2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年初中数学北师版九年级下册

(共20张PPT)
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
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1.认识二次函数与一元二次方程之间存在的联系
2.能根据二次函数图象与x轴交点的个数来判断相应一元二次方程的根的个数
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课堂总结
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思考：ax +bx+c=0和y=ax +bx+c之间的联系和区别是怎么样？
联系： 当函数y=ax +bx+c的值为0时，就得到方程ax +bx+c=0.
区别：一个是方程，一个是二次函数.
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探究：二次函数和一元二次方程的关系
活动1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
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问题1：球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
h=20t-5t2
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问题2：球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
O
h
t
20
2
解方程：20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
h=20t-5t2
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问题3：球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
20.5
解方程：20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2
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问题4：球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解：0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面，球从飞出到落地要用4秒.
h=20t-5t2
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二次函数与一元二次方程的关系：
一般地，可以利用二次函数y=ax +bx+c深入探究一元二次方程ax +bx+c=0
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
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活动2：尝试画出下列函数的图象，观察并思考几个问题
①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1.
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
解：图象如图：
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（1）抛物线y＝x2＋x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2和1.
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x-2=0的根是-2,1.
y＝x2＋x-2
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（1）抛物线y＝x2-6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2-6x＋9=0有两个相等的实数根3.
y＝x2-6x＋9
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（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
y＝x2－x＋1
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归纳总结：
一元二次方程的根与二次函数在x轴上交点的关系
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根:
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,
3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
此时函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点
此时函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点
此时函数y=ax2+bx+c与x轴有1个交点
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗 若有，求出交点横坐标.
（1） y = x2＋x－2
（2） y =4x2 －4x +1
（3） y = 2x2 – 2x+ 1
x
y
o
令 y= 0，解一元二次方程的根
练一练：
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（1） y = x2＋x－2；（2） y =4x2 －4x +1；（3） y = 2x2 – 2x+ 1
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（1）解：当y=0时，x2+x-2=0，解得x1=-2，x2= 1
∴与 x 轴有交点，有两个交点.
（2）当y=0时，4x2-4x+1=0，解得x1=x2=0.5
∴与 x 轴有一个交点.
（3）当y=0时，2x2–2x+1=0
∵（-2）2－4×2×1=-4<0
∴与 x 轴没有交点.
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1.若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
A
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2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
y
O
x
1
3
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3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
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二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
一元二次方程根的情况
判别式 的符号
Δ