3.3 垂径定理 课件(共18张PPT) 2023-2024学年初中数学北师版九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件(共18张PPT) 2023-2024学年初中数学北师版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 09:36:17 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
第三章 圆
3.3 垂径定理
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
2.它的对称轴是什么
是
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
1.圆是轴对称图形吗？
复习回顾：
●O
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
探究一：垂径定理
合作探究：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
问题1：该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
●O
A
B
C
D
M└
是，对称轴是直径CD
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
问题2：你能从图中找出哪些等量关系？说一说你的理由.
解：连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
M
⌒
⌒
AC和 BC重合，
⌒
AD和BD重合
⌒
⌒
⌒
∴AC= BC
⌒
⌒
AD= BD
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
归纳总结：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AM=BM，
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
●O
A
B
C
D
M└
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
练一练：
1.判断下列图形，能否使用垂径定理？
O
C
D
B
A
×
×
√
B
O
C
D
A
O
C
D
E
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
探究二：垂径定理的推论
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
·
O
A
B
C
D
E
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
⌒
⌒
⌒
⌒
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
归纳总结：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
垂径定理及推论
●O
A
B
C
D
M└
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.即“知二推三”
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
2.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
练一练：
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
方法归纳：
A
B
C
D
O
h
r
d
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
3.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m，
∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，
∴AO=r，OF=r-2，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，
即r2=32+（r-2）2，解得r= m．
∴AB所在圆O的半径为 m．
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
第三章 圆
3.3 垂径定理
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
2.它的对称轴是什么
是
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
1.圆是轴对称图形吗？
复习回顾：
●O
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
探究一：垂径定理
合作探究：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
问题1：该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
●O
A
B
C
D
M└
是，对称轴是直径CD
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
问题2：你能从图中找出哪些等量关系？说一说你的理由.
解：连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
M
⌒
⌒
AC和 BC重合，
⌒
AD和BD重合
⌒
⌒
⌒
∴AC= BC
⌒
⌒
AD= BD
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
归纳总结：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AM=BM，
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
●O
A
B
C
D
M└
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
练一练：
1.判断下列图形，能否使用垂径定理？
O
C
D
B
A
×
×
√
B
O
C
D
A
O
C
D
E
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
探究二：垂径定理的推论
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒
⌒
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⌒
证明猜想
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
·
O
A
B
C
D
E
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
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⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
⌒
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合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
归纳总结：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
垂径定理及推论
●O
A
B
C
D
M└
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.即“知二推三”
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
2.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
练一练：
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
方法归纳：
A
B
C
D
O
h
r
d
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
3.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m，
∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，
∴AO=r，OF=r-2，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，
即r2=32+（r-2）2，解得r= m．
∴AB所在圆O的半径为 m．
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.