2023-2024学年浙江省杭州市滨江区重点学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区重点学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则的值可以为( )
A. B. C. D.
2.把一元二次方程化成一般形式，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.反比例函数的图象位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
5.点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.函数和在同一直角坐标系内的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形这个四边形一定是菱形这个四边形不可能是矩形这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是( )
A. B. C. D.
8.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为，则能建成的饲养室的总面积最大为
( )
A. B. C. D.
9.如图，矩形中，，是上的两个点，，，垂足分别为，，若，，，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是( )
若时，则随的增大而减小；
若图象经过点，则；
若，是函数图象上的两点，则；
若图象上两点，对一切正数总有，则．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若是方程的一个根，则代数式的值为______ ．
12.在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
则、的大小关系为______填“”，“”或“”
13.已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为______ ．
14.已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则______．
15.如图，将一把矩形直尺和一块含角的三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，三角板的直角边交于点，反比例函数的图象恰好经过点，若直尺的宽，三角板的斜边，则 ______ ．
16.如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”如图，已知“完美菱形”的边长为，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.如图，在 中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
求证：四边形是平行四边形；
连接交于点，若，，求的长．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算与解方程：
；
．
19.本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到的点恰好落在反比例函数的图象上．
求该反比例函数的表达式；
已知点是该反比例函数图象上一点，当时，请根据图象直接写出横坐标的取值范围．
20.本小题分
已知二次函数．
求出该函数图象的顶点坐标，对称轴，图象与轴、轴的交点坐标，并在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象．
利用函数图象直接写出：
当时，的取值范围？
当时，的取值范围？
21.本小题分
篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分如图，抛物线的对称轴为直线．
求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
若篮筐离地面，离运动员投篮处水平距离为，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
22.本小题分
已知二次函数为常数，且．
求证：不论与为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点．
设该函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点．
当的面积为时，求的值．
当的面积与的面积相等时，求的值．
23.本小题分
如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
求证：；
连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
当时，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
因此，只有选项的满足条件，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
即，
故选：．
方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
该函数图象在第三象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和的取值范围，可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到，再向下平移个单位长度，
所得到的抛物线为：，
故选：．
直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆函数平移规律：左加右减，上加下减，这是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】
解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
．
6.【答案】
【解析】解：、二次函数的图象开口向上则，一次函数的图象经过一、二、四象限，则，不一致，故A不合题意；
B、二次函数的图象开口向上，对称轴，则，，一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，不一致，故B不合题意；
C、二次函数的图象开口向下，，一次函数的图象经过一、三、四象限，则，不一致，故C不合题意；
D、二次函数的图象开口向上，对称轴，则，，一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，一致，故D符合题意；
故选：．
根据二次函数、一次函数的图象位置，判断系数符号是否一致，即可判断．
此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7.【答案】
【解析】解：过点作于，于．
两张长方形纸条的宽度相等，
，
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形．
当时，这个四边形是正方形，
这个四边形一定是轴对称图形，
故选：．
由条件可知，，再证明即可解决问题．
本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，轴对称图形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积即可求得面积的最值．
【解答】
解：设垂直于墙的材料长为，总面积为，则平行于墙的材料长为，
总面积，
当时，有最大值为，
即饲养室的最大面积为，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：过点作于，延长交于，则是直角三角形．
，，
，
矩形中，，
，
在和中，，
≌，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
中，，
即．
故选：．
先过点作于，延长交于，则是直角三角形，先判定≌，得出，，然后判定四边形是矩形，再在中，根据勾股定理求得，即可得到即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解．
10.【答案】
【解析】解：二次函数为非零常数，，
当时，，，．
又当时，随的增大而增大，
，开口向下．
当时，随的增大而减小，故正确；
又对称轴为直线，，
．
若，是函数图象上的两点，离对称轴近些，
又抛物线开口向下，
则，故正确；
若图象上两点，对一切正数，总有，，
又该函数与轴的两个交点为，，
．
解得，故错误；
二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，
．
若图象经过点，则，得．
，，
，故错误；
正确；错误，
故选：．
依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】
【解析】解：把代入方程，可得：，
．
故答案为：．
将代入原方程即可求的值，然后再求代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解，此题应注意把当成一个整体．利用了整体的思想．
12.【答案】
【解析】解：时，；时，，
，解得，
二次函数的解析式为，
当时，；时，，
．
故答案为．
先利用待定系数法求二次函数的解析式为，然后分别把和分别代入即可计算出、的值，从而确定、的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象上的点的坐标满足解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
13.【答案】
【解析】解：抛物线的解析式为，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，
抛物线，抛物线关于原点中心对称，
抛物线的开口向上，顶点坐标为，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键．
14.【答案】或或
【解析】解：时，函数的图象是一条直线：，
它与轴、轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
时，，
，
，
解得；
时，，
，
，
此时函数的图象一定经过原点，
，
解得；
综上，可得的值为或或．
故答案为：或或．
根据题意，分三种情况讨论：时，函数的图象是一条直线，它与轴、轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
时，，据此求出的值是多少即可；
时，，函数的图象一定经过原点，据此求出的值是多少即可．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．还考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握．
15.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，则，
在中，，，
，，
又，
，
设，则，
点，，
又反比例函数的图象恰好经过点，．
，
解得，，
故答案为：．
利用含角的直角三角形的性质即勾股定理可求出，，求出，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，含角的直角三角形，勾股定理等，构造直角三角形，表示出点、点的坐标是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：菱形的边长为，，
和都为正三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
，
，
为正三角形；
设，
则，
当时，最小为：，
，
当与重合时，最大，
菱形的边长为，
，
最大为，
，
．
则的取值范围是．
故答案为：．
利用菱形的性质和正三角形的特点可证得≌；继而可得为正三角形，然后作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算即可求得答案．
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
17.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
连接交于点，如图：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又点是的中点，
是的中位线，
．
的长为．
【解析】先由平行四边形的性质及点，分别是，的中点，得出和全等的条件，从而判定≌，然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出，，则可得出结论．
先由平行四边形的性质及，得出，再根据、及得出，从而可得是的中位线，利用中位线定理可得的长度．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18.【答案】解：原式
；
，
，，，
，
，
，．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，体会合并同类二次根式即可；
先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了二次根式的加减运算．
19.【答案】解：一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，
当时，，
，
将点先向右平移个单位，再向上平移个单位后，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
，
当时取值范围是：或．
【解析】解方程得到，根据平移的性质得到点，把点代入反比例函数解析式，即可得到结论；解不等式即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
20.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
与轴交点为，，
与轴交点为，图象如下：
由图象可知：当时，或，
当时，．
【解析】将二次函数，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标，根据一般式可确定抛物线与轴的交点，根据交点式可确定抛物线与轴的交点；
根据图象与轴的交点坐标，可确定时，的取值范围；
根据图象与轴和轴的交点坐标以及顶点坐标，可确定时，的取值范围．
本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：，顶点坐标为，对称轴解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
21.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将和代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，，
当时，最大，最大值为，
篮球在运动中离地面的最大高度为；
不能，
篮筐离地面，
，
解得：，，
抛物线向右平移，即运动员应向前移动，
【解析】设抛物线的解析式为，将和代入求得、的值可得答案；
令解方程可得，，因此运动员应向前移动或．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式．
22.【答案】证明：令，，
，
，
，
不论与为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
解：，则，
解得，，
，
，
的面积，
解得；
时，，
所以，点的坐标为，
的面积，
的面积与的面积相等，
，
整理得，或，
解得或．
【解析】把看作一个整体，令，利用根的判别式进行判断即可；
令，利用因式分解法解方程求出点、的坐标，然后求出，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
令求出点的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．
本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把看作一个整体求解更加简便．
23.【答案】证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积；
解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【解析】作，，得到，然后判断，得到≌，则有即可；
由“”可证≌，可得，证明，再根据三角形面积公式即可解决问题；
分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，根据正方形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质求解即可．
此题是四边形综合题，重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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