2023-2024学年辽宁省辽东南协作校高一上学期12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省辽东南协作校高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则等于
( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.不等式的解集是
( )
A. B.
C. D. ，或
5.函数的定义域为
( )
A. B. C. D.
6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为
( )
A. B. C. D.
7.已知一元二次方程的两根为与，则( )
A. B. C. D.
8.设函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。
9.已知函数的图象经过点则
( )
A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称
C. 在上单调递减 D. 在内的值域为
10.若，，，则下列命题正确的是
( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 命题“，”的否定是“，”
11.已知函数，关于函数的结论正确的是
( )
A. 的最大值为 B.
C. 若，则 D. 在定义域上是减函数
12.函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是
( )
A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的值域为________．
14.函数的最小值为 ，此时 ．
15.设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______．
16.已知，，，则，，的大小关系为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.求值：
18.已知指数函数且，过点．
求的解析式；
若，求实数的取值范围．
19.已知．
Ⅰ用定义证明在区间上是增函数
Ⅱ求该函数在区间上的最大值．
20.已知二次函数图象的对称轴为直线，且．
求的解析式；
求在上的值域．
21.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的进行奖励．记奖金总额为单位：万元，销售利润为单位：万元．
写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
如果业务员老张获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
22.已知函数．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由并集的 定义即可求解．
解：因为集合，，
所以，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】用替换解析式中的，即可得答案．
本题考查函数解析式的应用求解，是基础题．
解：在中，用替换，
可得
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案．
解：因为“”能推出“”，
而“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；
解：由，解得，即不等式的解集为；
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查具体函数的定义域，属于基础题．
根据二次根式的性质以及分数分母不为求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得： ，解得，
即的定义域为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可
解：由题意，因为，，
由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】利用根与系数关系求得的正确结果．
解：依题意一元二次方程的两根为与，
所以，
所以．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质的应用，考查函数单调性，属于基础题．
由题意，二次函数图象为开口向上的抛物线，可得即可求解．
【解答】
解：函数的对称轴为，开口向上，
又函数在上为减函数，
，即．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数的性质，属于基础题．
依题意，求出指数函数的解析式，由性质即可解题．
【解答】
解：函数的图象经过点，
，，
，显然AB错误；
CD正确．
10.【答案】
【解析】【分析】根据不等性质分别判断选项，再根据命题的否定可判断选项．
解：选项：，，即，选项正确；
选项：，若，则，若，则，若，则，选项错误；
选项：，，所以，选项正确；
选项：命题“，”的否定是“，”，选项正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据分段函数的表达式分别进行判断即可．
：分别求和时的范围即可；
：代入计算即可；
：分类讨论时取值即可；
：分别判断和时单调性即可．
解：当时，是增函数，则此时，
当，为减函数，则此时，综上的最大值为，故A正确；
，故 B正确；
当时，由时，得，此时，成立，故C错误；
当时，是增函数，故 D错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查奇函数的定义、考查奇函数的图象关于原点对称、考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．
先根据奇函数的定义判断出对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出对错；通过奇函数的定义求出当的解析式，判断出对．
【解答】
解：由得，故A正确；
当时，，
则时，，，
则在上有最大值，故B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误；
若时，，
则时，，
，
故D正确．
故选ABD．
13.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数的性质确定的范围，进而确定值域即可．
解：由指数函数的性质知：，
．
故答案为：
14.【答案】或
【解析】【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定对应自变量取值即可．
解：由，则，当且仅当时等号成立，
所以函数在时取最小值．
故答案为：，
15.【答案】
【解析】【分析】由函数图象，结合偶函数的对称性求不等式解集即可．
解：由图知：在上的解集为
又是定义在上的偶函数，则在上的解集为
所以不等式的解集为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】根据指对数的性质判断各数之间的大小关系．
解：由，
所以．
故答案为：
17.【答案】解：原式
．
原式
．

【解析】【分析】利用有理数指数幂的运算性质计算即可；
利用对数的运算性质即可得到结果．
18.【答案】解：将点代入且中 ，得 负值舍去，
故 ；
， 是上的增函数，
，即 ，
， ；
综上，的取值范围为．

【解析】本题考查指数函数的解析式和单调性，属于基础题．
将点代入函数解析式即可；
根据指数函数的单调性，即可求出的取值范围．
19.【答案】解：Ⅰ任取，，且，
则
．
，
，，，
，
即，
故函数在区间上是增函数．
Ⅱ由Ⅰ知函数在区间上是增函数，
．

【解析】本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键，属于基础题．
Ⅰ用函数的单调性定义证明在上是增函数．
Ⅱ由在上是增函数，直接得在区间上的最大值．
20.【答案】解：由题设，令且，
则，故．
由在上递减，在上递增，结合二次函数对称性，
在上，最小值，且，
所以在上的值域为．

【解析】【分析】设且，结合已知，应用待定系数法求解析式；
由在上递减，在上递增，结合二次函数的对称性即可确定上的值域．
21.【答案】当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，
时，；
时，，
该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为．
当时，，
又，，
，解得．
所以老张的销售利润是万元．
【解析】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．
根据奖励方案，可得分段函数；
确定，利用函数解析式，即可得到结论．
22.【答案】解：函数．
，解得
函数的 定义域；
．
为奇函数；
，
求解得出：
故的取值范围：．

【解析】【分析】由，求得的范围，可得函数的定义域；
根据函数的定义域关于原点对称，且，可得为奇函数；
由，可得，分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．
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