2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县校际联考九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县校际联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于的一元二次方程的常数项为，则等于( )
A. B. C. 或 D.
2.若一元二次方程有解，则的取值为( )
A. 正数 B. 非负数 C. 一切实数 D. 零
3.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是( )
A. B.
C. D.
4.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，小红在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球，甲表示小球停留在甲区域中黑色部分的概率，乙表示小球停留在乙区域中黑色色部分的概率，下列说法中正确的是( )
A. 甲乙 B. 甲乙
C. 甲乙 D. 甲与乙的大小关系无法确定
6.将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位
7.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，是的直径，是弦，，，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
9.如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
；
；
四边形有外接圆；
是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：
；
一元二次方程的正实数根在和之间；
；
点，在抛物线上，当实数时，．
其中，正确结论的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为______．
12.如图，这是一幅长为，宽为的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为________．
13.如图，在的内接五边形中，，则______．
14.如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点为坐标原点时的抛物线解析式是______．
15.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，在轴的正半轴上，点，，在二次函数第一象限的图象上，若，，，都为等边三角形，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
关于的一元二次方程
Ⅰ当时，求方程的实数根；
Ⅱ若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，先将沿一确定方向平移得到，点的对应点的坐标是，再将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点．
画出和；
求出在这两次变换过程中，点经过点到达的路径总长；
求线段旋转到所扫过的图形的面积．
18.本小题分
如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，．
求证：是的切线；
已知圆的半径，，求的长．
19.本小题分
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价元，规定销售单价不低于元，且获利不高于试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出本，销售单价每涨元，每天销售量减少本，现商店决定提价销售设每天销售为本，销售单价为元．
请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利元？
将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元？
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
求直线的解析式；
如图，点为直线上方抛物线上一点，连接、当的面积最大时，在线段上找一点不与、重合，使的值最小，求点的坐标和的最小值；
如图，点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为在抛物线的对称轴上，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的常数项为，
且，
解得：，
故选：．
根据一元二次方程的定义和已知得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式和绝对值等知识点，能根据题意得出和是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
利用平方根的定义可确定的范围．
【解答】
解：当时，一元二次方程有解．
故选：．
3.【答案】
【解析】【解答】解：设每盆应该多植株，由题意得
，
故选：．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可．
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意将点向下平移个单位，再向左平移个单位得到，
，
，
与关于原点对称，
，
故选：．
由题意将点向下平移个单位，再向左平移个单位得到，再根据与关于原点对称，即可解决问题；
本题考查坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】分析
根据甲乙两个图形中黑色区域的面积占各自总面积的比值，即可判断小球停在黑色三角形上的概率大小
本题考查概率的求法：熟练掌握几何概率的求法是关键．
详解
解：观察两个图可知：甲图形中黑色三角形面积占总面积比值为：，乙图形中黑色三角形面积占总面积的比值为：，所以其概率相等，
即甲乙．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是向左平移了个单位，
故选：．
根据图象左移加，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据分和两种情况讨论，找到符合条件的图象选项即可．
此题主要考查了二次函数和一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．
【解答】
解：当时，二次函数顶点在轴负半轴，开口向上，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴正半轴，开口向上，一次函数经过一、二、三象限．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据圆周角定理可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【解答】
解：，
，
是的直径，是弦，，
阴影部分的面积是：，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外接圆与外心．利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线的判定对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
【解答】解：，是的两条切线，，为切点，
，故正确
，，
垂直平分，
，故正确
，是的两条切线，，为切点，
，．
．
点，在以为直径的圆上．
四边形有外接圆，故正确
只有当时，，此时，
不一定是外接圆的圆心，故错误．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以结论正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间，
抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，
一元二次方程的正实数根在和之间，所以结论正确；
把，代入抛物线得，，
而，
，
，所以结论正确；
点，在抛物线上，
当点、都在直线的右侧时，，此时；
当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，，此时且，即，
当或时，，所以结论错误．
故选：．
由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断；把，和代入抛物解析式可对进行判断；利用二次函数的增减性对进行判断．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
11.【答案】或
【解析】解：根据题意，可得：
，
，
，
解得或．
故答案为：或．
根据题意，可得：，据此求出的值是多少，即可求出输入的值为多少．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
12.【答案】
【解析】解：长方形的面积，
骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数附近，
世界杯图案占长方形世界杯宣传画的，
世界杯图案的面积约为：
故答案为．
本题考查利用频率估计概率．
根据题意求出长方形的面积，利用频率估计概率可得世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系，计算即可．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
五边形是圆内接五边形，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得出：，
将代入得出，，
解得：，
选取点为坐标原点时的抛物线解析式是：．
故答案为：．
根据题意得出点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，轴于，
设等边；；中，，，．
等边中，，
所以，代入解析式得，
解得舍去或，于是等边的边长为；
等边中，，
所以，点坐标为，
代入解析式得，
解得舍去或，
于是等边的边长为；
等边中，，
所以，点坐标为，
代入解析式得，
解得舍去或，
于是等边的边长为；
于是第个等边三角形的边长为，
第个等边三角形的边长为；
所以，
因此的坐标为．
故答案为：．
先计算出；；的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，即可得出结论．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
16.【答案】解：
Ⅰ当时，方程为，
，
，
，；
Ⅱ关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即且，
且．
【解析】Ⅰ把的值代入，再解方程即可；
Ⅱ由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围．
本题主要考查一元二次方程根的判别式及求根公式的应用，熟练掌握求根公式及根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
17.【答案】解：如图，、为所作；
，
点经过点到达的路径总长；
，，
线段旋转到所扫过的图形的面积为．
【解析】由点坐标和的坐标得到向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则根据点平移的规律写出和的坐标，然后描点即可得到；利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，从而得到；
先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以为半径，圆心角为的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点经过点到达的路径总长；
用扇形的面积扇形的面积即可得．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
18.【答案】证明：连结、，如图，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
解：圆的半径，，
，
在中，，，
．
【解析】连结、，如图，根据垂径定理的推理，由为的下半圆弧的中点得到，则，再由得到，根据对顶角相等得，所以，由，则，于是根据切线的判定定理即可得到是的切线；
由于圆的半径，，则，然后在中利用勾股定理计算的长即可．
本题考查切线的判定与性质，以及勾股定理．
19.【答案】解：；
根据题意得，
解得，舍去，
，
答：当每本足球纪念册销售单价是元时，商店每天获利元；
，
而，且对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
而，
所以当时，有最大值，最大值为元，
答：将足球纪念册销售单价定为元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润是元．
【解析】解：根据题意得，
，即，
故答案为：；
见答案；
见答案．
销售单价每上涨元，每天销售量减少本，则销售单价每上涨元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于元，且获利不高于确定的范围，当获利不高于时，销售单价最高为元；
利用每本的利润乘以销售量得到总利润，然后解方程后利用的范围确定销售单价；
利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可．
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．
20.【答案】解：当时，，
点的坐标为；
当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，解得：，
直线的解析式为．
如图中，过点作轴于点，交直线于点．
轴
设，则
当，时，最大
直线的解析式为．
，轴
根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当，，三点共线且垂直于轴时，值最小．
是对称轴直线与轴的交点，是的中点
，
直线解析式
抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点
对称轴为
为直角三角形
或，不合题意，舍去
当，设直线解析式，过
当时，
当，则直线解析式
当时，

【解析】先求出，坐标，再用待定系数法求直线解析式
作轴于点，交直线于，设，则，则可求的长，可用表示的面积，根据二次函数最值问题可求最大面积，由直线与轴所成锐角为，可求，则，即，，三点共线且垂直轴时，值最小，即求的值．
先求出解析式，平移后抛物线的对称轴，再分类讨论可求点坐标
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；掌握点平移的坐标变化特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题
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