2023-2024学年辽宁省六校协作体高一上学期第三次联考数学试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省六校协作体高一上学期第三次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.学校举行舞蹈比赛，现从报名的位学生中利用下面的随机数表抽取位同学参加，将这位学生按、、、进行编号，假设从随机数表第行第个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第个号码所对应的学生编号为．( )



A. B. C. D.
3.“，为真命题”是“”的
( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设，，都是正数，且，那么下列关系正确的是
( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是
( )
A. B.
C. D.
6.已知函数恒过定点，则函数的图象不经过
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数，满足，则下列结论正确的是
( )
A. 最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为，，的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出个球，每个球被取出的可能性相等下列说法正确的是( )
A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B. 取出的两个球上标号之积能被整除的概率为
C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
11.下列命题正确的是( )
A. 要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是
B. 在上恒成立，则实数的取值范围是
C. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
D. 若不等式的解集为或，则对于函数有
12.已知定义在上的函数满足：是偶函数；当时，；当，时，，则
( )
A. B. 在上单调递增
C. 不等式的解集为 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则________
14.若函数的值域为，实数的取值范围是________．
15.某校教师男女人数之比为，该校所有教师进行分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为，方差为，女教师命中次数的平均数为，方差为，那么全体教师分钟限时投篮次数的方差为___________．
16.已知函数，如果存在实数，满足且，则的取值范围为______．( )
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值
；
．
18.本小题分
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲乙两人至少有一人被选上的概率．
19.本小题分
已知集合，集合；
若是的充分不必要条件，求的取值范围；
已知，设，求函数的值域．
20.本小题分
已知图像关于轴对称．
求的值；
若方程有且只有一个实根，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数为指数函数，函数为奇函数．
Ⅰ求，的解析式
Ⅱ设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值．
22.本小题分
已知函数，．
求的值域；
已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义求解．
解：，即，得，即，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】利用随机数表法，按照给定条件一次选取符合要求的号码即可．
解：从随机数表第行第个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过和重复的号码，选取的号码依次为：，，，，，，，，，．
所以选出来的第个号码所对应的学生编号为．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】将全称命题为真命题转化为恒成立问题，利用二次函数的性质及充分必要条件的定义即可求解．
解：因为，为真命题，
所以不等式在上恒成立，等价于即可，
令，则
由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，
所以“为真命题”是“”的必要不充分条件，即“，为真命题”是“”的必要不充分条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】利用指数与对数的关系结合对数运算法则及指数函数的性质计算即可．
解：由题意可设，
又因为，，都是正数，根据指数函数的性质可知，
，，
而，
故A错误；
易知，，，
则，故 C正确；
而，即 B错误；
由可知 D错误．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断．
解：方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除．
故选：．
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．
解：，恒过定点，
，，，其图象不经过第四象限，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”并结合不等式，从而求解．
解：由于函数在上单调递减，又因为在定义域内是减函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递增，且，
所以得：解得：．
故的取值范围是：，故 C项正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考函数函数奇偶性的应用，属于中档题．
由偶函数的定义域性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．
【解答】
解：由题意，，的定义域，时，递减，
又是偶函数，因此不等式转化为，
，，解得．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】用基本不等式，换法，换元法比较大小即可．
解：已知，，，
对于，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为，A正确；
对于，，，当且仅当，即，时，等号成立，与，矛盾， B错误；
对于，，当且仅当，即，时，等号成立，与，矛盾， C错误；
对于，，当且仅当，时，等号成立， D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用古典概率模型求解．
解：由题，样本空间为，共个样本点，
对，取出的两个球上标号为不同数字的概率为， A错误；
对，取出的两个球上标号之积能被整除的样本点有共个，所以概率为， B正确；
对，取出的两个球上标号为相同数字的概率为， C正确；
对，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的基本事件有共个，
所以甲盒中取出的 球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率， D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】令，则即可求得的范围，即可判断；令，则即可求得的范围，即可判断；根据题意求出和的关系，化简即可求出解集，即可判断；根据二次方程根与系数的关系求出、、间的关系，再根据二次函数的性质判断．
解：对于：要使关于的方程的一根比大且另一根比小，
令，则有，即，
解得，故 A正确；
对于：在上恒成立，
令，则，即，解得，故 B正确；
对于：关于的不等式的解集是，，
则关于的不等式等价于，即，
解得，即关于的不等式的解集是，故 C错误；
对于：若不等式的解集为或，
则，且，，，
则，
函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，
所以，，则，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】方法一：对于，由条件令，，结合条件可得；对于，结合条件与单调性定义求解；对于，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于，令判断即可．
方法二：构造函数判断即可．
解：方法一：对于，由条件当，时，，
令，，得：，
又由条件得，， A正确；
对于，取，，且，则
，
，，，，
，即，在上单调递增， B正确；
对于，，，
不等式等价于，
又在上单调递增，且由条件得是偶函数，
，解集为， C错误；
对于，令，则，，
此时不成立， D错误．
方法二：构造函数，符合条件．
，故 A正确；
时，，在上单调递增，故 B正确；
，则即为，则，解集为，故 C错误；
令，则，，
此时不成立， D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】由幂函数的定义，可解得，根据幂函数在上单调递增，可得的范围，结合题意及函数的奇偶性，即可得答案本题考查幂函数的定义，单调性，奇偶性的应用，考查化简求值、分析理解的能力，属基础题．
解：因为函数为幂函数，所以，所以，
又因为函数在上是单调递增函数，
所以，所以，
因为，所以，
当时，函数为奇函数，不合题意，舍去，
当时，为偶函数，符合题意，
所以．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】设的值域为，得到，分和讨论研究其值域即可．
解：函数的值域为，设的值域为，
则，
当时，，此时，符合；
当时，，解得，
综合得实数的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】设男女人数分别为，求出全体教师平均命中次数，利用方差公式求全体教师分钟限时投篮次数的方差．
用男女教师命中次数的方差表示出全体教师分钟限时投篮次数的方差为关键．
解：设男女人数分别为，则男女教师总命中次数分别为、，
所以全体教师平均命中次数为，
若男教师命中次数为，女教师命中次数为，
所以，，
全体教师分钟限时投篮次数的方差为，则
，
所以．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】先画出函数的图像，得到，求出，即得解．
解：画出函数图像，如图所示，
其中，所以．
由题得，所以，
二次函数的对称轴为，
时，；时，．
所以的 取值范围为．
故答案为：
17.【答案】解：原式；
原式
．

【解析】【分析】利用指数的运算法则计算即可；
利用对数的运算法则计算即可．
18.【答案】解：设这人的平均年龄为，则
岁，
设第百分位数为，因为，所以第百分位数在之间，
由，解得
由题意得，各组人数比例为，所以第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组应抽取人，记为，乙．
对应的样本空间为：甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．
所以

【解析】【分析】直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第百分位数；
按照分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率．
19.【答案】解：由，
因为是的充分不必要条件，
所以是集合的真子集，所以
解得，显然与时，均符合题意，
故的取值范围为：．
由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，
故函数的值域为．

【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义与集合间的关系计算即可；
先求的定义域，再利用对数函数与二次函数的单调性计算值
20.【答案】解：因为为偶函数，所以，
即，，
即，即，
，
依题意知：，
由得：
，
，
令，则变为，
等价于时，时，．
设，
，故图像过定点，
当时，即，则，不合题意．
当，即时，函数的图像开口向下，
结合图像可得，当时，函数图像必与轴上满足的部分有且只有一个交点，符合题意；
当时，函数的图像开口向上，
结合图像可得：
，解得：，即
综上得：或．

【解析】【分析】根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；
首先将方程化简为：，进而可得，令，则关于的方程只有一个正实数根，先考虑的情形是否符合，根据二次函数过定点，结合函数图像即可求解．
本题解题的关键是根据对数的运算性质得到有一个根，通过换元得到的方程只有一个正实数根，进而可根据分类讨论思想，结合二次函数的图像求解即可．
21.【答案】解：Ⅰ因为为指数函数，
所以，解得舍去或，
所以．
所以，
因为为奇函数，
所以，即，
得到，解得，
所以．
Ⅱ因为，
所以，
所以．
所以．
不等式恒成立，即恒成立，
令，则，
由，可得在时恒成立，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数的最大值为．

【解析】本题考了利用函数奇偶性求函数解析式，利用基本不等式解决恒成立问题，涉及指数化简运算，属于较难题．
22.【答案】解：将代入，得，则，
又因为，
所以的值域为；
假设函数的图像存在对称中心，
则对于定义域内任何恒成立，
整理得恒成立，
所以
解得，，
故函数的对称中心为；
因为对任意，都存在及实数，使得，
所以，即，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即
所以，
所以，即的最大值为

【解析】【分析】根据得到，得到解析式，进而求出值域；
假设函数的图像存在对称中心，得到，整理后得到方程组，求出，，得到对称中心；
变形得到，因为，所以，根据，得到包含关系，得到不等式，求出
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