法则
(1)三角形法则
自学导引1．2．向量的和叫做a与b的和(或和向量)，记作_____，即a＋b＝
．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a ＋0 ＝__ ＋_＝_．
(2)平行四边形法则
a＋b0aa以___，___为邻边作__________，则对角线上的向量ABAD平行四边形＝a＋b，如图所示．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝____．
(2)结合律：(____)＋c＝a＋(____)．
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向____，且
|a＋b|＝______．
若|a|<|b|，则a＋b与_的方向相同，且|a＋b|＝______．
3．b＋aa＋bb＋c相同|a|－|b|b|b|－|a|用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求a＋b，所得的结果一样吗？为什么？
提示 所得结果完全一样．
理由是，在如图的三角形法则中所得的三角形ABC与四边形法则所得的平行四边形ABCD中的三角形ABC是全等的．
自主探究在△ABC中，下列运算正确的是 ( )．
预习测评1．答案 D已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示 ( )．
2．答案 A3.答案 C如图，在平行四边形ABCD中 ，O是AC和BD的交点．
4．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
名师点睛1．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意和向量与两向量起点相同．
向量加法的多边形法则
2．有时，我们会遇到多段向量的合成，如果每次都采取平行四边形法则或三角形法则显得较为麻烦，那么是否可以将其加以简化呢？答案是肯定的，实际上，在三角形法则中，一个重要的原则是“首尾相接”，而向量的加法运算律使得多个向量的和的运算更为简便，在实际操作中只需重复使用三角形法则，便可以得到： ＋
其几何意义如图所示．
需说明的几点
(1)两个向量的和仍是一个向量．
(2)当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|(三角形两边之和总大于第三边)．
(3)当非零向量a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系
(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
3．4． 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
题型一 向量的加法法则
【例1】典例剖析点评 求作两个向量的和，一般用三角形法则或平行四边形法则，求作三个或三个以上向量的和，常用“折线法”．即先平移向量，使这些向量首尾相接，再连结第一个向量的起点和最后一个向量的终点，即得其和向量．
1. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．
题型二 向量加法中的化简与证明问题
【例2】点评 (1)要注意法则的应用；
(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．
如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列各式：
2． 如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
题型三 向量加法的应用【例3】一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．
解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，
即v风地＝v风车＋v车地
3．误区警示 混淆三角形的四心而出错
【示例】A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
错解 A
错因分析 由于记不住三角形四心的定义及四心的性质，导致出错．
答案 B
纠错心得 内心是三角形的三条角平分线的交点，内心到三角形各边的距离相等；外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；垂心是三角形的三条高的交点；重心是三角形的三条中线的交点，重心到对边中点的距离是到对应顶点的距离的一半．记住四心的定义及性质是解答此题的关键．解答向量问题有很多地方要用到初中所学的平面几何知识，要注意及时复习．
向量的加法法则源自物理上力的合成，有着深刻的物理背景及其严格的几何图形，它不同于数量的加法．
向量加法三角形法则中，当a与b共线时，a＋b体现在“线段”的伸长或缩短；当a与b不共线时，a，b，a＋b对应的有向线段围成三角形．平行四边形法则适用于两个不共线的向量．当两个向量不共线时，三角形法则与平行四边形法则是一致的，在处理不同问题时，各有其优势．
向量的加法满足交换律和结合律．
课堂总结1．2．3．课件27张PPT。1．理解零向量的意义．
2．理解相反向量的意义，掌握向量减法运算及其几何意义．
3．能熟练地进行向量减法运算．
4.2 向量的加法(二)
零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作_ 零向量没有确定的方向．
自学导引1．0相反向量
与a___________________的向量，叫做a的相反向量，记作___．
(1)规定：零向量的相反向量仍是_______；
(2)－(－a)＝__；
(3)a＋(－a)＝________＝__；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝___，a＋b＝__.
2．长度相等，方向相反－a零向量a(－a)＋a0－a0由向量的加法可以定义向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋____，即减去一个向量相当于加上这个向量的_________．
3．(－b)相反向量___＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量_的终点指向向量_的终点的
向量．
ba或简记“终点向量__始
4.减点向量”．
对任意向量a，b，式子≤|a－b|≤|a|＋|b|能成立吗？如果成立的话，在什么时候取等号？
提示 式子≤|a－b|≤|a|＋|b|是成立的．
(1)若a，b中有零向量，则上式取“＝”号；
(2)若a，b均为非零向量，
①若a，b同向共线，则|a－b|＝||a|－|b||；
②若a，b反向共线，则|a－b|＝|a|＋|b|；
自主探究下列四个等式：
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a－b＝a＋(－b)．其中正确等式的个数为 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 ①、②、④三个正确，③应等于0而不是数0，所以③错．
答案 C
预习测评1．在△ABC中，下列运算正确的是 ( )．
2．答案 C如果a＋b＝0，则b是a的________向量．
答案 相反
3．下列说法中正确的是________．
①任何一个向量与它的相反向量的和都是零向量；
②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；
③a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
答案 ①②③4．向量减法的运算法则
(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
名师点睛1．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线 方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．
向量减法的作图法
因为(a－b)＋b＝a＋[(－b)＋b]＝a＋0＝a，所以求a－b就是求这样一个向量，它与b的和等于a，从而得出a－b的作图法．
2．对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3． 化简下列式子：题型一 向量的加减运算【例1】典例剖析点评 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．
1.题型二 利用指定向量表示其它向量【例2】点评 结合几何图形，灵活利用三角形法则处理．有时还要利用到相反向量的性质，封闭图形各边一定对应的向量依次相加的和为零向量等结论．
2.(1)|a＋b＋c|；
(2)|a－b＋c|.
题型三 向量模的性质【例3】点评 利用向量加减法的运算律及三角形法则正确地做出向量是解该类题的关键，要注意作图时向量起点、终点．
已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
3． 给出以下三个命题：①若向量a∥b且b∥c，则a∥c；
②若向量＝ ，则四边形ABCD是平行四边形；
③|a＋b|＜|a|＋|b|.
其中正确命题的个数是________．
错解 根据同时平行于第三条直线的两条直线互相平行可知①正确；由 可得，四边形ABCD的一组对边AB与CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，即②正确；根据三角形的两边之和大于第三边可知，③正确．故正确命题的个数是3.
误区警示 类比不当而出错【示例】错因分析 把平面几何与立体几何中所学的结论不加分辨地在向量中进行类比是不妥的．因为向量既有大小又有方向，所以不能简单地把以前所学的结论简单地应用到向量的学习中来．
纠错心得 以前学过的结论不能简单地类比到向量中来，只有经过证明是正确的结论才能用．
1．向量的减法是加法的逆运算．
2．作两向量的差，需要先把两向量的起点平移到一起，
再连结两向量的终点得到指向被减向量的终点的向量
即为其差向量．
课堂总结
