5.3 简单的轴对称现象（第3课时） 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
5.3 简单的轴对称图形
第3课时
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法.
2.利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题.
3.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉.
4.使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.
重点：角平分线的性质.
难点：角平分线性质的应用
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
角是轴对称图形吗？
探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
将 ∠AOB 对折， 你发现了什么？
答：角是轴对称图形．
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴．
做一做：
（1） 在一张纸上任意画 ∠AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
答：重合
CD＝CE
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗
猜想:
可以看到,第一条折痕是∠AOB的平分线OP,第二次折叠形成的两条折痕CD,CE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
验证猜想
已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：CD=CE.
解：
∵ CD⊥OA,CE⊥OB，
∴ ∠CDO= ∠CEO=90 °.
在△CDO和△CEO中，
∠CDO= ∠CEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △CDO ≌△CEO(AAS).
∴CD=CE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
几何语言：
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
1
2
C
A
O
B
P
D
E
角平分线性质：
B
A
D
C
B
A
D
C
O
A
B
E
D
C
P
∵AD平分∠BAC(已知)
∴BD=CD
∵DC⊥AC，
DB⊥AB(已知)
∴BD=CD
∵OC是∠AOB的角平
分线(已知)
∴PD=PE
判断：以下证明过程是否正确？
归纳总结
1.定理应用所具备的条件
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
2.定理的作用
证明线段相等
几何格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且∠ B= ∠ C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
要求：先独立完成，后小组交流。
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且∠ B= ∠ C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： 因为AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在△BDE 和 △CDF中，
所以△BDE ≌ △CDF(AAS).
所以EB=FC.
∠ B= ∠C ，
DE=DF ，
∠DEB=∠DFC
探究：如果没有量角器，你还能用什么办法得到一个已知角的角平分线哪？
回顾思考，举手回答
B
M
N
C
O
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
A
证明:连接MC，NC由作法知:
在△OMC和△ONC中
　OM=ON
　MC=NC
　OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠AOB的角平分线
这样做的道理？如何证明？
B
M
N
C
O
A
练一练：先任意画一个角，然后将它四等分.
要求：请一位同学到黑板上演示，其他同学独立操作，
后小组交流。
要求：先小组内交流收获和感想，然后以
小组为单位派代表进行总结。
例：先任意画一个角，然后将它四等分.
分析：
画出已知角∠AOB.
①作∠AOB的平分线OC.
②分别作∠BOC和∠AOC的平分线OD，OE. OC，OD，OE将∠AOB四等分．
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD
B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
B
2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能判断∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)
A．SSS B．ASA
C．AAS D．SAS
A
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
4.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是(　　)
B
5.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，
交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．6
A
6.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为_____．
2cm
8.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D，下列结论：①△ABE≌ △ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中正确的是(　　)
A．①②③　 　 B．②③
C．①③　 　 D．①
A
9. 如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE=CF.
解：因为CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF, ∠DCE= ∠DCF, ∠DEC= ∠DFC.
所以△CDE≌△CDF(AAS)，
所以CE＝CF.
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
习题5.5
第1、2、3题