1.5 三角函数的应用 课件(共18张PPT) 2023-2024学年初中数学北师版九年级下册

(共18张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.利用解直角三角形知识解决实际问题（重点）
2.能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明
合作探究
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学习目标
课堂总结
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复习回顾：
1.直角三角函数：
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
b
A
B
C
a
┌
c
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
2.仰角、俯角：
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探究一：与方向角有关的实际问题
小组讨论：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做
A
B
C
D
北
东
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问题探究：
要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD 10海里，则无触礁的危险.
＞
A
B
C
D
北
东
┌
55°
25°
问题解决：
根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.
∴BD=x tan55°，CD=x tan25°
∴x tan55°-x tan25°=20
∵tan55°= ，tan25°=
答：货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险
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学习目标
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练一练：
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )
A．40 海里 B．40 海里
C．80海里 D．40 海里
A
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探究二：与仰角、俯角相关的测量与计算
小组讨论：如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做
问题探究：
1.求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解
2.运用 思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，
由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.
方程
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解：在Rt△ABC中，
在Rt△ACD中，
∴BD＝BC－DC
问题解决：
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练一练：
2.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
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探究三：利用坡角解决实际问题
小组讨论：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做
小提示：
可以将实际问题转化成数学问题，再解决.
问题探究：
转化问题：
如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.
求(1)AB-BD的长.(2)AD的长.
A
B
C
D
┌
4m
35°
40°
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如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求：(1)AB-BD的长.
问题解决：
解：∵sin40°= ，BC=BDsin40°
∵sin35°=
∴AB=
∴AB-BD≈4.48-4=0.48(m)
答：调整后的楼梯会加长约0.48m.
A
B
C
D
┌
4m
35°
40°
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如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求：(2) AD的长.
A
B
C
D
┌
4m
35°
40°
解：∵tan40°= ，∴DC=
答：楼梯多占约0.61m的地面.
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3.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（　　）
B
A. B. 3 C. D.4
练一练：
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归纳总结：
用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
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1.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）
A．4m B． m C． m D．8m
B
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2.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)
解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000 (米)，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000 (米)，
∴AB＝BD－AD＝2000 (米)．
答：此时渔政船和渔船相距2000 米.
3.如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东53°方向行走258m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172m将快递送至C楼，求此时快递员到小路MN的距离．（计算结果精确到1m．）
解：过B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E，过B作BF⊥EC于F，则四边形DEFB是矩形，∴BD＝EF，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m，
∴BD＝AB sin53°＝258×0.8＝206.4，
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172，
∴CF= BC＝86，∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86＝120.4m，
答：快递员到小路MN的距离是120.4m．
D
E
F
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三角函数的应用
用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.