课件29张PPT。【课标要求】
2.4 函数与方程2.4.1 方程的根与函数的零点能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
理解函数的零点与方程根的关系．
掌握函数零点的性质．
1．2．3．给定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a，b，c∈R)，它的判别式是Δ＝_______，
(1)当Δ<0时，方程无实数根；
(2)当Δ＝0时，方程有两个重根，即x1＝x2＝_____；
(3)当Δ>0时，方程有两个不等实根；
x1＝ _______ ，x2＝ _______ ．
自学导引1．b2－4ac这正是曲线(二次函数图象)y＝ax2＋bx＋c和x轴的两个交点的_____；
Δ>0坐标当Δ＝0时方程组只有一组解，这组解正是曲线和x轴公共点的坐标．因此，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0如果有实根，那么这些根正好是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的公共点的_______．
当Δ<0时，方程无解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有__________ ．
方程f(x)＝0的实数根又叫作函数y＝f(x)的“_____”．
一个方程f(x)＝g(x)的解就可以看作两个函数y＝f(x)和y＝g(x)的公共点的_______ ，从这个角度出发，我们可以从图象来观察方程解的_____和分布情况．
2．横坐标公共点零点横坐标个数函数零点的判断
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
二次函数零点的性质：
(1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)，_________
_______．
(2)相邻两个零点之间的所有函数值_________．
(3)任意函数，只要它的图象是_________ ，上述性质同样成立．
3．4．函数值符保持同号不间断的号改变函数的“零点”是一个“点”吗？
提示 函数的零点并不是指一个点，而是满足f(x)＝0的实数x的值．
自主探究提示 不对，因为f(x)的图象在(－1，1)上不连续，是间断的，不符合零点存在定理的条件．
1．二次函数y＝2x2＋3x＋2的零点个数是 ( )．
A．2 B．1 C．0 D．无法判断
答案 C
下列说法正确的是 ( )．
A．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根
B．x＝2是方程y＝x2－x－6的零点
C．函数f(x)＝x2－4x＋3的零点是(3，0)和(－1，0)
D．二次函数是连续的，当它经过零点时，函数值变号
答案 A
预习测评1．2．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点x1，x2，…，
x2 013，则x1＋x2＋…＋x2 013＝__________．
解析 由y＝f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，
其余零点互为相反数．
答案 0
3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析 由于f(x)＝x2－ax－b有两个零点2和3，
∴2＋3＝a且2×3＝－b，
即a＝5，b＝－6.
4．函数零点的概念
对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点：
(1)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
名师点睛1．(2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．
(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．
(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.
若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解 ①若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，
题型一 零点概念的理解【例1】典例剖析点评 判断或求形如函数y＝ax2＋bx＋c的零点时，首先对a分a≠0和a＝0两种情况讨论，然后对a≠0的情况，利用判别式去判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点情况．
若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是2和－4，求a、b的值．
【变式1】 以下区间中，一定存在函数f(x)＝x3＋3x－3的零点的是
( )．
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[2，3]
解析 因为f(－1)＝－7，f(0)＝－3，f(1)＝1，所以f(0)f(1)<0.
因此函数f(x)在区间[0，1]上一定存在零点．故选B.
答案 B
点评 显然，f(x)＝x3＋3x－3的图象是不间断的，因此要保证在区间[a，b]内一定有f(x)的零点，只需保证f(a)·f(b)<0即可．从而，我们只需算出各个区间端点的函数值，看它们是否异号即可选出正确答案．
题型二 判断零点所在的区间【例2】 以下区间中，一定存在函数f(x)＝－x3＋3x＋5的零点的是 ( )．
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[2，3]
解析 ∵f(－1)＝－(－1)3－3＋5＝3，f(0)＝5，
f(1)＝－1＋3＋5＝7，f(2)＝－23＋6＋5＝3，
f(3)＝－33＋9＋5＝－13，∴f(2)·f(3)<0.
答案 D
【变式2】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2≈2.48>0，
由零点的存在性定理知，f(x)在(0，2)上必定存在零点，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为递增函数，故f(x)有且只有一个零点．
法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．题型三 判断零点的个数【例3】由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
点评 判断函数零点个数的方法主要有：
(1)用计算器或计算机直接作出函数f(x)＝g(x)－h(x)的图象，由图象、函数的增减性及零点的存在性定理作出判定，如本例法一；
(2)化函数为方程g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的叠合图，利用图象判定方程根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二．
定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 010x＋log2 010x，则函数f(x)的零点的个数为 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．2 006
解析 当x＞0时，f(x)＝0，即2012x＝－log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2 012x，f2(x)＝－log 2012x的图象，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.
答案 C
【变式3】 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围．
题型四 一元二次方程根的分布问题
【例4】解 由题意知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，可以画出示意图，得点评 本题重点考查方程根的分布问题，解答本题的关键是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义，用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点．设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．
(1)关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，并且一个根小于1，另一个根大于3，求m的取值范围；
(2)关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解 (1)令f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
由图知，原命题等价于
【变式4】 若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围．
[错解] 由题意可得，
实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.
错因分析 没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．
[正解] (1)当a＝0时，
y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，
解得a＝1.
综上，实数a的取值范围为a＝0或a＝1.
误区警示 因忽略对二次项系数的讨论而出错
【例5】纠错心得 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．
由于“方程f(x)＝0的实数解?函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标”?函数y＝f(x)的零点，因此判断函数y＝f(x)在某区间上是否有零点、方程f(x)＝0在某区间内是否有实数解，只需判断它的图象在该区间内与x轴是否有交点即可．反过来，也可以由函数y＝f(x)的图象与x轴的交点情况，来确定方程f(x)＝0的实数解，进而得到函数y＝f(x)的零点．因此函数的零点实质上是数形结合思想的具体体现．
求f(x)＝g(x)－h(x)的零点可以分四个步骤：
课堂总结1．2．(1)整理：化函数为方程g(x)＝h(x)的形式，其中函数y＝g(x)和y＝h(x)的图象均容易画出；
(2)画图：在同一坐标系下画出两个函数y＝g(x)和y＝h(x)的叠合图；
(3)观察：观察由(2)得到的叠合图，两种图象的交点个数即为方程g(x)＝h(x)的根的个数，也即函数f(x)＝g(x)－h(x)零点的个数；交点的横坐标即为方程g(x)＝h(x)的根，也即函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点；
(4)验证：因为作图和观察过程中可能有失误，所以，需要用根的存在性定理对(3)中的初步结论进行验证．
零点存在定理可确定方程f(x)＝0在某区间上有零点．但需要注意的是，f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)<0.例如方程f(x)＝x2－2x－3在(－2，4)内有零点－1和3，令f(x)＝x2－2x－3，但f(－2)·f(4)＝5×5>0.
3．课件25张PPT。【课标要求】
2.4.2 计算函数零点的二分法理解求函数零点近似解的二分法的基本思想．
能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．
1．2．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，这种检查线路的故障的方法，叫_______，也叫对分法．二分法不仅可用于查找线路电线、水管、气管故障，还能用于实验设计、资料查询．它还是方程_____的常用方法．
设函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，如果在区间[a，b]的左端a处曲线在x轴上方，而在b处曲线在x轴下方，可以断定，曲线一定会和x轴在(a，b)内的某点处_____，也就是说，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且f(a)和f(b)符号相反，则方程f(x)＝0在(a，b)内_____________ ．
自学导引1．2．二分法求根相交至少有一个根用二分法求定义在区间D上的函数f(x)零点的一般步骤(给定精确度ε.)
第一步：在D内取一个间区间[a，b]?D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0，令a0＝a，b0＝b.
第二步：取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的横坐标为
判断：(1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点．计算终止；
(2)如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]内，
令a1＝a0，b1＝x0；
(3)如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]内，
令a1＝x0，b1＝b0.
3．第三步：对区间[a1，b1]，按第二步中的方法，可以得到区间[a2，b2]且它的长度是区间[a1，b1]长度的一半．
用二分法只能求得方程的近似解吗？
提示 用二分法也可以求得方程的准确值．
用二分法求方程的近似解时，给定了一个精确度ε，它和精确到ε一样吗？
提示 不一样，精确度ε是指|a－b|<ε，精确到ε，就是要求的最后区间(a，b)中的每个值精确到ε后为同一个值．
自主探究1．2．下列图象与x轴均有交点，但其中不能用二分法求交点的横坐标的是 ( )．
预习测评答案 C
1．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为 ( )．
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
解析 由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.
答案 B
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案 (0，0.5) f(0.25)
3．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，对于给定的精确度ε，若|a－b|<ε成立，则下列说法中正确的个数为________(填序号)．
①a可以作为f(x)的零点近似值
③(a，b)内的任一值都可以作f(x)零点的近似值
答案 ①②③
4．用二分法求方程解的理论依据是：函数在某一个单调区间上有正值和负值，则必有零值．要想判断出某根所在区间我们需先画出方程所对应的函数的图象，除此之外，还应注意所找的区间应是函数的单调区间．如果方程所对应的函数的图象很难画出，我们可以将方程化为f(x)＝g(x)的形式(其中f(x)，g(x)的图象容易画出)，作出函数f(x)，g(x)的图象，此时，两个函数图象的交点的横坐标就是方程的解．可以通过图象找出根所在的大体区间，再用二分法求解．
名师点睛1．二分法的基本思想是将含零点的区间一分为二，然后逐步逼近零点，但并不是所有的零点都能用二分法求得．那么怎样的零点才能用二分法求出其近似解呢？
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2． 下列函数中能用二分法求零点的是 ( )．
题型一 二分法概念的理解
【例1】典例剖析解析 在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点，故选C.
答案 C
点评 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )．
【变式1】答案 B
借助计算器或计算机，用二分法求方程2x－x2＝0在区间(－1，0)内的实数解(精确度0.01)．题型二 用二分法求方程的近似解【例2】取(－1，0)的中点x1＝－0.5，用计算器可得f(－0.5)≈0.46>0.因为f(－1)·f(－0.5)<0，所以x0∈(－1，－0.5)．
再取(－1，－0.5)的中点x2＝－0.75，
用计算器可算得f(－0.75)≈0.03>0.因为f(－1)·f(－0.75)<0，所以x0∈(－1，－0.75)．
同理，可得x0∈(－0.857，－0.75)，x0∈(－0.812 5，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．
由于|(－0.765 625)－(－0.773 437 5)|<0.01，
∴符合精确度为0.01的一个近似解可为－0.773 437 5.
点评 求方程f(x)＝0的近似解，即在一定精确度的要求下求相应函数的零点的近似值，我们通常是通过“取中点”，不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值．
解 设f(x)＝lgx＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lgx和y＝3－x的图象，如图所示，观察图象可以发现lg x＝3－x有惟一解x1，且x1∈(2，3)，f(2)<0，f(3)>0，利用二分法，可列下表：
【变式2】 求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．
由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取2.562 5. 一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如图所示，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问至多需要检测的次数是多少？
题型三 综合问题【例3】解 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置，最多次数是6次．根据二分法的思想，具体分析如下：
第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32(个)，
第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16(个)，
第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8(个)，
第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4(个)，
第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2(个)，
第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1(个)．
所以至多需要检测的次数是6次．
点评 本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或脱落焊接点)，从而使问题得到解决．
在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？
解 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢．
【变式3】想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
如上图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．
用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
[错解] 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0，取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29>0，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3)，
再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，
误区警示 因对“二分法”精确度的理解不正确而出错【例4】f(2.25)＝0.062 5>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2，2.25)，
同理可得x0∈(2.225，2.25)，(2.225，2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
错因分析 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
[正解] 由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2，3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
根据上表计算知，区间[2.187 5，2.25]的长度是0.062 5<0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值，所以其近似值可以为2.187 5.
纠错心得 对精确度的正确理解是正确解答本题的关键，当区间长度小于精确度时，零点可选区间内的任一值．
用二分法的条件是函数f(x)在[a，b]上连续且f(a)·f(b)<0.这也表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点，对函数的不变号零点不适用．
用二分法求方程的近似解时，常采用作差法构造函数．即求方程h(x)＝g(x)的近似解，令q(x)＝h(x)－g(x)，进而求函数q(x)的零点．
用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中间的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．
课堂总结1．2．3．
