2.3 确定二次函数的表达式 第2课时 课件(共15张PPT) 2023-2024学年初中数学北师版九年级下册

(共15张PPT)
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
第2课时
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1.能用待定系数法求二次函数的交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2.会用待定系数法解三元一次方程组求二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)
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上节课，我们探讨了利用两个点的坐标求二次函数表达式，接下来我们学习利用三个点求函数表达式，先从一种特殊情况入手——交点式.
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探究一：交点式求二次函数表达式
问题提出：已知三个点的坐标，其中两点是与x轴的交点，能求出二次函数表达式吗？
问题：选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
问题探究：
（1）二次函数的交点式是怎样的？
y=a(x-x1)(x-x2)
（2）直接假设二次函数表达式为上述形式，x1=-3，x2= ，然后代入另外一个点便能求出a值.
-1
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问题解决：
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),
即y=-x2-4x-3.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
小提示：数形结合能够帮助快速解题！
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归纳总结：
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
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练一练：
1.已知抛物线与x轴相交于点A(-1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(-1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x+1)(x-1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0+1)(0-1)，解得a＝-1，
∴所求抛物线的表达式为y＝-(x+1)(x-1)，即y＝-x2+1.
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问题提出：已知三个点（并非特殊点）的坐标，能求出二次函数表达式吗？
问题：已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，求这个二次函数的表达式.
问题探究：
（1）二次函数的一般式是怎样的？
y=ax2 +bx+c
（2）直接假设二次函数表达式为上述形式，将三点坐标代入联立一个三元一次方程组，进而求出a,b,c，最后得出二次函数表达式.
探究二：一般式求二次函数表达式
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问题解决：
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代入表达式，得
∴这个二次函数表达式为 y=2x2-3x+5.
∴
10=a-b+c，
7=4a+2b+c，
4=a+b+c，
解得
a=2
c=5
b=-3
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归纳总结：
一般法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
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练一练：
2.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.依题意得：
∴这个二次函数表达式为 y=2x2+3x-4.
-5=a-b+c，
1=a+b+c，
-4=c，
解得
a=2
c=-4
b=3
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1.选择最优解法，求下列二次函数表达式：
（1）已知抛物线的图象经过点（1，1）、（﹣1，﹣1)、（0，﹣2），设抛物线解析式为___________________
（2）已知抛物线的顶点坐标（﹣2，3） ，且经过点（﹣1，0) ,设抛物线解析式为____________________
（3）已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)，设抛物线解析式为____________________
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
y=a(x+2)2+3（a≠0）
y=a(x-h)2+6（a≠0）
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2.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
D
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3.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另一种函数的理由．
温度x/℃ … －4 －2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度 增长量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，
49=4a-2b+c，
41=4a+2b+c，
49=c，
解得
a=-1
c=49
b=-2
∴y关于x的函数关系式是
y＝-x2-2x＋49.
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)等不在同一直线上，
∴y不是x的一次函数．
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①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式