湖南省常德市汉寿县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

湖南省常德市汉寿县2023—2024学年高二
上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．过点且与直线的夹角为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．或
2．直线与圆相交于两点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．圆与直线位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．由确定
4．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线y=2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为
A． B． C． D．0
7．已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若直线经过，（）两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的右焦点为F，直线l经过F与双曲线交于两点.则下列说法正确的是（ ）
A．虚轴长为2 B．的最小值为2
C．存在以为中点的弦 D．以为直径的圆与直线相交
10．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．若，则点到轴的距离为6
C．的最小值为5 D．若，则的面积为
11．已知分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（ ）
A． B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为
12．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点，且，关于坐标原点对称，则（ ）
A．
B．椭圆上存在无数个点，使得
C．直线和的斜率之积为
D．面积的最大值为
三、填空题
13．双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为 .
14．已知直线，，当，两条直线的距离是 ．
15．设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ．
16．已知双曲线 的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点，若为坐标原点)，则双曲线的离心率 .
四、解答题
17．已知椭圆的两焦点分别为、，长轴长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
18．双曲线的离心率等于4，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程.
19．求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)准线方程为的抛物线的标准方程；
(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.
20．已知椭圆，离心率是，两焦点分别为，过左焦点的直线交椭圆C于两点，的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求的面积.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，若动点P满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若直线l过点M，且点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与动点P的轨迹方程所表示的曲线C的位置关系．
22．双曲线的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线方程；
(2)过点的直线与双曲线交于异支两点，求点的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】首先根据直线方程可得斜率为，对应倾斜角，所以所求直线的倾斜角为或，又直线过点即可得解.
【详解】根据一般方程可得，
所以斜率为，对应倾斜角，
和该直线夹角为的直线的倾斜角为或，
根据直线过点，
所以该直线方程为或.
故选：D
2．B
【分析】根据点到直线距离公式及弦长公式计算可得.
【详解】设圆心到直线的距离为，则，又，解得，
故选：B.
3．C
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据正弦函数的值域及的取值可得d小于r，从而判断出圆与直线相离．
【详解】把圆的方程化为标准方程得：，
圆心坐标为，半径，
又，
圆心到直线的距离，
则直线与圆的位置关系为相离．
故选C．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，正弦函数的定义域及值域，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
4．C
【分析】根据图形建立平面直角坐标系，写出椭圆方程，根据条件求出a,b,c，最终算出离心率.
【详解】如图建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，
由题意，，将直线代入椭圆方程得：，所以，又因为，解得：，所以离心率.
故选：C.
5．B
【解析】由双曲线的标准方程直接求其渐近线方程.
【详解】解析：∵，∴双曲线的渐近线方程为，故选B.
【点睛】求双曲线的渐近线的方法:直接令标准方程中的1变成0,得到,利用平方差公式得到渐近线方程: .
6．B
【详解】试题分析：设，抛物线写成，根据焦半径公式，解得，故选B.
考点：抛物线的几何性质
7．D
【分析】先根据题意结合椭圆方程求相关点的坐标，分类讨论直线的斜率是否存在，结合外接圆的性质运算求解.
【详解】由椭圆可得：，
故椭圆E的左、右顶点分别为，椭圆E的上焦点，
则，
故双曲线，
设双曲线的焦距为，则，即，
故，
当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴，
若外心Q落在y轴上，则，
但此时，由，则不符合题意；
当直线l斜率存在时，设，
联立消去y可得，
则，，
因为A，B位于双曲线C的右支，则或，
则，
设AB的中点，则Q在AB的中垂线上，
所以，解得，所以，
由，可得，整理得，
由，得或（舍去），
综上所述：直线方程为．
故选：D．
8．C
【分析】根据直线的斜率公式求得，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【详解】由直线经过，（）两点可知，直线斜率存在，
即直线的斜率为，即，
又，所以,
故选:C
9．BD
【分析】由双曲线的方程可判断A；由焦点弦的性质可判断B；点差法求得直线的斜率，进而得到直线的方程，与双曲线方程联立之后，从而可判断C；结合B选项以及直线与圆的位置关系的判定可判断D.
【详解】由双曲线，得，则，则虚轴长为，A错误；
直线经过右焦点，所以直线截双曲线所得的最短弦长为，
即最小值为2，故B正确；
设，所以有，
两式相减得：，
即，
因为为中点，
所以，
代入上式并整理得，即直线AB的斜率为2，
所以直线的方程为，
将直线方程与双曲线方程联立，有，消去得，
此时，即直线与双曲线没有交点，故不存在以为中点的弦，C错误；
由B的结论可知，的最小值为2，
所以以为直径的圆半径最小为1，
此时圆心为，到直线的距离为，
故直线与圆相交，
即最小的圆都与直线相交，
所以以为直径的圆均与直线相交，
故D正确；
故选: BD.
10．ACD
【分析】对于A：直接根据焦点到准线的距离可得；对于B：利用抛物线的定义以及梯形中位线的长度公式来求解；对于C：直接利用两点之间线段最短来解答；对于D：利用焦半径公式求出点坐标，进而可用面积公式求解.
【详解】由焦点到准线的距离为4可得，
即抛物线的方程为，A正确；
过点作准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义得，
所以点到轴的距离为，B错误；
根据图像点的位置可得，C正确；
设，不妨取，则，
得，
所以，D正确
故选：ACD.
11．CD
【分析】根据双曲线方程及焦点位置求判断A，根据双曲线定义判断B，求出离心率判断C，求出渐近线方程判断D.
【详解】依题意，，且，即，解得，A错误；
显然，由双曲线定义知，B错误；
又，，则，离心率，C正确；
由双曲线的焦点在轴上，得渐近线方程为，即，D正确.
故选：CD
12．BCD
【分析】四边形为平行四边形，再利用定义可判断选项A；由椭圆的性质可得，利用得出，可判断选项B，
设，则，求出，又点在椭圆上联立可判断选项C；设，根据的范围，利用可判断选项D．
【详解】对于选项A，连接，，，，则四边形为平行四边形，则，即选项A错误；
对于选项B，由椭圆的性质可得，又，即，即，即椭圆上存在无数个点，使得，即选项B正确，
对于选项C，设，则，
又，则，
又，则，
所以，即选项C正确；
对于选项D，设，则，则，即选项D正确；
故选：BCD．
【点睛】关键点思路点睛：解题的关键点是熟练掌握椭圆的性质，同时还要掌握直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．
13．
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以右焦点F的坐标为，
该双曲线的一条渐近线的方程为：，
所以F到一条渐近线的距离为：，
故答案为：.
14．2
【分析】利用直线平行斜率相等可求得的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】当时，则有，
解得，
此时直线的方程为：，
所以，
故答案为：2.
15．
【分析】由圆的标准方程可得半径与圆心，由点线距离公式用表示弦心距，利用勾股定理表示半弦长，由弦长为建立方程，求解即可.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
由题意弦的长为，
则，则，解得．
故答案为：.
16．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知及点到直线距离公式计算判断是直角，再利用双曲线 定义及勾股定理求解即得.
【详解】设双曲线的两条渐近线为，由双曲线的对称性，
不妨设为双曲线的右焦点，过作，则的方程为，
即，则到的距离，有，，
在Rt中，，设双曲线左焦点为，连接，
由双曲线的定义知，，设与交于点，又为线段的中点，，
于是，在Rt中，，
即，化简得，所以双曲线的离心率.
故答案为：
17．（1）；（2）．
【分析】（1）由题意可知，椭圆的焦点在上，，，再由，即可求解.
（2）由题意可知双曲线的，，再由，即可求解.
【详解】解：（1）由、，长轴长为6，
得：，，所以，
∴椭圆方程为．
（2）由题意得，双曲线的，，
所以，
∴双曲线方程为．
18．∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），……………………3分
则可设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝1．……………………6分
∴ ＝15．故所求双曲线方程为……………………10分
【详解】试题分析：∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），……………………3分
则可设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝1．……………………6分
∴ ＝15．故所求双曲线方程为……………………10分
考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．
点评：基础题，关键是明确椭圆、双曲线中a,b,c,e的关系，另外要关注随焦点在不同的坐标轴，方程的不同形式．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由长轴长和离心率求出，进而求出的值，得椭圆的标准方程；
（2）由准线方程得，得抛物线方程；
（3）由顶点坐标和焦点坐标得，的值，求得，得双曲线的方程.
【详解】（1）由已知，，，得：，，
从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）抛物线的准线方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，
所求抛物线的标准方程为：
（3）设双曲线方程为，
由题设可得，故，故双曲线方程为.
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形周长求出，结合离心率即可求解；
（2）写出直线方程，联立直线和椭圆方程结合韦达定理求解.
【详解】（1）椭圆，离心率是，两焦点分别为，过左焦点的直线交椭圆C于两点，的周长为4.
所以，所以，
所以椭圆方程；
（2）椭圆焦点左焦点，直线的斜率为，设
直线的方程为，代入椭圆方程，
，，
面积
.
21．(1)
(2)；相交
【分析】（1）设点P坐标，直接代入，整理可得动点P的轨迹方程.
（2）设出直线l的方程，由点N到直线l的距离为1，可计算得直线l的方程，再根据（1）问所得曲线C为圆，由圆心到直线的距离可判断两者位置关系.
【详解】（1）设，由题意得.又，N（1，0），
所以，整理得.
故动点P的轨迹方程为.
（2）显然圆的圆心坐标为C（2，0），半径为，
当直线l的斜率不存在时，不符合题意.
设直线l的方程为，即
因为点N到直线l的距离为1，所以，解得，
所以直线l的方程为，即，
所以圆心C到直线l的距离为，
因为，所以直线l与曲线C相交.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用渐近线方程以及焦点到直线的距离即可求解.
（2）首先设出直线方程，与椭圆联立后，设出，利用向量的坐标运算以及韦达定理即可求解轨迹方程，最后确定好范围即可.
【详解】（1）由渐近线为知，①，又焦点到渐近线的距离为，即到直线的距离，所以，②，联立①②，解得，，则双曲线方程为.
（2）因为直线与双曲线交于异支两点，所以直线的斜率必存在，且经过点，可设直线，与双曲线联立得：，
设，则有解得，
又有，
两式相除得，即代入得，
又，所以，
所以点的轨迹方程为.