福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 177.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-05 09:32:22 | ||
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文档简介
2023-2024学年福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作高一上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角与角的终边相同，则( )
A. B.
C. D.
2.若函数的定义域为，则函数的定义域为
( )
A. B. C. D.
3.若函数的图象在上连续不断，且满足，则下列说法正确的是
( )
A. 在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B. 在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C. 在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D. 在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
4.设集合，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象过点，设，则的大小关系是
( )
A. B. C. D.
6.如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮
涌动和发展如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则( )
A. B. C. D.
7.是函数且在是减函数的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设函数，且，则
( )
A. 若，则一定有零点
B. 若，则无零点
C. 若且，则一定有零点
D. 若则有两个零点
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若角的终边经过点，则下列结论正确的是
( )
A. 是第二象限角 B. 是钝角
C. D. 点在第二象限
10.对于实数，下列说法正确的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数，则下列结论正确的是
( )
A. 为奇函数
B. 值域为
C. 若，且，则
D. 当时，恒有成立
12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是
( )
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________
14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．
15.音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由公式其中是人耳能听到的声音的最低声波强度计算得到，设的声音的声波强度为的声音的声波强度为，则是的__________倍．
16.设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
已知，求的值．
18.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知_______，
求的值；
当为第三象限角时，求的值．
19.本小题分
已知函数在上的最大值为，最小值为．
求的解析式；
若，使得，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
已知时，函数的最小值为，求实数的值．
21.本小题分
“双”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案一次购买商品的价格，每满元立减元
优惠方案在优惠之后，再每满元立减元．
例如，一次购买商品的价格为元，则实际支付额元，其中表示不大于的最大整数又如，一次购买商品的价格为元，则实际支付额元．
小芳计划在该商场购买两件价格分别是元和元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好请说明理由
已知某商品是小芳常用必需品，其价格为元件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低最低平均价格是多少
22.本小题分
已知函数，函数的图像与的图像关于对称．
求的值；
若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用终边相同的角的特征即可得解．
解：因为角 与 角的终边相同，
所以 ，则 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解．
解：若函数 的定义域为 ，则函数 有意义当且仅当 ，解得 ，即函数 的定义域为 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】直接根据存在定理即可得结果．
解：因为 ，所以 在区间 上可能有零点，
因为 ， ，所以在区间 上一定有零点，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】由题意解对数函数不等式得到集合 ，由 即可得解．
解：由题意 ， ，则 ，
若 ，则 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较 大小得解．
解：因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
即 ，故函数在 上为增函数，
因为 ， ， ，
所以 ．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由 可得 ，再由扇形的面积公式即可得到结果．
解：设 ，由 ，得 ，即 ，
所以
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】令 ， ， 图象的对称轴为直线 ，判断 在 上单调递减，若要满足 且 在 单调递减，则 单调递增，进而得到不等式组，求出 的范围，利用逻辑推理判断选项．
解：令 ， ，
则 图象的对称轴为直线 ，
所以 在 上单调递减，
若要满足 且 在 单调递减，
则 单调递增，
则 ，解得 ，
故 ，
则 是函数 且 在 单调递减的必要不充分条件．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点以及函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是较难题．
画出函数的图象，利用二次函数的性质结合函数的极值与零点，判断选项的正误即可．
【解答】
解：对于，如图，
此时，当，
，此时无零点．
对于，如图时，，
如图在，，有零点．
对于，反例图如图，显然不合题意．
对于，设，，
又因为，所以无解，有两解，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据 点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案．
解：由点 在第二象限，可得 是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；
，C正确；
由 ， ，则点 在第二象限，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】由特值法可判断，由不等式的性质判断，由作差法判断，从而得解．
解：对于，因为 ，所以 ，则 ，则 ，故A正确；
对于，取 ，则 ，故B错误；
对于，若 ，则 ，即 ，故C正确；
对于，因为 ，当 时， ，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】对于选项，根据解析式推导出 ，进而得到 为关键应用奇偶性定义判断；在 上，令 研究其单调性和值域，再判断 的区间单调性和值域判断；利用解析式推出 ，根据已知得到 ，再应用基本不等式判断；特殊值法，将 代入判断．
解：由解析式知：函数定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，对；
当 时，令 ，当且仅当 时等号成立，
由对勾函数性质知： 在 上递减，在 上递增，且值域为 ，
而 在 上递增，故 在 上递减，在 上递增，且 ，
由奇函数的对称性知： 在 上递增，在 上递减，且 ，
所以 值域为 ，错；
由 ，若 且 ，
所以 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
而 时 ，故等号不成立，所以 ，对；
由 ，即 时 ，错；
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“ ”，转化为解不等式组的问题对于，利用赋值法求得 ，从而得以判断；对于，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于，先求得 ，再将不等式转化为 ，从而得到关于 的不等式，解之即可判断．
解：对于，因为 ，
令 ，得 ，所以 ，故A正确；
对于，令 ，得 ，所以 ，
任取 ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，故B正确；
对于，
，故C错误；
对于，因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由 得 即 ，
因为 在 上是增函数，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题由三角函数的定义可求出 的值，然后由诱导公式可得 得到答案．
解：点 在角 的终边上，则 ．
由三角函数的定义可得：
又
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】易知 不等式成立，当 时，根据一元二次不等式恒成立即可判断．
解：因为命题“ ”是假命题，所以 在上恒成立，
当 时，不等式 化为 ，恒成立；
当 时，由不等式 恒成立，
得 ，解得： ，
因此实数的取值范围为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解．
解：由题意 ，所以 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数画出 图象，换元后分析可知方程的一根在区间 上，另一根在区间 上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数 的取值范围．
解：作出函数 的图象如图，
令 ，函数 恰好有四个零点．
则方程 化为 ，
设 的两根为 ，
因为 ，所以两根均大于，且方程的一根在区间 内，另一根在区间 内．
令
所以 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围为
故答案为：
17.【答案】解：原式 ．
，
，
即 ，
，
， ，
．
【解析】【分析】结合指对数的运算性质化简即可；
结合两次平方关系即可求得 ．
18.【答案】解：若选，，
可得；
若选，，
可得：，即，
可得；
若选，，
可得，即，
可得；
当为第三象限角时，，，
解得，，
所以
．
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
若选或或，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；
利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用诱导公式化简即可求解．
19.【答案】解：的图象开口向上，对称轴为，
所以在区间上有：，，
即，解得：，
所以；
依题意，使得，
即，
由于，，
当且仅当，即时等号成立．
所以，
故的取值范围为：．
【解析】本题考查了二次函数的最值及利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．
根据的最值列方程组，解方程组求得，的值，进而求得；
利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围．
20.【答案】解： 当 时， ，
当 时， 为 上的奇函数
综上所述，函数 的解析式为 ；
，
设 ，则 ，函数 化为 ．
当 ，即 时，函数 在 上是增函数
的最小值为 ，解得 不合题意，舍去
当 ，即 时，函数 在 上是减函数
的最小值为 ，解得
当 ，即 时，函数 在 上有最小值
的最小值为
解得 或 不合题意，舍去
综上所述，实数 的值为 或．
【解析】【分析】由奇函数的性质结合 的解析式可求 的解析式；
首先化简得 ，再利用换元法结合二次函数的性质求的值即可．
21.【答案】解：分两次支付：支付额为
元
一次支付：支付额为元，
因为，所以一次支付好
设购买件，平均价格为元件由于预算不超过元，但算上优惠，最
多购买件，
当时，不能享受每满元再减元的优惠
当时，
当时，，
当时，，．
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为元件
当时，能享受每满元再减元的优惠
当时，，
当，时，
当时，，
随着的增大而增大，所以当，时，．
综上，购买件或件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为元件．
【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，，
所以；
问题转化为关于的方程在上有且仅有一个实根，
作出函数在上的图像如图，
，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数的取值范围是；
记，
其中，因为函数在上单调递增，
若存在实数，使得的值域为，
则，，所以，
即，是的两个不等正根，
所以，，，
解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】本题考查函数的解析式和函数与方程的关系、函数的值域的求法，考查方程思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．
求得，计算可得所求值；
由题意可得关于的方程在上有且仅有一个实根，作出函数在上的图像，由图像可得所求范围；
化简可得，，由的单调性可得，是的两个不等正根，由判别式大于和韦达定理，解不等式可得所求取值范围．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角与角的终边相同，则( )
A. B.
C. D.
2.若函数的定义域为，则函数的定义域为
( )
A. B. C. D.
3.若函数的图象在上连续不断，且满足，则下列说法正确的是
( )
A. 在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B. 在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C. 在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D. 在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
4.设集合，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象过点，设，则的大小关系是
( )
A. B. C. D.
6.如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮
涌动和发展如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则( )
A. B. C. D.
7.是函数且在是减函数的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设函数，且，则
( )
A. 若，则一定有零点
B. 若，则无零点
C. 若且，则一定有零点
D. 若则有两个零点
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若角的终边经过点，则下列结论正确的是
( )
A. 是第二象限角 B. 是钝角
C. D. 点在第二象限
10.对于实数，下列说法正确的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数，则下列结论正确的是
( )
A. 为奇函数
B. 值域为
C. 若，且，则
D. 当时，恒有成立
12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是
( )
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________
14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．
15.音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由公式其中是人耳能听到的声音的最低声波强度计算得到，设的声音的声波强度为的声音的声波强度为，则是的__________倍．
16.设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
已知，求的值．
18.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知_______，
求的值；
当为第三象限角时，求的值．
19.本小题分
已知函数在上的最大值为，最小值为．
求的解析式；
若，使得，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
已知时，函数的最小值为，求实数的值．
21.本小题分
“双”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案一次购买商品的价格，每满元立减元
优惠方案在优惠之后，再每满元立减元．
例如，一次购买商品的价格为元，则实际支付额元，其中表示不大于的最大整数又如，一次购买商品的价格为元，则实际支付额元．
小芳计划在该商场购买两件价格分别是元和元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好请说明理由
已知某商品是小芳常用必需品，其价格为元件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低最低平均价格是多少
22.本小题分
已知函数，函数的图像与的图像关于对称．
求的值；
若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用终边相同的角的特征即可得解．
解：因为角 与 角的终边相同，
所以 ，则 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解．
解：若函数 的定义域为 ，则函数 有意义当且仅当 ，解得 ，即函数 的定义域为 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】直接根据存在定理即可得结果．
解：因为 ，所以 在区间 上可能有零点，
因为 ， ，所以在区间 上一定有零点，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】由题意解对数函数不等式得到集合 ，由 即可得解．
解：由题意 ， ，则 ，
若 ，则 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较 大小得解．
解：因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
即 ，故函数在 上为增函数，
因为 ， ， ，
所以 ．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由 可得 ，再由扇形的面积公式即可得到结果．
解：设 ，由 ，得 ，即 ，
所以
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】令 ， ， 图象的对称轴为直线 ，判断 在 上单调递减，若要满足 且 在 单调递减，则 单调递增，进而得到不等式组，求出 的范围，利用逻辑推理判断选项．
解：令 ， ，
则 图象的对称轴为直线 ，
所以 在 上单调递减，
若要满足 且 在 单调递减，
则 单调递增，
则 ，解得 ，
故 ，
则 是函数 且 在 单调递减的必要不充分条件．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点以及函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是较难题．
画出函数的图象，利用二次函数的性质结合函数的极值与零点，判断选项的正误即可．
【解答】
解：对于，如图，
此时，当，
，此时无零点．
对于，如图时，，
如图在，，有零点．
对于，反例图如图，显然不合题意．
对于，设，，
又因为，所以无解，有两解，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据 点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案．
解：由点 在第二象限，可得 是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；
，C正确；
由 ， ，则点 在第二象限，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】由特值法可判断，由不等式的性质判断，由作差法判断，从而得解．
解：对于，因为 ，所以 ，则 ，则 ，故A正确；
对于，取 ，则 ，故B错误；
对于，若 ，则 ，即 ，故C正确；
对于，因为 ，当 时， ，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】对于选项，根据解析式推导出 ，进而得到 为关键应用奇偶性定义判断；在 上，令 研究其单调性和值域，再判断 的区间单调性和值域判断；利用解析式推出 ，根据已知得到 ，再应用基本不等式判断；特殊值法，将 代入判断．
解：由解析式知：函数定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，对；
当 时，令 ，当且仅当 时等号成立，
由对勾函数性质知： 在 上递减，在 上递增，且值域为 ，
而 在 上递增，故 在 上递减，在 上递增，且 ，
由奇函数的对称性知： 在 上递增，在 上递减，且 ，
所以 值域为 ，错；
由 ，若 且 ，
所以 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
而 时 ，故等号不成立，所以 ，对；
由 ，即 时 ，错；
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“ ”，转化为解不等式组的问题对于，利用赋值法求得 ，从而得以判断；对于，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于，先求得 ，再将不等式转化为 ，从而得到关于 的不等式，解之即可判断．
解：对于，因为 ，
令 ，得 ，所以 ，故A正确；
对于，令 ，得 ，所以 ，
任取 ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，故B正确；
对于，
，故C错误；
对于，因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由 得 即 ，
因为 在 上是增函数，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题由三角函数的定义可求出 的值，然后由诱导公式可得 得到答案．
解：点 在角 的终边上，则 ．
由三角函数的定义可得：
又
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】易知 不等式成立，当 时，根据一元二次不等式恒成立即可判断．
解：因为命题“ ”是假命题，所以 在上恒成立，
当 时，不等式 化为 ，恒成立；
当 时，由不等式 恒成立，
得 ，解得： ，
因此实数的取值范围为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解．
解：由题意 ，所以 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数画出 图象，换元后分析可知方程的一根在区间 上，另一根在区间 上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数 的取值范围．
解：作出函数 的图象如图，
令 ，函数 恰好有四个零点．
则方程 化为 ，
设 的两根为 ，
因为 ，所以两根均大于，且方程的一根在区间 内，另一根在区间 内．
令
所以 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围为
故答案为：
17.【答案】解：原式 ．
，
，
即 ，
，
， ，
．
【解析】【分析】结合指对数的运算性质化简即可；
结合两次平方关系即可求得 ．
18.【答案】解：若选，，
可得；
若选，，
可得：，即，
可得；
若选，，
可得，即，
可得；
当为第三象限角时，，，
解得，，
所以
．
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
若选或或，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；
利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用诱导公式化简即可求解．
19.【答案】解：的图象开口向上，对称轴为，
所以在区间上有：，，
即，解得：，
所以；
依题意，使得，
即，
由于，，
当且仅当，即时等号成立．
所以，
故的取值范围为：．
【解析】本题考查了二次函数的最值及利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．
根据的最值列方程组，解方程组求得，的值，进而求得；
利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围．
20.【答案】解： 当 时， ，
当 时， 为 上的奇函数
综上所述，函数 的解析式为 ；
，
设 ，则 ，函数 化为 ．
当 ，即 时，函数 在 上是增函数
的最小值为 ，解得 不合题意，舍去
当 ，即 时，函数 在 上是减函数
的最小值为 ，解得
当 ，即 时，函数 在 上有最小值
的最小值为
解得 或 不合题意，舍去
综上所述，实数 的值为 或．
【解析】【分析】由奇函数的性质结合 的解析式可求 的解析式；
首先化简得 ，再利用换元法结合二次函数的性质求的值即可．
21.【答案】解：分两次支付：支付额为
元
一次支付：支付额为元，
因为，所以一次支付好
设购买件，平均价格为元件由于预算不超过元，但算上优惠，最
多购买件，
当时，不能享受每满元再减元的优惠
当时，
当时，，
当时，，．
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为元件
当时，能享受每满元再减元的优惠
当时，，
当，时，
当时，，
随着的增大而增大，所以当，时，．
综上，购买件或件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为元件．
【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，，
所以；
问题转化为关于的方程在上有且仅有一个实根，
作出函数在上的图像如图，
，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数的取值范围是；
记，
其中，因为函数在上单调递增，
若存在实数，使得的值域为，
则，，所以，
即，是的两个不等正根，
所以，，，
解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】本题考查函数的解析式和函数与方程的关系、函数的值域的求法，考查方程思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．
求得，计算可得所求值；
由题意可得关于的方程在上有且仅有一个实根，作出函数在上的图像，由图像可得所求范围；
化简可得，，由的单调性可得，是的两个不等正根，由判别式大于和韦达定理，解不等式可得所求取值范围．
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