2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.在棱柱中，( )
A. B. C. D.
3.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
4.若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，直线的横纵截距相等且与圆相切，则满足条件的直线有条．( )
A. B. C. D.
7.圆上到直线的距离为的点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.在棱长为的正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则的面积最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 若非零向量满足，则有
B. 任意向量满足
C. 若是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
D. 对于任意向量，必有
10.下列命题中，正确的是( )
A. 在，轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点，的直线方程为
11.已知点在圆：上，点，，则( )
A. 点到直线的距离最大值为
B. 满足的点有个
C. 过点作圆的两切线，切点分别为、，则直线的方程为
D. 的最小值是
12.在正方体中，动点满足，其中，，且，则( )
A. 对于任意的，且，都有平面平面
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，不存在点，使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则点坐标为______ ．
14.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是______ ．
15.直线：被圆：截得的最短弦长为______ ．
16.已知，是圆：上的两个不同的点，若，的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知空间三点、、，设．
Ⅰ若且，求；
Ⅱ若与互相垂直，求．
18.本小题分
已知圆与圆．
求经过圆与圆交点的直线方程；
求圆与圆的公共弦长．
19.本小题分
如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
用，，表示向量；
在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
21.本小题分
如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
已知圆经过两点，，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
设直线：与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的倾斜角为．
故选：．
结合直线垂直轴，即可求解．
本题主要考查直线倾斜角的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量的加法运算法则直接计算．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于选项，不存在，使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于选项，，故不能构成空间的另一个基底．
故选：．
根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可．
本题考查的知识要点：向量的基底，向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
解得故．
故选：．
根据空间向量平行坐标关系计算求解即可．
本题考查的知识要点：向量的运算，三点共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：直线与直线平行，
直线转化为，
它们之间的距离为：
．
故选：．
利用平行线间的距离公式直接求解．
本题考查两平行线间的距离的求法，考查平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由圆：，
则圆心，半径，
若截距为，设：，即，
则，
此时：；若截距不为，
设，即，
则，
此时：；
综上，共有条满足条件的直线．
故选：．
根据圆的方程确定圆心和半径，讨论直线是否为，结合相切关系及点线距离公式分别求出对应切线方程即可．
本题考查直线与圆的位置关系，直线的方程，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，是基础题．
先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．
【解答】
解：圆的圆心，半径是，
圆心到直线的距离是，
故圆上的点到直线的距离为的共有个．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线线垂直及线面垂直，考查直观想象能力及数学运算能力，属于较难题．
取中点，利用三角形全等证得，进而证得平面，当点在直线上时，，当的面积取得最小值时，线段的长度为点到直线的距离，再由三角形面积公式可得结果．
【解答】
解：
如图：取中点，可知，得，，
，又，，平面，，
又在正方体中，易得平面，
平面，所以，
又与相交，且均在平面内，
平面，
当点在直线上时，，，则面积为，
当的面积取得最小值时，线段的长度为点到直线的距离，
线段长度的最小值为，此时面积为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于：若非零向量满足，则有，对于平面向量满足，但是对于空间向量不满足，故A错误；
对于：任意向量满足为实数，也为实数，由于和不共线，故B错误；
对于：若是空间的一组基底，由于，则，，，四点共面，故C正确；
对于：对于任意向量，必有，故D正确．
故选：．
直接利用向量的数量积，向量基本定理和三角不等式的运算求出结果．
本题考查出：向量的数量积，共面向量基本定理，向量的三角不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，在轴、轴上截距相等的直线，可能是，不能写成截距式，故A不正确；
对于，方程在时，得到直线，与轴平行，故B正确；
对于，经过点，倾斜角为的直线，
当为直角时，不能写成的形式，故C不正确；
对于，经过两点，的直线，
都可以用方程表示，故D正确．
故选：．
根据直线的基本量与基本形式，对各选项逐一加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的基本量与基本形式及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，由点，，则，则圆心到直线的距离，所以点到该直线距离的最大值为，即选项A正确；
对于选项B，设点，则，且，由题意，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点有个，即选项B错误；
对于选项C，设，，则直线，分别为，，因为点在两条直线上，所以，，于是，都满足直线方程，即直线的方程为，即选项C正确；
对于选项D，原命题可转化为求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，，则有，即，，则，所以，即选项D正确，
故选：．
对，求出直线的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对，设点，根据得到点的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对，设，，进而得到切线方程，，再根据点在两条切线上求得答案；对，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点的轨迹方程，然后结合点在圆上求得答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了轨迹方程，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，设正方体的棱长为，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为，
，设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为，即，
对于任意的，且，都有平面平面，对；
对于选项，当时，点，
设平面的法向量为，
则，取，可得，且，
所以，点到平面的距离为，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，对；
对于选项，当时，，
假设存在点，使得平面，因为平面，则，
，则，可得，与题设条件不符，
假设不成立，故当时，不存在点，使得平面，错；
对于选项，当时，则，
则，
，故为锐角，对．
故选：．
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误．
本题考查棱锥的体积及面面垂直，考查学生的运算能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，又，
则，即，解得，即．
故答案为：．
根据空间向量的坐标运算法则即可求出点坐标．
本题主要考查空间向量的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于，，，
所以，，
所以向量在上的投影向量的坐标．
故答案为：．
直接利用向量的夹角运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：直线：，即，
令，解得，所以直线恒过点，
又圆：的圆心为，半径，
因为，
当时直线被圆：截得的弦长最短，
最短弦长为．
故答案为：．
求出直线过定点，当时直线被圆：截得的弦长最短，从而求出最短弦长．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由圆：，可得圆的半径为，
因为，所以，
设为的中点，
所以，所以点的轨迹方程为，
设点，，到直线的距离分别为，，，
所以，，，
所，
因为点到直线的距离为，所以，
即，所以．
所以的取值范围为．
由已知可得，设为的中点，可得点的轨迹方程为，设点，，到直线的距离分别为，，，所以，，，计算可求的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属中档题．
17.【答案】解：、、，
则，
Ⅰ．
由于，设．
由，
则，解得，则或．
Ⅱ由题意可知，．
则，
又，即，解得或．
【解析】Ⅰ根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；
Ⅱ根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直、共线的性质，属于基础题．
18.【答案】解：圆的圆心为，半径为，
圆，即，圆心，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
可得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
圆的圆心，半径为，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为．
【解析】判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共线所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案．
本题考查两圆的位置关系的判断及相交圆的交点直线的求法，属于基础题
19.【答案】解：；
假设存在点，使，设，，
显然，，
因为，所以，
即，
，，，，，，
即，
解得，所以当时，
【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；
根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可．
本题考查空间向量的运算，考查利用向量的综合运用，属中档题．
20.【答案】解：设，则由题意可知，
又，所以，
联立方程解得，，即；
设关于直线的对称点，则有，的中点在直线上，
即，解之得，
显然直线为的角平分线，即直线与重合，
则，所以直线的方程为．
【解析】设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可；
根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程．
本题考查的知识要点：直线方程的求法，点关于线的对称，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意可得：，，
，，
设为平面的法向量，
则有：，
令，则平面的法向量，
，又平面，
平面．
设为平面的法向量，
又
则有：，
令，则平面的法向量，
又，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．
【解析】建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，由，即可证明；
求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案．
本题主要考查线面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：设求圆的标准方程为，
则，，
，
设，，
将代入并整理得：，
，，
相交，，，
，
解得，，，
，
【解析】设圆的方程为，由已知列关于，，的方程组求解方程组可得，，的值，则圆的方程可求，
设，，把代入并整理，利用根与系数的关系求出，的横坐标的和与积，代入求得值，再利用弦长公式即可．
本题考查利用待定系数法求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
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