课件27张PPT。【课标要求】
2.2 对数函数2.2.1 对数的概念和运算律理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
了解常用对数与自然对数的意义．
理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
掌握对数的运算性质及其推导．
能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
1．2．3．4．5．如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的_____(logarithm)，记作b＝______．这里，a叫作对数的____ (base)，N叫作对数的_____ (proper number)．
把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：
alogaN＝___，___＝logaab.
由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝___，loga1＝logaa0＝___．
自学导引1．对数logaN底真数Nb10由对数的定义可以推导出下面三个运算法则：
(1)loga(MN)＝_____________；
(2)logaMn＝________；
logaM－logaN在没有电子计算机的年代，为了复杂计算的需要，引入了以10为底的_________ (common logarithm)．
在数学研究中，有一种对数的有关解析式非常简捷方便，这种对数叫作自然对数(natural logarithm)，它是以无理数____________为底的对数．
为了方便，通常把常用对数和自然对数的符号简写为：
log10N＝___，logeN＝___．
2．3．logaM＋logaNnlogaM常用对数e＝2.718 28…lgNlnN幂运算和对数运算有什么不同？
提示 在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x，就是对数运算．两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
?自主探究1．在对数式x＝logaN，为什么规定a>0且a≠1呢？
提示 (1)若a<0，且N为某些数值时，logaN不存在．如
(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，为此，规定
a不能小于0.
(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值．为此，规定a≠0.
(3)若a＝1，N不为1时，x不存在，如log12不存在；N为1时，x可以是任何数，是不唯一的，为此，规定a≠1.
因此，规定底数a>0，且a≠1.
2．已知logx16＝2，则x等于 ( )．
A．±4 B．4 C．256 D．2
解析 由logx16＝2得，x2＝16，又x＞0，所以x＝4.
答案 B
预习测评1．答案 C
若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝________．
解析 log3(log4x)＝1，log4x＝3，x＝43＝64.
答案 64
21－log27＝________．
3．4．实质上，对数表达式不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N?x＝logaN.
名师点睛1．根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)零和负数没有对数，即N>0；
(2)1的对数为零，即loga1＝0；
(3)底的对数等于1，即logaa＝1.
对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．
3．4．学习对数的运算性质时应注意
(1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，
∴loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n.
(2)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝
log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
(3)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误，初学者常犯的错误是：
5．(4)会用语言准确叙述运算性质，对于防止出现上述错误有好处．
如loga(M·N)＝logaM＋logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”．
(5)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
求下列各式中x的取值范围：
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.
题型一 对数概念的理解【例1】典例剖析点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
【变式1】点评 对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．题型二 对数恒等式的应用 若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有 ( )．
①logax· logay＝loga (x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
题型三 正确理解对数运算性质【例3】解析 对数的运算性质实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．
答案 A
点评 正确理解对数运算性质，是利用对数运算性质解题的前提条件．
答案 A
【变式3】题型四 化简与求值【例4】点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．
【变式4】 已知log2(logx4)＝1，求x的值．
[错解] 由底数的对数等于1得，
logx4＝2，∴x2＝4，∴x＝±2.
错因分析 解题过程中忽略了对数中底数的要求，即logaN中的a需满足a>0且a≠1.
[正解] 由底数的对数等于1得，
logx4＝2，∴x2＝4，又∵x>0.∴x＝2.
纠错心得 对数的表达式x＝logaN中底数a须满足a>0且a≠1，只有满足这一条件式子才能够成立，在解题时要时时记住这一点．
误区警示 因忽视底数的取值范围而出错【例5】一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
利用ab＝N?b＝logaN (其中a>0，a≠1，N>0)可以进行指数式与对数式的互化．
对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)．b＝logaab.
对于同底的对数的化简常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
课堂总结1．2．3．4．5．6．课件23张PPT。【课标要求】
2.2.2 换底公式掌握对数的运算性质及换底公式；
能运用对数运算性质及换底公式进行化简、求值和证明．
1．2．设logaN＝b，那么ab＝N，如果a＝cx，则cbx＝N，即logcN＝bx，注意到b＝logaN，x＝logca，得到logcN＝logaNlogca，也就是
自学导引换底公式log2ab＝log2a＋log2b一定成立吗？
提示 不一定成立，只有当a>0且b>0时才成立．例如：
log2[(－2)×(－7)]存在，但log2(－2)，log2(－7)都不存在，因而不能得出log2[(－2)×(－7)]＝log2(－2)＋log2(－7)．
在什么情况下选用换底公式？
提示 (1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．
自主探究1．2．答案 A
预习测评答案 A
已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________.
解析 由log63＋log6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.
得log6(3x)＝1，故3x＝6，x＝2.
答案 2
3．换底公式的理解
换底公式的证明：
设x＝logab，根据对数定义，有b＝ax.
两边取以c为底的对数，得logcb＝logcax，
而logcax＝xlogca，
∴logcb＝xlogca.
名师点睛一、1．换底公式及其推论在解题中有广泛的应用，具体地讲，就是将底不同的对数转换成底相同的对数进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般地换成以10为底的常用对数．
对数式的化简
对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．二、1．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
另外注意性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)的应用．
2．3．4． 计算：
(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
题型一 利用换底公式求值
【例1】典例剖析点评 法一是先对括号内换底，然后再将底统一；法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等式证明的常用方法．
【变式1】题型二 含有字母约束条件的求值【例2】点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，可利用对数的换底公式将差异消除，利用换底公式时，关于底数的选择有两种情况：(1)选用以10或e为底，化成常用对数或自然对数；(2)选用在同一题目中出现频率较多的底数．
(1)设log34·log48·log8m＝log416，求m；
(2)已知log1227＝a，求log616的值．
【变式2】 设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)试求x，y，z之间的关系；
(2)求使2x＝py成立，且与p最接近的正整数(即求与p的差的绝对值最小的整数)；
(3)比较3x，4y，6z的大小．
题型三 综合问题【例3】点评 注意指、对数式互化在解题中的重要地位．对数式与指数式的互化是解决对数问题时运用化归思想的桥梁，因此，在刚开始学习对数时，我们可以把它转化为指数式，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题．反过来，我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到解决．
【变式3】错因分析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x>0，y>0，x－2y>0，所以x>2y>0，所以x＝y不成立．
误区警示 因忽略真数大于0而出错【例4】纠错心得 根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指数式中的指数幂，故为正数．所以在求解含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零．求解过程不等价时，在求出答案后需进一步进行检验．
对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用．
在什么情况下选用换底公式？
(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值．课堂总结1．2．课件33张PPT。【课标要求】
2.2.3 对数函数的图象和性质掌握对数函数的概念、图象和性质．
能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数，了解互为反函数图象间的关系．
1．2．3．两个函数描述的对应关系是一回事，自变量和函数值换了一个位置，我们说它们两个互为_______(inverse fun_ction)．
为了保持用___表示自变量的习惯，自变量和函数值换位置的时候就把x和y也对调一下．
要找寻函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y_____，写成x＝f(y)，再试图把y解出来表成y＝g(x)的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数_____．既然y＝g(x)是从x＝f(y)解出来的，必有f(g(x))＝___，这个等式也可以作为反函数的定义．
自学导引1．反函数x换位g(x)x若f(x)和g(x)互为反函数，则它们的图象关于直线_____对称．两者中一个递增另一个也_____ ，一个递减另一个也_____ ．
把由对数运算确定的函数_________(x>0，a>0，a≠1)
叫作(以a 为底的)对数函数(logarithmic fun_ction)，它是(以a为底的)指数函数______的反函数．当然，指数函数y＝ax也是对数函数_________的反函数．这时，指数函数y＝ax的定义域R成了对数函数y＝logax的_____；而指数函数y＝ax的值域，却成了对数函数y＝logax的_______．
因为对数函数是指数函数的反函数，它们的图象关于直线_____轴对称，所以将指数函数的图象以直线_____为对称轴作反射，就得到对数函数图象．由指数函数的增减性，也可以得到对数函数的_______．
2．3．4．y＝x递增递减y＝logaxy＝axy＝logax值域定义域y＝xy＝x增减性(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)递增递减logab的值在什么情况下是正数？在什么情况下是负数？
提示 当a和b都大于1或a和b都在(0，1)之间时，logab的值是正数；当a和b的值有一个大于1另一个在(0，1)之间时，logab的值是负数．
自主探究1．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响是怎样的？
提示 无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1，0)，且由于定义域的限制，函数图象穿过点(1，0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax
(a>0，且a≠1)的图象绕(1，0)点在第一象限由左向右顺时针排列．也就是当a>1时，随着a的值增大，函数的图象越靠近x轴；当0
2．答案 D
预习测评答案 D
已知函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的值域为R，则x的取值范围是________________．
解析 由已知得x＋1>0，∴x>－1.
答案 (－1，＋∞)
答案 －1
3．求单调区间
解决与对数函数有关的函数的增减性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其增减性；三要注意其定义域．
比较大小
比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：
(1)如果两对数的底数相同，则由对数函数的增减性(底数a>1为增；0名师点睛1．2．(2)如果两对数的底数不同而真数相同，如y＝loga1x与y＝loga2x的比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)．
当a1>a2>1时，曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x>1时，y1y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴，对数函数的底数越大．
当01时，y1y2，即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小．
(3)如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．题型一 定义域问题【例1】典例剖析点评 (1)求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x，还要考虑不能使分母为零．
(2)函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解．对于像f(x2－2)的复合函数，必须先求得函数f(x)，这时才能求f(x)的定义域．以上所谈的两点，都是易犯错误的地方，解题时请予以特别注意．
【变式1】 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log67与log76; (2)log32与log20.8；
(3)log23与log0.50.2; (4)log57与log67.
解 (1)因为log67>1，log76<1，所以log67>log76.
(2)因为log32>0，log20.8<0，所以log32>log20.8.
题型二 比较大小问题【例2】点评 (1)应充分利用图象确定所要比较的值的大致范围；
(2)当不能直接比较时，可考虑借助适当的中介值(如0，1等)作为“桥梁”进行间接比较；
(3)当底数有某种联系或真数相同时，可考虑利用对数的运算法则或换底公式将其化为同底；
(4)当有三个或三个以上的数要比较大小时，可先比较其中的两个，然后再与其他的数比较．
比较下列各组中两个值的大小：
(1)log0.52.7，log0.52.8； (2)log34，log65；
(3)logaπ，logae(a>0且a≠1)．
解 (1)∵0<0.5<1，
∴对数函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是递减函数．
又∵2.7<2.8，∴log0.52.7>log0.52.8.
(2)∵y＝log3x在(0，＋∞)上是递增函数，
∴log34>log33＝1.
∵y＝log6x在(0，＋∞)上是递增函数，
∴log65log65.
【变式2】(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是递增函数．
∵π>e，∴logaπ>logae.
当0∵π>e，∴logaπ综上可知，当a>1时，logaπ>logae；
当0 已知y＝lg x的图象，作出y＝|lg x|和y＝lg |x|的图象，并解答以下问题：
(1)对函数y＝lg |x|的说法正确的是 ( )．
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
(2)设函数y＝|lg x|，若0f(b)．证明：ab<1.
题型三 图象问题【例3】解 分别作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图象如图(1)(2)所示．
(1)从图象可以看出，选项B正确；
(2)若0f(b)，ab<1成立；
若0∴f(a)>f(b)?－lg a>lg b?lg a＋lg b<0，即lg ab<0，
∴ab<1；若1f(b)相矛盾．综上可知ab<1.
点评 在研究函数的有关问题时，分析函数图象是不可缺少的一个思路，大家要提高运用数形结合思想解题的意识．
【变式3】解析
答案 D
题型四 反函数的概念
【例4】点评 新课程标准对反函数的概念要求降低了，仅要求知道指数函数是对数函数的反函数，不要求研究的太深．
已知函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)，下列说法不正确的是 ( )．
A．两者的图象关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax的图象
答案 D【变式4】 函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
误区警示 因忽略底数对对数函数的单调性影响而出错
【例5】错因分析 此题错误是把y＝logax在[2，4]上直接变成了增函数，但底数a不定，所以函数的单调性也不定，应分类讨论才行．
纠错心得 在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a>1与00，且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解．
在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响
无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1，0)，且由于定义域的限制，函数图象穿过点(1，0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象绕(1，0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时，函数单调递增．
比较两个对数值的大小
(1)比较同底数的两个对数值的大小．例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小．其中a>0，且a≠1.
课堂总结1．2．①若a>1，f(x)>0，g(x)>0，则logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)；
logaf(x)②若00，g(x)>0，
则logaf(x)>logag(x)?f(x)logaf(x)g(x)．
(2)比较同真数的两个对数值的大小．例如比较
logaf(x)与logbf(x)的大小，其中a>b>0，a≠1，b≠1.
①若a>b>1，如图，
当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)；
当0logbf(x)．
②若1>a>b>0，
当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)；
当1>f(x)>0时，logaf(x)>logbf(x)．
③若a>1>b>0，
当f(x)>1时，则logaf(x)>0>logbf(x)；
当0指数函数与对数函数的区别与联系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量．但是，二者也有一定的联系，y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数；前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．
?
3．