2023-2024学年江西省宜春市高安市重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市高安市重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为( )
A. B. C. D.
5.椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为，，的面积为，离心率为，点是上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则( )
A. 椭圆的焦距等于短半轴长 B. 面积的最大值为
C. D. 的取值范围是
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于中心对称 D. 在区间上单调递增
10.已知四边形的四个顶点在同一个圆上，且，，，则可能为( )
A. B. C. D.
11.已知圆方程为：与直线，下列选项正确的是( )
A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
12.已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线有交点，则
C. 点到的两条渐近线的距离之积为
D. 当点与，两点不重合时，直线，的斜率之积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.求值： ______ ．
14.已知平面向量，若，则 ______ ．
15.若曲线与圆恰有个公共点，则的取值范围是______ ．
16.已知抛物线：，过点的直线交于，两点，在，两点处的切线交于点，且若点到直线的距离为，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
一个焦点为，且离心率为；
经过两点．
18.本小题分
已知复数，根据以下条件分别求实数的值或取值范围．
是纯虚数；
对应的点在复平面的第三象限．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，，求的面积．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
若直线被圆截得弦长为，求实数的值．
21.本小题分
如图，四边形为长方形，平面，，，点，分别为，的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
求；
若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
根据集合并集的定义进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，根据集合并集的定义进行计算是解决本题的关键，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
先求出，进而计算．
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，
半径为的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，为半径的圆，
所以当圆心到原点的距离的最小时，
连结，在上，
因为，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点距离的最小值是．
故选：．
结合题意画出满足条件的图象，结合图象求解即可．
本题考查了圆的定义与性质应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程，可得椭圆的长轴长为，
则由椭圆的定义可得，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为．
故选：．
由椭圆方程求长轴长，再由椭圆定义得答案．
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
当时，
，
，
即，
整理得，
，，
，，
，
；
当时，
，
，
整理得，
解得舍，或舍；
当时，显然等式不成立；
综上，．
另解：若，，则，
即为，解得或，
由于，可得，则，，
可得．
故选：．
根据，分三种情况去绝对值，再利用三角公式化简求值即可．
本题考查任意角三角函数的求值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：过作且，连接，，
则四边形是平行四边形，因为，
所以平行四边形是矩形，
因为，即，而，
则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，，即，
，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以在中，，
所以．
故选：．
过作且，连接，，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案．
本题考查空间距离求法，考查二面角的平面角，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：对：由的面积为，离心率为，可得，
又，所以得，故A错误；
对：当点在长轴端点位置时的面积才能取到最大值，
但是点是除长轴和短轴端点外的任意一点，故的面积无法取到最大值，故B错误；
对：所以椭圆的方程为，故B，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，
即，
由，，
得，故C正确；
对：设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以，故D错误．
故选：．
由的面积为，离心率为列方程组，进而可求，，的值，则可判断，选项可根据点位置是除长轴和短轴端点外的任意一点直接排除；对于选项，由的平分线交长轴于点，得到，化简可得，结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围可判断．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查椭圆方程的求法，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，
所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；
因为，所以，
所以在区间上单调递增，故D正确．
故选：．
选项，利用三角函数的周期公式即可判断；选项，利用代入检验法即可判断．
本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得或，
因为，所以且，即．
因为，，，，所以BC正确．
故选：．
圆内接四边形对角相互补，可以分成两个三角形，在两个三角形中两次用余弦定理，求出即可，根据，判断的可能值．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意，圆的圆心，半径，
直线变形可得，
则直线恒过定点，
，
点在圆内，
直线与圆必相交，故A正确，BD错误，
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，
弦长有最小值，
则弦长为，故C正确．
故选：．
先求出直线的定点，再结合两点之间的距离公式和平面几何知识，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识和定点问题，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：双曲线，则，
对于，的渐近线方程为，A正确；
对于，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线有交点，则，B错误；
对于，设点，则，
点到的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于，易得，，设，则，
所以直线，的斜率之积为，D错误．
故选：．
由双曲线的渐近线方程可判断，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解，结合点到直线的距离公式可求，，的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则可判断．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
所以分子，
分母，
所以原式．
故答案为：．
先将代入原式，分别化简分子与分母，然后约分求值．
本题考查两角和与差的三角函数公式和降幂公式，同时考查了学生的运算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由，
得，，解得，，
所以．
故答案为：．
根据向量垂直和平行的坐标表示，列式计算，求出，的值，即可求得答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为曲线与圆恰有个公共点，
所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，
则有，解得．
故答案为：．
根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
显然直线的斜率存在且，
则直线的方程为．
联立，
整理得，
则，
由，
得，
求导得，
故切线的方程为，
即，
同理可得切线的方程为，
两式相减得的横坐标，两式相加得的纵坐标．
又，
则，
所以，
：，
即，
所以点到直线的距离，
所以，
解得或舍去．
故答案为：．
由题意设，，直线的方程为，联立直线与抛物线，可得，利用导数的几何意义，可设出切线、的方程，联立两切线方程，求得的坐标，结合已知即可求出．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
17.【答案】解：依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，
又，，故其标准方程为．
设双曲线方程为，
把点与点代入，有，解得，
故所求双曲线的标准方程为：．
【解析】根据双曲线的焦点位置，结合双曲线离心率公式进行求解即可；
利用待定系数法进行求解即可．
本题主要考查双曲线标准方程的求解，考查计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为是纯虚数，
所以；
因为对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数的取值范围为．
【解析】根据纯虚数的定义进行求解即可；
根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可．
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，
可得，
所以，
又因为，
所以；
因为，，且，
由余弦定理知，即，
解得，
所以的面积为．
【解析】根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解；
根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，即圆心，，
所以圆的方程为；
因为直线被圆截得弦长为，
则圆心到直线的距，由点到直线的距离公式可得，
解得．
【解析】先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求得圆心和半径，即可求得方程；
由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解即可．
本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式，属中档题．
21.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
因为点，分别为，的中点，
所以且，
又因为四边形为长方形，
所以且，
则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
由平面，
则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，
所以为三棱锥的高，
由，，
所以三棱锥的体积为
．

【解析】取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，则可得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
利用等体积转化为，即可求解．
本题考查了空间中的平行关系的证明以及三棱锥体积的计算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
由知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，
则易得，
从而得到，
设：，联立抛物线方程，消去并整理可得，
，即，且，，
，
，
点到直线的距离，
，
又点在圆：上，
故，代入得，，
而，
当时，．
【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题．
由点到圆上的点最小值为建立关于的方程，解出即可；
对求导，由导数的几何意义可得出直线及的方程，进而得到点的坐标，再将的方程与抛物线方程联立，可得，以及点到直线的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．
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