2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 202.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 09:51:18 | ||
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文档简介
2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知且，与的图象可以是
( )
A. B.
C. D.
5.已知，则的大小关系为
( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.已知，，则的一个充分不必要条件是
( )
A. B. C. D.
8.已知的值域为，，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则以下命题正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.以下函数是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
11.已知的定义域为，值域为，则
( )
A. 若，则
B. 对任意，使得
C. 对任意的图象恒过一定点
D. 若在上单调递减，则的取值范围是
12.的解集为，则
( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的解集为
D. 有最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.时，的值域为__________．
14.写出一个函数的解析式，满足：是定义在上的偶函数；时，，则__________．
15.全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是______．
16.教材必修第页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
时，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知满足．
求的解析式；
解不等式．
19.本小题分
已知是奇函数．
求；
证明：是上的增函数．
20.本小题分
．
若，求的解集；
若最小值为，求．
21.本小题分
已知二次函数的解为．
求；
证明：也是方程的解，并求的解集．
22.本小题分
已知 的 对称中心为．
求；
若在区间上，的值域为，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据集合的并集和补集运算求解．
解：由题意可知： ，
又因为 ，所以 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】由题意得出 求解即可．
解： ， ，所以， ，
在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，即 ，取 成立．
当 时， ，即 ，得 ，所以
当 时， ，即 ，得 ，所以 ，
综上： 的取值范围是 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】解出不等式 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
解：不等式 等价于 等价于 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
故 能推出 成立，但是 成立不一定有 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】分类讨论判断出 图像性质及 图像性质即可得．
解：对 ，该函数过定点 ，且 恒成立，
对 ，该函数过定点 ，
若 ，对 ， ，则 在 上单调递减，
又 ，故 在 上单调递增，
若 ，对 ， ，则 在 上单调递增，
又 ，故 在 上单调递增，
故排除；
对 ，由 且 ，故 在定义域内单调递增，
故排除．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“”、“ ”分析判断．
解：因为 ，可知： ，即 ；
，可知： ，即 ；
，可知： ，即 ；
综上所述： ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用基本均值不等式求和的最小值．
解： ， ， ，
当且仅当 即 ， 时取“”．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】对选项：借助基本不等式可验证充分性，再取特殊值否定必要性即可得；
对选项：借助特殊值否定充分性即可得；
对选项：借助特殊值否定充分性即可得；
对选项：变形处理后会得出选项为充要条件．
解：对选项：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
当 、 时， ，
但 ，故 ， 时， 为 的充分不必要条件，故A正确；
对选项：取 ， ，有 ，
故 不是 的一个充分条件，故B错误；
对选项：取 ，有 ，
故 不是 的一个充分条件，故C错误；
对选项：由 ，即 ，即 ，
故 是 的充要条件，故D错误．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题的关键是对 进行分类讨论，同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域，最后得到不等式组，解出即可．
分情况讨论 时， 时，及 时分段函数的值域，再根据集合间的关系列不等式，解不等式．
解：若 ，当 时， 在 上单调递减，此时 ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域 满足 ，
则 ，解得 ；
若 ， 当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域 ，不满足 ，不成立；
若 ，当 时， 在 上单调递增，此时 ，
则 ，
又 不成立，
所以此时 不成立；
综上所述： ，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可．
解：对于： ，故A错误．
对于： ，故B正确．
对于： ，故C错误．
对于 ，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：选项， 的定义域为 ， ，
所以 是偶函数，符合题意．
选项， ， 的定义域为 ，
，所以 不是偶函数．
选项， ，
，所以 不是偶函数．
选项， 的定义域为 ，
，所以 是偶函数．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】对于，根据题设得真数 不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得对于，直接代入求解即可对于，根据 ，求解即可对于，根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得．
解：对于，要使定义域为，只需 恒成立，
所以判别式 ，所以真数 不能取遍所有正实数，所以 ，故A对
对于，若 ，
即 ，整理得 ，得 ，
此时 ，故B错；
对于， ，因为与无关，所以 过定点，故C正确；
对于，若 在 上单调递减，只需函数 在 上递减，且 ，即 ，解得 ，故D对．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据三个二次之间的关系可得 对于：根据 结合韦达定理分析求解；对于：举例说明即可；对于：整理可得 ，结合二次不等式运算求解；对于：代入整理可得 ，即可得最小值．
解：由题意可知：方程 的根为 ，则 ，
对于选项A：因为 ，
整理得 ，故A正确；
对于选项B：例如 ，则 ，满足 ，
则 ，故B错误；
对于选项C：若 ，则 ，
不等式 即为 ，
整理得 ，
令 ，解得 或 ，
且 ， ，
所以 的解集为 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 有最小值为 ，故D错误；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】利用换元法，令 ，结合二次函数的性质分析求解．
解：因为 ，令 ，则 ，
则 ， ，
可知 开口向上，对称轴为 ，且 ，
所以 在 内的值域为 ，
即 在 内的值域为 ．
故答案为： ．
14.【答案】 答案不唯一
【解析】【分析】根据题意可知符合要求的函数不止一个，符合要求即可．
解：由题意可得： 符合题意．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】先根据交集和补集运算求解 ，然后利用有解求解 的范围即可．
解：因为 ， ，所以 ，
图中阴影部分表示的集合为 ，即 ，
由题意， 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】利用奇函数的性质把 变形成 ，即 ，再找出对称中心．
解：因为 ，
，
，
所以 ，
因为 为奇函数，则 也奇函数，
所以 关于点 对称，
故答案为：
17.【答案】解：当 时， ，
，所以 ．
化简 ，
，
若 ，则 ，解得 ．
【解析】【分析】化简集合，根据交集定义即得．
化简集合，根据 ，列出不等式组求解即得．
18.【答案】解：令 ，则 ，
则 ，所以 ．
因为 ，
因为 在 内单调递减，
若 ，则 ，即 ，
则 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
【解析】【分析】利用换元法求函数解析式；
根据 的取值范围，结合 的单调性可得 ，分类讨论解不等式即可．
19.【答案】解：因为 是奇函数，则 ，
可得 ，解得 ．
由可知： ，
因为 ，可知 对任意 恒成立，
所以 的定义域为 ．
对任意 ，且 ，
则 ，可得 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以 在 内单调递增，
又因为 为奇函数，则 在 内单调递增，
且 连续不断，所以 是 上的增函数．
【解析】【分析】根据奇函数的定义分析求解；
根据单调性的定义结合奇函数的性质分析证明．
20.【答案】解：因为 ，
令 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 ，
若 ，则 ，
令 ，可得 ，
即 ，整理得 ，解得 ，可得 ，
所以 的解集为 ．
若 最小值为，结合可知： 的最小值为，
因为 的开口向上，对称轴为 ，
若 ，即 时， 在 内单调递增，
可知当 时， 取得最小值，
即 ，解得 ；
若 ，即 时， 在 内单调递减，在 单调递增，
可知当 时， 取得最小值，
即 ，无解；
综上所述： ．
【解析】【分析】换元令 ，整理得 ，分步解不等式即可得结果；
结合可得 的最小值为，分 和 两种情况，结合二次函数性质分析求解．
21.【答案】解：因为 的解为 ，则 ，解得 ．
由可知： ，且 ，
则 ，
即 也是方程 的解，
对于 ，即 ，
整理得： ，解得 ，
所以 的解集为 ．
【解析】【分析】根据题意列式求解即可；
根据 ，代入证明即可，展开 解方程即可．
22.【答案】解：由 可知，定义域为 ，其对称中心为 ，
故有 ，即 ，有 ，解得 ， ，
即 ，对称中心为 ，
检验计算得
，
故成立，
即 ， ；
当 时，由 、 都随 的增大而减小，
故 在 上单调递减，
又 在区间 上， 值域也为 ，
故有 ，即 ，且 ，
解得 ， ．
【解析】【分析】由定义域也会对称，结合函数对称的性质计算即可得；
结合函数的 单调性及定义域与值域的关系即可得．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知且，与的图象可以是
( )
A. B.
C. D.
5.已知，则的大小关系为
( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.已知，，则的一个充分不必要条件是
( )
A. B. C. D.
8.已知的值域为，，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则以下命题正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.以下函数是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
11.已知的定义域为，值域为，则
( )
A. 若，则
B. 对任意，使得
C. 对任意的图象恒过一定点
D. 若在上单调递减，则的取值范围是
12.的解集为，则
( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的解集为
D. 有最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.时，的值域为__________．
14.写出一个函数的解析式，满足：是定义在上的偶函数；时，，则__________．
15.全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是______．
16.教材必修第页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
时，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知满足．
求的解析式；
解不等式．
19.本小题分
已知是奇函数．
求；
证明：是上的增函数．
20.本小题分
．
若，求的解集；
若最小值为，求．
21.本小题分
已知二次函数的解为．
求；
证明：也是方程的解，并求的解集．
22.本小题分
已知 的 对称中心为．
求；
若在区间上，的值域为，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据集合的并集和补集运算求解．
解：由题意可知： ，
又因为 ，所以 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】由题意得出 求解即可．
解： ， ，所以， ，
在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，即 ，取 成立．
当 时， ，即 ，得 ，所以
当 时， ，即 ，得 ，所以 ，
综上： 的取值范围是 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】解出不等式 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
解：不等式 等价于 等价于 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
故 能推出 成立，但是 成立不一定有 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】分类讨论判断出 图像性质及 图像性质即可得．
解：对 ，该函数过定点 ，且 恒成立，
对 ，该函数过定点 ，
若 ，对 ， ，则 在 上单调递减，
又 ，故 在 上单调递增，
若 ，对 ， ，则 在 上单调递增，
又 ，故 在 上单调递增，
故排除；
对 ，由 且 ，故 在定义域内单调递增，
故排除．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“”、“ ”分析判断．
解：因为 ，可知： ，即 ；
，可知： ，即 ；
，可知： ，即 ；
综上所述： ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用基本均值不等式求和的最小值．
解： ， ， ，
当且仅当 即 ， 时取“”．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】对选项：借助基本不等式可验证充分性，再取特殊值否定必要性即可得；
对选项：借助特殊值否定充分性即可得；
对选项：借助特殊值否定充分性即可得；
对选项：变形处理后会得出选项为充要条件．
解：对选项：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
当 、 时， ，
但 ，故 ， 时， 为 的充分不必要条件，故A正确；
对选项：取 ， ，有 ，
故 不是 的一个充分条件，故B错误；
对选项：取 ，有 ，
故 不是 的一个充分条件，故C错误；
对选项：由 ，即 ，即 ，
故 是 的充要条件，故D错误．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题的关键是对 进行分类讨论，同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域，最后得到不等式组，解出即可．
分情况讨论 时， 时，及 时分段函数的值域，再根据集合间的关系列不等式，解不等式．
解：若 ，当 时， 在 上单调递减，此时 ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域 满足 ，
则 ，解得 ；
若 ， 当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域 ，不满足 ，不成立；
若 ，当 时， 在 上单调递增，此时 ，
则 ，
又 不成立，
所以此时 不成立；
综上所述： ，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可．
解：对于： ，故A错误．
对于： ，故B正确．
对于： ，故C错误．
对于 ，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：选项， 的定义域为 ， ，
所以 是偶函数，符合题意．
选项， ， 的定义域为 ，
，所以 不是偶函数．
选项， ，
，所以 不是偶函数．
选项， 的定义域为 ，
，所以 是偶函数．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】对于，根据题设得真数 不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得对于，直接代入求解即可对于，根据 ，求解即可对于，根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得．
解：对于，要使定义域为，只需 恒成立，
所以判别式 ，所以真数 不能取遍所有正实数，所以 ，故A对
对于，若 ，
即 ，整理得 ，得 ，
此时 ，故B错；
对于， ，因为与无关，所以 过定点，故C正确；
对于，若 在 上单调递减，只需函数 在 上递减，且 ，即 ，解得 ，故D对．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据三个二次之间的关系可得 对于：根据 结合韦达定理分析求解；对于：举例说明即可；对于：整理可得 ，结合二次不等式运算求解；对于：代入整理可得 ，即可得最小值．
解：由题意可知：方程 的根为 ，则 ，
对于选项A：因为 ，
整理得 ，故A正确；
对于选项B：例如 ，则 ，满足 ，
则 ，故B错误；
对于选项C：若 ，则 ，
不等式 即为 ，
整理得 ，
令 ，解得 或 ，
且 ， ，
所以 的解集为 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 有最小值为 ，故D错误；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】利用换元法，令 ，结合二次函数的性质分析求解．
解：因为 ，令 ，则 ，
则 ， ，
可知 开口向上，对称轴为 ，且 ，
所以 在 内的值域为 ，
即 在 内的值域为 ．
故答案为： ．
14.【答案】 答案不唯一
【解析】【分析】根据题意可知符合要求的函数不止一个，符合要求即可．
解：由题意可得： 符合题意．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】先根据交集和补集运算求解 ，然后利用有解求解 的范围即可．
解：因为 ， ，所以 ，
图中阴影部分表示的集合为 ，即 ，
由题意， 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】利用奇函数的性质把 变形成 ，即 ，再找出对称中心．
解：因为 ，
，
，
所以 ，
因为 为奇函数，则 也奇函数，
所以 关于点 对称，
故答案为：
17.【答案】解：当 时， ，
，所以 ．
化简 ，
，
若 ，则 ，解得 ．
【解析】【分析】化简集合，根据交集定义即得．
化简集合，根据 ，列出不等式组求解即得．
18.【答案】解：令 ，则 ，
则 ，所以 ．
因为 ，
因为 在 内单调递减，
若 ，则 ，即 ，
则 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
【解析】【分析】利用换元法求函数解析式；
根据 的取值范围，结合 的单调性可得 ，分类讨论解不等式即可．
19.【答案】解：因为 是奇函数，则 ，
可得 ，解得 ．
由可知： ，
因为 ，可知 对任意 恒成立，
所以 的定义域为 ．
对任意 ，且 ，
则 ，可得 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以 在 内单调递增，
又因为 为奇函数，则 在 内单调递增，
且 连续不断，所以 是 上的增函数．
【解析】【分析】根据奇函数的定义分析求解；
根据单调性的定义结合奇函数的性质分析证明．
20.【答案】解：因为 ，
令 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 ，
若 ，则 ，
令 ，可得 ，
即 ，整理得 ，解得 ，可得 ，
所以 的解集为 ．
若 最小值为，结合可知： 的最小值为，
因为 的开口向上，对称轴为 ，
若 ，即 时， 在 内单调递增，
可知当 时， 取得最小值，
即 ，解得 ；
若 ，即 时， 在 内单调递减，在 单调递增，
可知当 时， 取得最小值，
即 ，无解；
综上所述： ．
【解析】【分析】换元令 ，整理得 ，分步解不等式即可得结果；
结合可得 的最小值为，分 和 两种情况，结合二次函数性质分析求解．
21.【答案】解：因为 的解为 ，则 ，解得 ．
由可知： ，且 ，
则 ，
即 也是方程 的解，
对于 ，即 ，
整理得： ，解得 ，
所以 的解集为 ．
【解析】【分析】根据题意列式求解即可；
根据 ，代入证明即可，展开 解方程即可．
22.【答案】解：由 可知，定义域为 ，其对称中心为 ，
故有 ，即 ，有 ，解得 ， ，
即 ，对称中心为 ，
检验计算得
，
故成立，
即 ， ；
当 时，由 、 都随 的增大而减小，
故 在 上单调递减，
又 在区间 上， 值域也为 ，
故有 ，即 ，且 ，
解得 ， ．
【解析】【分析】由定义域也会对称，结合函数对称的性质计算即可得；
结合函数的 单调性及定义域与值域的关系即可得．
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