2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.过点，倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.设等差数列前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，记，则有( )
A. B. C. D.
6.已知直线：为实数和圆：交于，两点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知等轴双曲线的中心为，焦点为、，若双曲线上一点满足：，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：与圆：，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点引直线，使它与两点，距离相等，则此直线方程可以为( )
A. B. C. D.
10.等差数列的前项和记为，若，，下列判断正确的是( )
A. B.
C. 的最大值是 D. 当时，最小值为
11.已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于点，，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，线段的中点为，则有( )
A. B.
C. D.
12.已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形面积的最小值为
C. 线段的最小值为 D. 的外接圆恒过两个定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列的首项，公差，当最小时， ______ ．
14.已知直线过点且与抛物线只有一个公共点，则直线的方程为______ ．
15.写出与圆和圆都相切的一条切线方程______ ．
16.双曲线的光学性质为如图：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分如图，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为，．
求边的垂直平分线方程；
求顶点的坐标．
18.本小题分
已知是等差数列前项和，，．
求；
证明：．
19.本小题分
设为实数，直线和圆：相交于，两点．
若，求的值；
点在以为直径的圆外其中为坐标原点，求的取值范围．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：，直线：为实数且与椭圆交于，两点．
若直线过椭圆的右焦点，求的面积；
线段的中点为，求直线的斜率．
21.本小题分
已知双曲线：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为．
求的方程；
点，在的右支上，若直线与斜率乘积为，证明：直线过定点．
22.本小题分
如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的上方记，的面积分别为，．
求抛物线的方程；
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标为．
故选：．
直接利用抛物线的简单性质求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，可得直线的斜率，
结合点在直线上，可得直线的方程：，即．
故选：．
根据斜率与倾斜角的关系，算出直线斜率为，然后由直线的点斜式方程算出答案．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角、直线的方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，
所以．
故选：．
先由等差数列的前项和公式，可得，再由等差数列的性质，即可得解．
本题考查等差数列的性质，前项和公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意可知的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为；
由两圆有公共点可得，
即，
又，
解得．
故选：．
利用两圆位置关系可得出圆心距与两半径之间的关系，解不等式即可求得实数的取值范围．
本题考查了圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：由已知可得：
对，，故A错误；
对，，故B错误；
对，，故C错误；
对，由得公差为，由得，通项公式为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，代入递推公式可求出，；再利用和递推公式可判断，．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：直线的方程可化为，
由，可得，
所以直线过定点．
将圆的方程化为标准方程可得，
所以圆心，半径．
设圆心到直线的距离为，则．
由垂径定理可知，，
所以有，
所以的最小值是．
故选：．
根据已知可得出直线过定点，圆心，半径求出圆心到直线的距离，然后根据垂径定理，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设等轴双曲线方程为，为等轴双曲线上的任一点，
可得，
则
．
故．
故选：．
设出双曲线方程，设出的坐标，利用距离公式，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，距离公式的应用，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可得椭圆上存在点使得，
又，
，
，
，
，，又，
椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
根据题意可得椭圆上存在点使得，又，从而建立不等式即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，圆的几何性质，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：设所求直线为，
当时，
因为，，
所以，
因为直线过点，
所以直线方程为，即；
当直线过线段中点时，
设，中点坐标为
则，
由两点式写出直线方程为，即．
故选：．
分直线平行于和过线段中点两种情况讨论即可．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设数列的公差为，
由得，，解得，
选项A，因为，所以，所以，即A错误；
选项B，，即B正确；
选项C，，
因为，所以当时，取到最大值，即C正确；
选项D，令，则，
因为，所以，
所以当时，的最小值为，即D正确．
故选：．
根据等差数列前项和公式可得，由可得，即A错误；由通项公式可得，即B正确；易知，由其函数特性可知当时，取到最大值，即C正确；解不等式，即可求得的最小值为，可得D正确．
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：易知焦点，准线方程为，如图所示：
可设直线的方程为，，，
联立，消去可得，显然，
由韦达定理可知，，故A正确；
易知，，
所以，
又，
，
所以，故B错误；
可知，，则，
则，即，故C正确；
易得，所以，
则
，
即，故D正确．
故选：．
根据题意可得焦点坐标以及准线方程，设直线的方程为并与抛物线联立，由韦达定理可得，即A正确；化简可知B错误；利用向量数量积的坐标表示即可得CD正确．
本题考查抛物线性质，考查直线与抛物线的综合应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，作出示意图形，如图所示，
对，若四边形为菱形，则，故，
结合点到直线的距离，可知存在点，使得四边形为菱形．故A正确；
根据的结论，可知，所以四边形面积等于，故B正确；
因为，
由，可知，所以，故C错误；
因为，，所以、、、四点共圆，故的外接圆就是四边形的外接圆，
因为四个点中只有为定点，故的外接圆恒过一个定点，故 D错误．
故选：．
根据题意，计算出点到直线的距离，结合菱形的性质判断出项的正误；由圆的切线的性质与三角形的面积公式，判断出项的正误；根据锐角三角函数的定义与勾股定理，列式判断出项的正误；根据四点共圆的性质，判断出选项的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式与三角形的面积公式等知识，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，，
令，解得，令，解得，
当时，，当时，，
由于，故当时，最小．
故答案为：．
求出通项公式，得到时，，当时，，计算出和，比较后得到答案．
本题考查等差数列数列的通项公式及数列与不等式的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
14.【答案】或
【解析】解：如图所示，
易知点在抛物线上，
当直线斜率为时，直线的方程为，
与抛物线只有一个公共点，符合题意；
当点为直线与抛物线的切点时，
设直线的方程为，
联立，可得，
由题意有：，解得，
此时直线的方程为；
综上可知：直线的方程为或．
故答案为：或．
显然直线与抛物线只有一个交点，符合题意；当点为切点时，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为，即可求得直线方程．
本题考查直线与抛物线的综合应用，属中档题．
15.【答案】答案不唯一，或均可
【解析】解：圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，圆心距，
又，
所以两圆外切，
由图可知共有三条公切线，
易知方程为．
由图可知，另外两条公切线斜率存在，
故设公切线方程为．
则到的距离为，
到的距离为，
所以，
所以或，
即或．
当时，，
解得或，
所以公切线的方程为或．
当时，，
方程无解．
综上，公切线的方程为或或．
故答案为：答案不唯一，或均可．
先判断两圆位置关系，再分类讨论公切线斜率是否存在，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径进行求解即可．
本题考查了圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题可知，，共线，，，共线，如下图：
设，则，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，由勾股定理得，
因此，得，
而，，
又，且，所以，
即，化简得，
所以．
故答案为：．
设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，再由勾股定理结合正切值用表示出，从而建立关系式求出用表示，然后在中，应用勾股定理得出，的关系，求得离心率．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力和逻辑思维能力，属于中档题．
17.【答案】解：设的中点坐标，
由中点坐标公式可得，
根据的斜率，可得垂直平分线的斜率，
所以的垂直平分线方程为，即；
由题意，可知关于直线的对称点在上，设为，
则，解得，，即，结合点，可得的方程为，
由，解得，，即与的交点坐标为，因此点坐标为．
【解析】先求出中点的坐标，再根据垂直的两条直线的斜率关系，算出所求直线的斜率，进而求出的垂直平分线方程；
利用角平分线的性质求出对称点的坐标，求出直线方程，然后解方程组得到点的坐标．
本题主要考查直线的方程、两条直线垂直与方程的关系、两条直线的交点坐标求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：设数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以．
证明：由知，，
所以，
所以，
所以．
【解析】设数列的公差为，根据等差数列的求和公式，可得关于，的方程组，解之，再由等差数列的通项公式，即可得解；
结合中所得，可知，再利用裂项相消法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与求和公式，裂项相消法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：圆：，即，圆心为，半径．
若，则点到直线的距离，
所以，解得或；
由消去，得，
由，得，解得．
设，，则，，
所以，
若点在以为直径的圆外，则，可得，即，
所以，即，结合可得，
综上所述，，即的取值范围是．
【解析】根据的长度，计算出圆心到直线的距离，然后根据点到直线的距离公式，列式算出的值；
若点在以为直径的圆外，则，因此利用向量的数量积的性质与韦达定理，算出实数的取值范围．
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、向量数量积的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：由可知，，
所以椭圆的右焦点为，
所以，即，即直线方程为，
由，可得，
设，，
则，，
所以，
到直线的距离，
故；
设，，，
由，可得，
当，即且时，
，，所以，
故，即，
所以，
即直线的斜率为．
【解析】根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；
联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得出弦中点坐标，即可得出直线斜率．
本题考查直线与椭圆的综合应用，属中档题．
21.【答案】解：不妨取双曲线的一条渐近线为，焦点坐标为，
即，
此时焦点到直线的距离，
又，
联立，解得，
因为双曲线的右顶点为，
所以，
则的方程为；
证明：当直线的斜率存在时，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
因为双曲线的右支与直线有两个不同的交点，
所以，
解得，
不妨设，
由韦达定理得，，
因为直线与斜率乘积为，
所以，
即，
又，
可得，
由韦达定理得，
即，
解得或，
当时，式成立，
此时直线的方程为，直线恒过点，
因为，
所以不符合题意；
当时，式成立，
此时直线的方程为，直线恒过点，符合题意，
则当直线斜率存在时，直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，
不妨设，，
此时直线的方程为，
联立，解得，
因为，
所以，
又，
所以，
即，
解得或，
因为，
所以，
则直线的方程，
此时直线过定点．
综上，直线经过定点．
【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线为，焦点坐标为，利用点到直线的距离公式以及，，之间的关系，列出等式求出的解，再结合双曲线的顶点坐标，进而可得的方程；
对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与的方程联立，利用根与系数的关系以及斜率公式再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为是抛物线：的焦点，
所以，
解得，
则抛物线的方程为；
不妨设，，，直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
此时，，
由重心坐标公式可得，，
令，
解得，
所以，
即，
此时，
所以直线的方程为，
令，
解得，
所以，
，
又，
可得，
因为，
所以，
此时，
则
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，
故的最大值为．
【解析】由题意，根据焦点坐标求抛物线方程即可；
利用重心坐标公式表示的坐标，由的横坐标为，表示的横坐标与直线斜率的关系，写出直线的方程，求点的横坐标，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值，再转化求出的最大值．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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