2023-2024学年江西省抚州市乐安重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省抚州市乐安重点中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.直线的斜率为( )
A. 不存在 B. C. D.
3.圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
4.椭圆的长轴长是( )
A. B. C. D.
5.若两直线和平行，则的值是( )
A. 或 B. C. D.
6.已知圆：和：，则两圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
7.圆：关于直线：对称的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为( )
A. B. C. D.
10.已知点到直线：的距离为，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是( )
A. B. 的离心率为
C. D. 的渐近线方程为
12.已知，是抛物线：上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是( )
A. 直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B. 直线过焦点时，的最小值为
C. 若坐标原点为，且，则直线过定点
D. 与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆心为，半径是的圆标准方程为______ ．
14.过点与直线平行的直线的一般式方程为______ ．
15.已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为______ ．
16.已知椭圆的左焦点为，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且，则直线的斜率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点；
经过两点，．
18.本小题分
求符合下列条件的双曲线的标准方程：
顶点在轴上，两顶点间的距离是，；
渐近线方程是，虚轴长为；
斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点求线段的长．
19.本小题分
已知直线经过点．
若与直线：垂直，求的方程；
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
20.本小题分
已知两圆：和：．
分析两圆位置关系并确定公切线数量；
求公切线所在直线方程．
21.本小题分
已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为左焦点．
写出直线的方程；
求双曲线的标准方程；
求的面积．
22.本小题分
已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切．
求动圆的圆心所在轨迹的方程；
已知点是轨迹上一点，点，是轨迹上不同的两点点，均不与点重合，设直线，的斜率分别为、，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】
解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题：，，则命题的否定是：，．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由直线，表示与轴平行的直线，所以直线的斜率为．
故选：．
根据题意，得到直线表示与轴平行的直线，即可求解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可．
此题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程，并会从圆的标准方程中找出圆心的坐标，是一道基础题．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：
，
所以此圆的圆心坐标为．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：由椭圆，得，则，
故椭圆的长轴长是．
故选：．
根据椭圆的标准方程与性质计算即可．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由两条直线平行可得：，且，解得．
故选：．
写出两条直线平行的充要条件，可得的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为圆：的圆心，半径为，
圆：即的圆心，半径为，
所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径和为，
所以圆与圆的位置关系是外切．
故选：．
根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系．
本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆：的标准方程为，
所以圆心为，半径．
设圆的圆心为，
则，解得，，
圆的半径为，所以圆的标准方程为．
故选：．
通过求圆的圆心和半径求得正确答案．
本题考查的知识要点：点关于线的对称，圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设抛物线的方程为，因为焦点到准线的距离为，则，
抛物线为：，焦点，准线方程为，直线方程为，
由消去得：，设，，则，
所以．
故选：．
根据给定条件，求出抛物线方程衣直线方程，再联立并结合抛物线定义求解作答．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当点在轴上时，设，由，可得，解得，
，
当点在轴上时，设，由，可得，解得，
，
所以点坐标为或．
故选：．
由题意设点的坐标为或，根据斜率公式计算即可．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由点到直线的距离公式可得：或．
故选：．
利用点线距离公式列方程求参数即可．
本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，，则，故A正确；
的离心率，故B正确；
由双曲线的定义或，故C错误；
的渐近线方程为，即，故D错误．
故选：．
根据方程可得，，的值，结合选项，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A：如图，设中点为，分别过点，，向准线作垂线，垂足为，，，
则由抛物线的定义可得，，，
因为中点为，所以有，
所以以为直径的圆与的准线相切，故A正确；
对于选项B：由抛物线：，可得，
由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，
联立直线与抛物线的方程，消去可得，
则恒成立，
可得，，
则，
所以，
当且仅当时，取到最小值，故B正确；
对于选项D：先证抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，消去得，
可知方程组只有一个解，即直线与抛物线相切，
可知抛物线在点，处的切线方程分别为，
联立方程，解得，即点，
结合选项B可得：，
所以点在抛物线的准线上，故D正确；
对于选项C：由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，
，
则，
若，则，解得或舍去，
联立直线与抛物线的方程，消去可得，
则，解得，
此时，符合题意，
所以，则直线过定点，故C错误．
故选：．
对于：根据抛物线的定义分析判断；对于：设方程为，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于：设方程为，设，联立方程，根据垂直关系可得，结合韦达定理分析求解；对于：可知抛物线在点处的切线方程为，根据切线方程求交点坐标，结合选项B分析判断．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆心，半径是的圆标准方程为
．
故答案为：．
由圆的标准方程可得．
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设所求直线的一般式方程为，
将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，
故所求直线的一般式方程为．
故答案为：．
设所求直线的一般式方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，由此能求出所求直线的一般式方程．
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：椭圆，可知，，
椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为：．
故答案为：．
利用椭圆的定义，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，是基础题．
16.【答案】或
【解析】解：设，，因为，
又，，三点共线，所以，
所以，所以，．
又，在椭圆上，
所以，所以，
即，
所以，所以，
所以，又，所以，所以，
由，解得，
当时，直线的斜率；
当时，直线的斜率，所以直线的斜率为或．
故答案为：或．
由，，三点共线可得，再将，两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去求出，进而得到直线的斜率．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，是中档题．
17.【答案】解：根据题意，两个焦点的坐标分别为，，即，
又由椭圆经过点，则，
故，
则，
故要求椭圆的方程为；
根据题意，设椭圆的方程为，
又由椭圆经过点，，则有，解可得，；
则要求椭圆的方程为，
即其标准方程为．
【解析】根据题意，由椭圆焦点的坐标可得的值，又由椭圆的定义可得，变形可得的值，计算可得的值，即可得答案；
根据题意，设椭圆的方程为，将、的坐标代入计算可得、的值，即可得椭圆的方程，变形为标准方程的形式即可得答案．
本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的定义，属于基础题．
18.【答案】解：由题意，解得，，则，
所以双曲线的标准方程为；
由题意，当双曲线焦点在轴上时，，
解得，，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴上时，，解得，，
所以双曲线的标准方程为，
综上所述，双曲线的标准方程为或；
由题意，抛物线的焦点，，
则直线的方程为，设，，
联立，得，
所以，
所以．
【解析】根据双曲线的性质求解即可；
由抛物线方程可得，进而得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的弦长公式求解即可．
本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，还考查了抛物线的定义及性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
若在两坐标轴上的截距为，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或．
【解析】根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
考虑截距为和不为两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程．
本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了直线的截距式方程的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为圆：，圆心，半径，
圆：，圆心，半径，
，
所以两圆内切，只有一条公切线．
由知： 与 ：内切，
两圆方程相减得：，
化简即为：，
所以两圆公切线直线方程：．
【解析】求出两圆的圆心和半径，求出圆心距，即可得到结论；
根据两圆的位置关系，两圆方程作差即可求得结论．
本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意设双曲线方程为，
由题意可得，
所以，又直线斜率，
直线的方程为：；
由知，
所以，
故双曲线方程为：；
由题意联立，
消元整理得：，
由，
设，，
，，
，
．
【解析】利用已知条件求出双曲线的右焦点，然后利用点斜式求解即可；
由条件求出，即可；
联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算即可．
本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：设点，圆与直线：的切点为，
因为动圆过点，且与直线：相切，则，
所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线，
则动圆的圆心轨迹的方程为．
证明：若直线的斜率为，则直线与抛物线只有个交点，不合要求，
设直线的方程为，，，
，消去可得：，
则，，
因为为抛物线上一点，
所以，解得，
，
解得，代入，
解得或，
结合点，均不与点重合，则，
则，解得，
故且或，
所以直线，即，
所以直线恒过定点．
【解析】由题意，作图，根据圆切线的性质，结合抛物线的定义，可得答案；
设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，代入，可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页