2023-2024学年广西四校高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西四校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线：的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
3.已知，两点到直线：的距离相等，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.空间中有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与圆：交于，两点，则线段的垂直平分线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
8.，分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是，且，则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 与轴夹角为，且轴截距为的直线方程为
10.已知圆，圆，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆的内部，则
B. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C. 若圆，外切，则
D. 过点作圆的切线，则的方程是或
11.在直三棱柱中，，且，为线段的中点，为棱上的动点，平面过，，三点，则下列命题正确的是( )
D.
A. 三棱锥的体积不变
B. 平面平面
C. 当与重合时，截此三棱柱的外接球所得的截面面积为
D. 存在点，使得直线与平面所成角的大小为
12.文心雕龙中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”则下列结论正确的是( )
A. 动点的轨迹方程为
B. 动点的轨迹与圆：没有公共点
C. 直线：为成双直线
D. 若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知两直线方程分别为：，：，若，则 ______ ．
14.已知直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______ ．
15.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______ ．
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点，的直线与双曲线右支在第一象限相交于点，若，则双曲线的渐近线方程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆：．
当取何值时，直线：与圆相交得到的弦长最短；
若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面．
求证：面；
若____，求点到平面的距离．
在；二面角的正切值为；，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为．
求过点且与圆相切的直线方程．
已知圆：，若圆与圆的公共弦长为，求圆的方程．
20.本小题分
已知椭圆：与椭圆有相同的焦点，过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦长度为．
求椭圆的方程；
直线：与椭圆交于，两点，若，求实数的值．
21.本小题分
已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．
求双曲线的方程；
若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于，两点点，直线交直线于点设直线，的斜率分别，，求证：为定值．
22.本小题分
在中，，，，、分别是、上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点不与端点、重合，使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：双曲线：，可得，，则，且焦点在轴上，
所以双曲线的焦点坐标为．
故选：．
利用双曲线的标准方程，求解焦点坐标即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：点在圆上，，
圆心到直线的距离，
直线和圆相切．
故选：．
先利用点是圆上的一点，可得，再计算圆心到直线的距离，即可得出结论．
本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：要使，两点到直线：的距离相等，
则直线或直线过的中点，
所以或，
解得或．
故选：．
由题意可得直线或直线过的中点的坐标，求出即可．
本题考查直线平行的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则，，
则，
所以点到直线的距离为．
故选：．
分别求出，即可得，，再根据点到直线的距离为即可得解．
本题主要考查了空间距离的求解，向量的应用是求解问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：圆：，即，圆心，半径．
线段的垂直平分线与直线垂直且经过圆心，
线段的垂直平分线方程为，化为，
故选：．
根据线段的垂直平分线与直线垂直且经过圆心即可得出直线方程．
本题考查了直线与圆的位置关系、相互垂直的直线方程之间的关系、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：连结，因为且，
所以四边形是平行四边形，故BC，
所以就是异面直线与所成的角或其补角，
连结，由，，
则，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
连结，利用棱柱的几何性质得到，从而得到就是异面直线与所成的角或其补角，三角形中利用余弦定理分析求解即可．
本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线，找到两条异面直线所成的角，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设双曲线的半焦距为，
由题意，点在双曲线的右支上，，，
由余弦定理得，解得，即，，
根据双曲线定义得，解得，
故双曲线的离心率．
故选：．
根据题意，由余弦定理可得，再由双曲线的离心率公式，即可得到结果．
本题主要考查双曲线的性质以及余弦定理，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，
又，分别为椭圆的一个焦点和顶点，且，
，，，
椭圆的标准方为或．
故选：．
根据题圆的几何性质即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于中，由直线过一、二、四象限，
所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，所以A正确；
对于中，由直线方程，整理得，
所以无论取何值，点都满足方程，所以B正确；
对于中，由点斜式方程，可知过点，斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
对于中，由斜截式方程得到斜率为，在轴上的截距为的直线方程为，所以D错误．
故选：．
由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式方程可判定D错误．
本题主要考查了直线斜截式方程、点斜式方程，直线过定点问题，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由点在圆的内部，得，解得，故A错误；
对于，若，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
对于，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆，外切，则，即，解得，故C正确；
对于，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，
圆心到的距离，解得，
所以的方程是，故D正确．
故选：．
根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确，综合可得答案．
本题考查圆方程的综合应用，涉及圆的标准方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，由于为棱上的动点，故为定值，
又到平面的距离为，故为定值，A正确；
对于选项，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
由于，故平面平面；
对于选项，连接，相交于点，
直三棱柱中，，故此三棱柱的外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，
则此点即为外接球球心，其中，，故，外接球半径为，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，故，
故点到平面的距离为，
则截此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为，
故截面面积为．
故当与重合时，截此三棱柱的外接球所得的截面面积为，C正确；
对于选项，设，，由选项可知，平面的法向量为，
假设存在点，使得直线与平面所成角的大小为，
则，
即，整理得，，由于，方程无解，
故直线与平面所成角的大小不为，D错误．
故选：．
选项，利用等体积法得到为定值；选项，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量关系得到两平面垂直；选项，求出此三棱柱的外接球球心和半径，进而得到球心到平面的距离，进而得到截此三棱柱的外接球所得的截面面积；选项，假设存在点，使得直线与平面所成角的大小为，从而列出方程，发现方程无解，故假设不成立．
本题考查棱锥的体积、面面垂直和截面面积、线面角，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设动点，
因为动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．
故，化简得，
两边平方得：，
整理可得，
故动点的轨迹方程为，故A错误；
联立，消去得：，
，
故动点的轨迹与圆：有两个公共点，故B错误；
联立，得：，
，故直线：上存在这样的点，
即直线：为成双直线，故C正确；
联立，消去整理可得，，
解得：，
故，
不妨设，
设，故，
则，
，
将代入上式，
，故D正确．
故选：．
选项，设出动点，列出方程，化简得到动点的轨迹方程，即可判断；
选项，将与联立消元后，由，可知动点的轨迹与圆：有两个公共点，即可判断；
选项，将与联立后，由根的判别式进行求解得到直线：上存在这样的点，可判断；
选项，联立与联立，求出，坐标，设，结合斜率公式得到，即可判断．
本题考查直线新定义，直线与圆、椭圆的位置关系的应用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为：，：，且，
所以，得．
故答案为：．
由两直线平行，则斜率相同列方程可求得结果．
本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：已知直线：，
则，
令，
即，
即直线过定点，
又曲线表示以为圆心，为半径的上半圆，
不妨设，过点的直线与曲线切于点，
又直线：与曲线有两个交点，
则，
由点到直线的距离可得：，
解得，
即，
又，
即，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：设圆的半径为，
圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为圆与圆、圆外切，
则，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
又，，则，，，
所以其轨迹方程为．
故答案为：．
设圆的半径为，根据题意可得，，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解．
本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，，因为，，
所以直线的方程为，
又，，，且，
所以，解得，
将代入中，得，则，
所以，结合双曲线中，解得，
故双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
根据定义得到，，直线的方程为，根据，解得，然后将代入中得，求得，代入双曲线方程，最后结合双曲线中，求得双曲线的渐近线方程为．
本题考查双曲线的几何性质，属中档题．
17.【答案】解：由圆：，得，
得圆心，．
直线：恒过定点，
当直线时，弦长最短，
，，
时，直线：与圆相交得到的弦长最短；
设点到直距离，因为，
当斜率不存在时，直线方程为，满足题意，
斜率存在时，设直线的方程为，
，
综上，直线的方程或．
【解析】当直线时，弦长最短，可求直线的方程；
根据点到直线的距离和勾股定理列方程可解得．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
18.【答案】解：证明：因为为平行四边形，
所以，
因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，而，，面，
所以面；
若选：因为平面，，平面，
所以，，
因此，
因为为平行四边形，
所以，
因为，
所以，设点到平面的距离为，
．
若选：因为平面，平面，
所以，
由可知：，因为为平行四边形，
所以，因此，
而，，平面，
所以平面，而平面，
因此，所以是二面角的平面角，
，以下过程见选的解答过程；
若选：因为，
所以，以下过程见选的解答过程．
【解析】利用平行四边形的性质、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
若选：利用三棱锥体积的等积性进行求解即可；若选：根据二面角的定义，结合线面垂直的判定定理进行、三棱锥体积的等积性进行求解即可；若选：根据四棱锥的体积公式，结合三棱锥体积的等积性进行求解即可．
本题考查空间中垂直关系的证明，考查点到平面的距离计算，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：圆的圆心为，半径为．
当过点的直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，故与圆相切；
当过点的直线斜率存在时，设方程为，即，所以，
解得，故方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
圆的标准方程为，故圆的圆心为，半径．
圆的一般方程为，圆与圆的一般方程相减，消去二次项得，，即为公共弦所在直线方程．
则圆心到公共弦的距离为，所以，解得，．
故圆的方程为或．
【解析】当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线斜率存在时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列式求解；
两圆相减得公共弦所成直线方程，由点到直线的距离公式表示出圆心到公共弦的距离，再由弦长公式列式求解．
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆的弦长，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意可得，
解得，，
椭圆的方程为；
联立，可得，
设，，
则，且，，
，又，
解得，．
【解析】根据椭圆的几何性质，方程思想，即可求解；
联立直线与椭圆的方程，再根据弦长公式，根与系数的关系，方程思想，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，方程思想，属中档题．
21.【答案】解：已知双曲线：的离心率为，且在双曲线上，
所以，
解得，，
则双曲线的方程为；
证明：易知双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为时，
此时直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率不为时，
不妨设直线：，
联立，消去并整理得，
因为过点作直线交的左支于，两点，而双曲线渐近线为，
不妨设，，
由韦达定理得，，
又直线：，
解得，
所以，
又，
则
，
因为，
所以，且，
故．
【解析】由题意，根据双曲线的离心率，点的坐标和，，之间的关系列出等式即可求出双曲线的方程；
对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将其与双曲线方程联立，设，，利用韦达定理求出相关信息，结合斜率公式再求解即可．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理，运算能力以及分类讨论思想．
22.【答案】解：在中，因为，故DE，
故在四棱锥中，有，，，
而，故DE平面，因平面，
所以，而，故A，
而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，因为经过的重心如图，连接并延长，交于，
则，故，
因为，，故AD，，，
在中，，
则，
故，故，又，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，故，
故，
故C与平面所成角的正弦值为，
因为与平面所成角为锐角，故该角为．
设，则，故，
又，
设平面的法向量为，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，故，
因为平面平面，故，
所以，故，
所以．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的大小．
设，用表示平面和平面的法向量后可求的值，从而可求两条线段的比值．
本题考查了线面角的求解计算以及面面垂直的应用，属于中档题．
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