2023-2024学年山东省青岛重点中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年山东省青岛重点中学高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间单位：天与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为参考数据：( )
A. B. C. D.
5.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，佩玉不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分如图，经测量知，，，则该玉佩的面积为( )
A. B. C. D.
6.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若角是第二象限角，则是第一象限角
B.
C. 若，则是第一象限角
D. 若，则
10.定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 为奇函数
C. 在区间上有最大值
D. 的解集为
11.已知，，且，下列结论中正确的是( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
12.关于函数，下列说法正确的有( )
A. 在上是增函数
B. 为偶函数
C. 的最小值为，无最大值
D. 对，，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______ ．
14.已知为坐标原点，点的初始位置坐标为，线段绕点顺时针转动后，点所在位置的坐标为______ ．
15.已知，则 ______ ．
16.已知实数，满足，，则的值是______ ．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知角满足．
若角是第三象限角，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知函数．
若时，函数在区间内有且只有个零点，求实数的取值范围；
若时，关于的方程在区间内有且只有个实数根，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求实数的值；
写出函数的单调区间无需证明；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数满足：对，都有，且当时，函数．
求实数的值；
写出函数的单调区间无需证明，若，且，求的取值范围；
已知，其中，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
或，
，
故A．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，，再结合补集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，命题：，，是全称命题，
其否定为：，；
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析即可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
首先判断的奇偶性，再讨论时，的符号，由排除法可得结论．
【解答】
解：函数的定义域为，关于原点对称，
，可得为奇函数，的图象关于原点对称，故排除选项A、；
当时，，故排除选项B．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是一般题．
根据函数模型：，取，求解值得结论．
【解答】
解：由题意，，即，
得，
而，
又，，即，
得，即．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，熟练掌握切割补形法，扇形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
将玉佩的扇形形状补充完整，根据切割补形法，并结合线段成比例，扇形的面积公式，得解．
【解答】
解：如图所示，延长，交于点，过点作于，于，则点，分别为，的中点，且，
因为，所以，即，解得，
所以是边长为的等边三角形，所以，
所以玉佩的面积．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：显然是增函数，
且时，，，，，
，故在区间上存在唯一零点．
故选：．
利用零点存在性定理，直接判断即可．
本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．
本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知，且，
由于，
故的图象关于中心对称，
又关于中心对称，且，
不妨设，
则与的交点，关于点中心对称，
即，，
故．
故选：．
求出的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则，关于点中心对称，从而求出答案．
本题考查了函数的性质，重点考查了函数与方程的应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，若角是第二象限角，则，
故，
当，时，在第三象限，
当，时，在第一象限，
则是第一象限角或第三象限角，A错误；
选项，，
因为，所以，故，B正确；
选项，由题意得，故，
故，解得，
则是第一象限，C正确；
选项，若，
则，D正确．
故选：．
选项，设，进而求出，得到是第一象限角或第三象限角；选项，利用同角三角函数平方关系及判断；选项，利用正弦和角公式得到，求出，得到答案；选项，整体法利用诱导公式求出答案．
本题主要考查了象限角的应用，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，在中，令，可得，解得，选项正确；
对于选项，由于函数的定义域为，在中，令，可得，
所以，则函数为奇函数，选项正确；
对于选项，任取，，且，则，，
所以，所以，
则函数在上为减函数，所以在区间上有最小值，选项错误；
对于选项，由，可得，
又函数在上为减函数，则，
整理得，解得，选项正确．
故选：．
令可判断选项；
令，可得，得到可判断选项；
任取，，且，则，，根据单调性的定义得到函数在上的单调性，可判断选项；
由可得，结合函数在上的单调性可判断选项．
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用这些性质解不等式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，，且，
项，，
当且仅当，即时等号成立，的最小值是，A正确；
项，由，
当且仅当时等号成立，的最小值为，B正确；
项，由，解得，当且仅当时等号成立，
的最大值为，，
的最大值是，C错误．
项，，
，当且仅当时等号成立，
的最小值是，D正确．
故选：．
根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
，故的最小值为，无最大值，C正确，
其中的定义域为，且，
故为偶函数，B正确；
选项，当时，令，则，，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
又在上单调递增，
故在上单调递增，
在上单调递增，
又为上的偶函数，
故在上单调递减，A错误；
选项，，
，
其中，
而
，
当且仅当，即时，等号成立，
又又在上单调递增，，D正确．
故选：．
选项，化简得到，由基本不等式求出，从而得到的最小值为，无最大值，并得到，判断；选项，换元，结合对勾函数性质得到在上单调递增，由函数奇偶性得到在上单调递减；选项，作差，结合基本不等式作差判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法、对勾函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用对数运算法则和指数，根号运算法则进行计算．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为在第一象限，又，
故点在单位圆上，
设点的初始位置所在角为，
则，故，
顺时针转动后，点在第四象限，
设转动后的角为，则，
因为，
所以点所在位置的坐标为．
故答案为：．
求出点在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点所在位置的坐标．
本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：
故答案为：．
利用，在表达式的分母增加“”，然后分子、分母同除，得到的表达式，即可求出结果
本题考查三角函数的齐次式求值的应用，考查计算能力，注意“”的代换，以及解题的策略．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
令，明显为单调递增函数，
，，
，，．
故答案为：．
通过变形得到，可构造函数，利用单调性得到，结合条件可得的值．
本题考查对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或．
因为角是第三象限角，所以，，．
，
当角是第一象限角时，，．
当角是第三象限角时，，．
【解析】根据同角三角函数关系，求得，，即可求得结果；
利用诱导公式化简，根据中所求，即可求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：时，开口向上，为连续函数，
且，
要想在区间内有且只有个零点，只需，
即，解得，
又因为，
综上，实数的取值范围是；
当时，为一次函数，令，
解得，满足在区间内有且只有个实数根，
当时，开口向下，为连续函数，且，
当，解得或，
当时，，令，
解得，舍去，
当时，，令，
解得，满足要求，
当，即时，
要想方程在区间内有且只有个实数根，
只需，解得，
与取交集得，
综上，实数的取值范围是．
【解析】，由零点存在性定理得到，结合求出答案；
考虑和两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案．
本题考查函数与方程的关系，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
故，即，
故，又，故，
检验符合题意；
单调递减区间为，无递增区间，理由如下：
由得，
任取，，且，
故
，
由于，
故，
又，
故，，
即，
故函数的单调递减区间为，无递增区间；
可化为，
令，，
则，
由知，在上单调递减，
故在上单调递减，
所以，解得，
实数的取值范围为．
【解析】根据得到方程，求出；
利用定义法得到函数的单调递减区间为，无递增区间；
不等式化为，构造，，得到其单调递减，从而得到不等式，求出实数的取值范围．
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，还考查了函数的单调性的判断及函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，即，
解得；
单调递增区间为，无递减区间，理由如下：
令，解得，故的定义域为，
又在上单调递增，且在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为，无递减区间；
时，，即，
令，，
可以看出，
又在上单调递增，
在上单调递增，
故在上单调递增，
由得的解集为；
的定义域为，
要使恒成立，首先满足在上恒成立，
由于开口向下，
只需，解得，
此时，
故当时，对任意时恒成立，
令，则恒成立，即恒成立，
由可知，的解集为，
故只需，解得，
综上，存在满足条件．
【解析】根据，可求出答案；
先求定义域，再根据复合函数单调性求出单调区间，转化为，令，由，可看出，结合函数单调性得到不等式的解集；
根据的定义域，首先满足在上恒成立，得到不等式，求出，得到当时，对任意时恒成立，结合中所求得到不等式，求出答案．
本题主要考查了函数恒成立问题，考查复合函数单调性的综合应用，属于难题．
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