2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 46.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 11:48:20 | ||
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文档简介
2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，，则的否定为
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得若甲、乙同学求解过程正确，则( )
A. B. C. D.
6.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过天后，该植物的长度是原来的倍，则天后该植物的长度是原来的
( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
7.设且，若函数是上的奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.若，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列各选项正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则
( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的单调递增区间为
C. 的最小值为 D.
12.已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是
( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间上的平均变化率为______．
14.若函数在区间上单调递增，请写出一个满足条件的区间为______．
15.已知实数，当取得最小值时，______．
16.函数的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，，，．
若，且，求的值及集合；
若，求的值及．
18.本小题分
已知函数的定义域为，．
求集合；
设全集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
19.本小题分
已知幂函数的图象过点．
求实数的值；
设函数，用定义证明：在上单调递减．
20.本小题分
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力发展特色产业，为提升特色产品的知名度，在一家广告设计公司制作了一批宣传特色产品的展牌该公司制作张展牌与其总成本元之间的函数关系可近似地表示为．
当制作多少张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小
若公司每张展牌的售价为元，公司要想盈利，对制作展牌张数有何要求制作多少张展牌可盈利最大盈利总售价总成本
21.本小题分
已知函数且是指数函数．
求的解析式；
若不等式对任意恒成立，求的 取值范围．
22.本小题分
小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“”：对于任意实数，，都有，通过研究发现新运算满足交换律：小颖提出了两个猜想：，，，；．
请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分
设且，，当时，若函数在区间上的值域为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案．
解：根据特称命题的否定为全称命题，
所以命题的否定为：，．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】直接计算得到答案．
解：，则．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出，根据对数的运算性质，即可求得答案．
解：由可得，而，
故，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得．
解：由一元二次不等式的解集为，
得是方程的两个不等实根，并且，
于是，即有，因此，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案．
解：根据题意：且，解得
即，
由，解得
故．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】设植物原来长度，根据天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得天后该植物的长度是原来的多少倍．
解：设植物原来长度，经过天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即
天后该植物的长度是，即为原来的倍，
则，
即天后该植物的长度是原来的倍，
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】根据函数为奇函数可得，结合指数幂的运算化简，即可求得答案．
解：由于函数是上的奇函数，
故，即，
故，即，
因为，故，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】设，函数在上单调递增，根据和结合函数单调性得到答案．
解：，即，
设，函数在上单调递增，
，即，故；
，即，故；
综上所述：．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】由不等式，，可得且，根据不等式的性质，逐项判定，即可求解．
解：由不等式，，可得且
根据不等式的基本性质，可得，，，，
所以、、D正确，不正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得．
解：全集，集合，，
则或，
对于，，不是；
对于，，，是；
对于，，不是；
对于，，是．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】计算得到 A正确，举反例得到B错误，根据均值不等式计算C正确，确定函数单调性，根据得到答案．
解：对选项A：定义域为，则，函数为偶函数，正确；
对选项B：，，，错误；
对选项C：，当且仅当时等号成立，正确；
对选项D：当时，设，，则在上单调递增，
故在上单调递增，
，，，即，
故，正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】确定函数单调性，计算，，得到， A错误，计算，，得到， B正确，根据函数的对称性得到，化简得到 C正确，根据均值不等式计算得到D正确，得到答案．
解：对选项A：，函数在上单调递减，
，，故，错误；
对选项B：，函数在上单调递增，
，，故，正确；
对选项C：，即，
，即，
和关于对称，关于对称，
故和关于对称，，即，正确；
对选项D：，，故，即，
等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确；
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据给定的函数，利用函数平均变化率的定义列式计算即得．
解：函数在区间上的平均变化率为．
故答案为：
14.【答案】答案不唯一．
【解析】【分析】令，根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合指数函数的单调性和复合函数单调性的判定方法，即可求解．
解：由函数，
令，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
则函数的一个单调．
故答案为：答案不唯一．
15.【答案】
【解析】【分析】将化为，利用基本不等式可确定取得最小值时的值，即可求得答案．
解：由题意，可知，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】求出函数的定义域，按分段讨论，并变形函数式，利用换元法求出最大值即得．
求含有二次根式的函数最值，可通过换元转化为熟悉的函数，再利用相应的方法求最值．
解：函数的定义域为，
函数在上单调递增，当时，单调递增，
于是函数在上单调递增，当时，，
当时，，，
显然，令，则，
于是，当且仅当，即时，，
所以当时，函数取得最大值．
故答案为：
17.【答案】解：依题意，，由，且，，得，
即，因此，解得，经验证符合题意，
解方程，得或，，
所以，．
依题意，，由，得，
由知，因此，有，解得，经验证符合题意，
，则，
所以，．
【解析】【分析】求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合．
将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解．
18.【答案】解：由函数有意义，得，解得，即，
所以．
由知，由，得，
由“”是“”的 充分不必要条件，得，即，
因此或，解得或，即，
所以的取值范围是．
【解析】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解即得定义域．
求出，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得．
19.【答案】解：由函数是幂函数，得，解得，
当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意，
当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，
所以，函数，．
由知，函数，则函数，
，，
由，得，且，因此，
即有，则，
所以函数在上单调递减．
【解析】【分析】由幂函数的 定义求出，再利用函数定义域确定值，进而求出的值．
利用的结论，利用函数单调性定义证明单调性．
20.【答案】解：由题意知制作张展牌与其总成本元之间的函数关系可近似地表示为，
故每张展牌的平均成本为元，
则元，
当且仅当，即时等号成立，
当制作张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小；
设公司盈利为元，则，
令，则，
故公司要想盈利，制作展牌张数需满足集合；
又，
当时，取到最大值，
故制作张展牌可盈利最大．
【解析】【分析】由题意用总成本除以张数即可得平均成本的表达式，利用基本不等式可求得答案；
求出盈利的函数表达式，解一元二次不等式可求得制作展牌张数的要求，结合二次函数的最值可求得制作多少张展牌可盈利最大．
21.【答案】解：因为且是指数函数，
所以，解得，
所以的解析式为．
将代入不等式，
得，
由于，上式同时除以，得，
整理得，
因为，令，则，
所以不等式转化为，整理得恒成立，
当时，恒成立．
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
【解析】【分析】利用指数函数的定义即可得解；
代入，将不等式转化为恒成立，从而分类讨论，结合基本不等式即可得解．
22.【答案】解：若选，猜想正确；
证明：，
，
故；
若选，猜想成立；
证明：，
而，
故；
由题意可知
，
令，其图象对称轴为，
故在上单调递减，
因为在区间上的值域为，
故，而，故，
此时在上单调递减，
所以在上单调递增，则，即( )
即，整理得，
即，将代入，
得，同理得，
即是在上的两个不同的根，
令，则
解得，故．
【解析】【分析】无论选还是选，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即可证明结论；
根据新运算定义化简可得的表达式，根据复合函数的单调性判断其单调性，结合其值域可得关于的方程，继而推出是在上的两个不同的根，结合方程根的分布列出不等式组，即可求得答案．
本题给出了新运算的定义，解答时要理解其含义，并根据新定义去运算，解答的难点在于第二问，要结合新运算求得的表达式，并判断其单调性，进而结合值域得到关于参数的方程，再利用方程根的分布求解即可．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，，则的否定为
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得若甲、乙同学求解过程正确，则( )
A. B. C. D.
6.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过天后，该植物的长度是原来的倍，则天后该植物的长度是原来的
( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
7.设且，若函数是上的奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.若，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列各选项正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则
( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的单调递增区间为
C. 的最小值为 D.
12.已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是
( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间上的平均变化率为______．
14.若函数在区间上单调递增，请写出一个满足条件的区间为______．
15.已知实数，当取得最小值时，______．
16.函数的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，，，．
若，且，求的值及集合；
若，求的值及．
18.本小题分
已知函数的定义域为，．
求集合；
设全集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
19.本小题分
已知幂函数的图象过点．
求实数的值；
设函数，用定义证明：在上单调递减．
20.本小题分
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力发展特色产业，为提升特色产品的知名度，在一家广告设计公司制作了一批宣传特色产品的展牌该公司制作张展牌与其总成本元之间的函数关系可近似地表示为．
当制作多少张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小
若公司每张展牌的售价为元，公司要想盈利，对制作展牌张数有何要求制作多少张展牌可盈利最大盈利总售价总成本
21.本小题分
已知函数且是指数函数．
求的解析式；
若不等式对任意恒成立，求的 取值范围．
22.本小题分
小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“”：对于任意实数，，都有，通过研究发现新运算满足交换律：小颖提出了两个猜想：，，，；．
请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分
设且，，当时，若函数在区间上的值域为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案．
解：根据特称命题的否定为全称命题，
所以命题的否定为：，．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】直接计算得到答案．
解：，则．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出，根据对数的运算性质，即可求得答案．
解：由可得，而，
故，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得．
解：由一元二次不等式的解集为，
得是方程的两个不等实根，并且，
于是，即有，因此，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案．
解：根据题意：且，解得
即，
由，解得
故．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】设植物原来长度，根据天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得天后该植物的长度是原来的多少倍．
解：设植物原来长度，经过天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即
天后该植物的长度是，即为原来的倍，
则，
即天后该植物的长度是原来的倍，
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】根据函数为奇函数可得，结合指数幂的运算化简，即可求得答案．
解：由于函数是上的奇函数，
故，即，
故，即，
因为，故，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】设，函数在上单调递增，根据和结合函数单调性得到答案．
解：，即，
设，函数在上单调递增，
，即，故；
，即，故；
综上所述：．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】由不等式，，可得且，根据不等式的性质，逐项判定，即可求解．
解：由不等式，，可得且
根据不等式的基本性质，可得，，，，
所以、、D正确，不正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得．
解：全集，集合，，
则或，
对于，，不是；
对于，，，是；
对于，，不是；
对于，，是．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】计算得到 A正确，举反例得到B错误，根据均值不等式计算C正确，确定函数单调性，根据得到答案．
解：对选项A：定义域为，则，函数为偶函数，正确；
对选项B：，，，错误；
对选项C：，当且仅当时等号成立，正确；
对选项D：当时，设，，则在上单调递增，
故在上单调递增，
，，，即，
故，正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】确定函数单调性，计算，，得到， A错误，计算，，得到， B正确，根据函数的对称性得到，化简得到 C正确，根据均值不等式计算得到D正确，得到答案．
解：对选项A：，函数在上单调递减，
，，故，错误；
对选项B：，函数在上单调递增，
，，故，正确；
对选项C：，即，
，即，
和关于对称，关于对称，
故和关于对称，，即，正确；
对选项D：，，故，即，
等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确；
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据给定的函数，利用函数平均变化率的定义列式计算即得．
解：函数在区间上的平均变化率为．
故答案为：
14.【答案】答案不唯一．
【解析】【分析】令，根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合指数函数的单调性和复合函数单调性的判定方法，即可求解．
解：由函数，
令，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
则函数的一个单调．
故答案为：答案不唯一．
15.【答案】
【解析】【分析】将化为，利用基本不等式可确定取得最小值时的值，即可求得答案．
解：由题意，可知，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】求出函数的定义域，按分段讨论，并变形函数式，利用换元法求出最大值即得．
求含有二次根式的函数最值，可通过换元转化为熟悉的函数，再利用相应的方法求最值．
解：函数的定义域为，
函数在上单调递增，当时，单调递增，
于是函数在上单调递增，当时，，
当时，，，
显然，令，则，
于是，当且仅当，即时，，
所以当时，函数取得最大值．
故答案为：
17.【答案】解：依题意，，由，且，，得，
即，因此，解得，经验证符合题意，
解方程，得或，，
所以，．
依题意，，由，得，
由知，因此，有，解得，经验证符合题意，
，则，
所以，．
【解析】【分析】求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合．
将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解．
18.【答案】解：由函数有意义，得，解得，即，
所以．
由知，由，得，
由“”是“”的 充分不必要条件，得，即，
因此或，解得或，即，
所以的取值范围是．
【解析】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解即得定义域．
求出，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得．
19.【答案】解：由函数是幂函数，得，解得，
当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意，
当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，
所以，函数，．
由知，函数，则函数，
，，
由，得，且，因此，
即有，则，
所以函数在上单调递减．
【解析】【分析】由幂函数的 定义求出，再利用函数定义域确定值，进而求出的值．
利用的结论，利用函数单调性定义证明单调性．
20.【答案】解：由题意知制作张展牌与其总成本元之间的函数关系可近似地表示为，
故每张展牌的平均成本为元，
则元，
当且仅当，即时等号成立，
当制作张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小；
设公司盈利为元，则，
令，则，
故公司要想盈利，制作展牌张数需满足集合；
又，
当时，取到最大值，
故制作张展牌可盈利最大．
【解析】【分析】由题意用总成本除以张数即可得平均成本的表达式，利用基本不等式可求得答案；
求出盈利的函数表达式，解一元二次不等式可求得制作展牌张数的要求，结合二次函数的最值可求得制作多少张展牌可盈利最大．
21.【答案】解：因为且是指数函数，
所以，解得，
所以的解析式为．
将代入不等式，
得，
由于，上式同时除以，得，
整理得，
因为，令，则，
所以不等式转化为，整理得恒成立，
当时，恒成立．
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
【解析】【分析】利用指数函数的定义即可得解；
代入，将不等式转化为恒成立，从而分类讨论，结合基本不等式即可得解．
22.【答案】解：若选，猜想正确；
证明：，
，
故；
若选，猜想成立；
证明：，
而，
故；
由题意可知
，
令，其图象对称轴为，
故在上单调递减，
因为在区间上的值域为，
故，而，故，
此时在上单调递减，
所以在上单调递增，则，即( )
即，整理得，
即，将代入，
得，同理得，
即是在上的两个不同的根，
令，则
解得，故．
【解析】【分析】无论选还是选，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即可证明结论；
根据新运算定义化简可得的表达式，根据复合函数的单调性判断其单调性，结合其值域可得关于的方程，继而推出是在上的两个不同的根，结合方程根的分布列出不等式组，即可求得答案．
本题给出了新运算的定义，解答时要理解其含义，并根据新定义去运算，解答的难点在于第二问，要结合新运算求得的表达式，并判断其单调性，进而结合值域得到关于参数的方程，再利用方程根的分布求解即可．
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