第二章 二次函数 复习课 课件 (共29张PPT)2023-2024学年初中数学北师版九年级下册

(共29张PPT)
复习课
第二章 二次函数
考点探究
学习目标
课堂总结
知识梳理
1.会用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系
2.知道二次函数的概念会求自变量的取值范围
3.能正确地画二次函数的图象,能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质,并能运用这些性质解决问题
4.能根据问题中的条件确定二次函数的关系式,并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题
5.知道二次函数与一元二次方程的关系,能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
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学习目标
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知识梳理
二次函数
图象画法
抛物线
开口方向
抛物线的顶点坐标和对称轴
二次函数的性质
抛物线的平移
最值
确定
解析式
应用
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（一）二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式： ；
(2)顶点式： ，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是 ；
(3)交点式： ，其中x1，x2是图象与x轴交点的 ．
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
(h，k)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
横坐标
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二次函数 y=a(x-h)2+k y＝ax2＋bx＋c
开口 方向
对称轴
顶点坐标
最值 a＞0
a＜0
增减性 a＞0
a＜0
a＞0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
x=h
(h , k)
y最小=k
y最大=k
在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
y最小=
y最大=
(二)
二次函数的图象与性质
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(三)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系
字母　　 字母的符号 图像的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有两个交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
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（四）二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x-h )2
y = a( x-h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
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（五）二次函数表达式的求法
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．
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(六)二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重
合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的
横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的根 一元二次方程
ax2＋bx＋c=0根的判别式
有两个交点
有两个重合的交点
没有交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有实数根
b2-4ac < 0
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(七)二次函数的应用
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最值问题；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；
(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
2．一般步骤：
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考点一：二次函数的相关概念与基本性质
例1：已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（ ）
A.m≠0 B.m≠－1 C.m≠0，且m≠－1 D.m＝－1
C
解：根据二次函数的定义可知，二次项系数必须不为0
∴m2+m≠0，解得m≠0，且m≠－1
特别注意：二次项系数一定不为0！
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1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A.y＝3x－1 B.y＝ax2+bx+c
C.s＝2t2－2t+1 D.y＝x2+
C
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例2：求抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标．
解：方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
则顶点坐标为(1,2)．
则顶点坐标为(1,2)．
方法二：代入公式 ， .
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2.把二次函数y＝-2x2-4x+10，化成y＝a(x-h)2+k的形式
是_______________________．
y=-2(x+1)2+12
3.抛物线y＝-x2+4x-3 的对称轴是直线__________，
顶点坐标为__________.
(2，1)
x=2
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考点二：二次函数的图象与性质
例3：已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，
由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴是直线x=1或在直线x=1的左侧
而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
D
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4.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
对称轴是直线x=-1，下列结论： ①abc＜0；②2a+b＝0；③a-b+c＞0；④b2-4ac＞0.其中正确的是（ ）
A.①② B.只有①
C.③④ D.①④
D
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例4：将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位
长度后，得到的抛物线解析式是(　　)
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
解析:因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，
B
即y＝(x－4)2－2.故选B.
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5.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函
数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（ ）
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位
C
6.将抛物线y＝(x-1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.y＝(x-1)2+4 B. y＝(x-4)2+4
C.y＝(x+2)2+6 D.y＝(x-4)2+6
B
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考点三：确定二次函数的表达式
例5：已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,
当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
解得, a=2,b=－3,c=5.
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
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7.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A.y＝－(x－2)2－1 B.y＝－ (x－2)2－1
C.y＝ (x－2)2－1 D.y＝(x－2)2－1
8.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为__________________.
D
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考点四：二次函数与一元二次方程
例6：已知二次函数y=2x -mx-m ，
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
解：（1）证明：令y=0，得2x -mx-m =0，
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有公共点.
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考点四：二次函数与一元二次方程
例6：已知二次函数y=2x -mx-m ，
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标.
解：∵A（1，0）在抛物线y=2x2-mx-m 上，
∴B点坐标为（-2，0）.
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9.已知函数y＝(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜4 B.k≤4 C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
B
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考点五：二次函数的应用
例7：为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
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考点五：二次函数的应用
例7：(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
解：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝a，则AE＝2a，
∴8a+2x＝80，
∴a＝﹣ x+10，2a＝﹣ x+20，
∴y＝(﹣ x+20)x+(- x+10)x＝﹣ x2+30x，
∴x＜40，
则y＝﹣ x2+30x（0＜x＜40）；
∵a＝﹣ x+10＞0，
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考点五：二次函数的应用
例7：(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：∵y＝﹣ x2+30x＝﹣ (x﹣20)2+300（0＜x＜40），
且二次项系数为﹣ ＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
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10.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售
单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？.
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解：(1)根据题意，得
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)W=(x-60) (-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,
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二次函数
图象画法
抛物线
开口方向
抛物线的顶点坐标和对称轴
二次函数的性质
抛物线的平移
最值
确定
解析式
应用