5.3 简单的轴对称现象（第1课时） 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
5.3 简单的轴对称现象
第1课时
1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.
2.通过探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.
3.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念.
教学重点：掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.
教学难点：探索等腰三角形的轴对称性及其性质的过程.
轴对称
图形
两个图形
成轴对称
轴对称
定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合.
定义：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合
特征：一个图形具有的特殊形状
特征：两个全等图形的特殊的位置关系
互相转化
性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
轴对称
的性质
观察下列图片，它们有什么共同的特征？
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
A
B
C
顶角
腰
腰
底边
底角
如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形.
它的各部分名称分别是什么？
(1)相等的两条边都叫腰;
(2)另一边叫底边;
(3)两腰的夹角∠A叫顶角;
(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角.
等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.
你是如何得到问题的答案的？
直接想象
折叠操作
折叠验证
想象过程
找出等腰△ABC的对称轴.
等腰三角形底边的中线所在的直线.
等腰三角形底边的高所在的直线.
你同意他们的观点吗？
把等腰三角形沿折痕AD对折后，左右两边重合，所以等腰三角形是轴对称图形；
重合的线段：
AB＝AC
BD＝CD　　
∠BAD＝∠CAD
重合的角：
B
A
C
D
其中重合的线段和重合的角有：
1
2
4
3
∠ADB＝∠ADC
∠B＝∠C
（ ∠1＝∠2 ）
（ ∠3＝∠4 ）
B
A
C
D
(1)BD=CD，
AD为底边上的中线.
(2)∠BAD=∠CAD，
AD为顶角的平分线.
(3)∠ADB=∠ADC=90°
AD为底边上的高.
(4)∠B =∠C .
等腰三角形的两个底角相等.
1.等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
A
B
C
D
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,AD是∠BAC的平分线，求证：直线AD是等腰△ABC的对称轴.
证明：∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD＝∠ CAD.
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
∠BAD＝∠ CAD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴直线AD是等腰△ABC的对称轴.
A
B
C
D
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
BD＝ CD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴直线AD是等腰△ABC的对称轴.
2.等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线.求证：直线AD是等腰△ABC的对称轴.
3.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴.
A
B
C
D
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.
求证：直线AD是等腰△ABC的对称轴.
证明：∵AD⊥BC,
∴∠BDA＝∠CDA=90°.
∴直线AD是等腰△ABC的对称轴.
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(HL)．
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
A
B
C
D
证明： 在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
∠BAD＝∠ CAD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD=CD,
∠BDA＝∠ CDA．
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠ CAD.
求证：AD⊥BC，BD＝CD.
∵∠BDA+∠ CDA=180°，
∴∠BDA＝∠ CDA=90°.
∴AD⊥BC.
证明： 在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
BD＝ CD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD,
∠BDA＝∠ CDA．
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD=CD.
求证：∠BAD＝∠ CAD，AD⊥BC.
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
A
B
C
D
∵∠BDA+∠ CDA=180°，
∴∠BDA＝∠ CDA=90°.
∴AD⊥BC.
证明：∵AD⊥BC,
∴∠BDA＝∠CDA=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB＝AC
AD=AD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC.
求证：∠BAD＝∠ CAD，AD⊥BC.
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
A
B
C
D
∴∠BAD＝∠CAD,
BD＝ CD．
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
“知其一”，
“得另二”！
A
B
C
D
在△ABC中，AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD.
在△ABC中，AB＝AC，
∵∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，BD＝CD.
在△ABC中，AB＝AC，
∵BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC.
等腰三角形的两个底角相等.
在△ABC中,
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
几何语言：
A
B
C
D
简称为：“等边对等角”.
例1.如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°，立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD.
解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，
所以∠B＝∠C＝40°，
∠BAD＝∠CAD＝50°.
（1） 等边三角形有几条对称轴？
（2） 你能发现它的哪些特征？
有3条对称轴
等边三角形的三条边都相等；
等边三角形的内角都相等,且等于 60 °;
等边三角形是轴对称图形，有三条对称；
等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一.
等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。
等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（简称“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。
等边三角形的各角都相等，都等于60°
A
C
B
解：因为AB=AC, BD=BC=AD,（已知）
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角）
设∠A=x°,因为∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
又因为∠BDC+∠ADB=180°，所以∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.
因为∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，
所以x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）
解得 x=36.所以∠A=36°，∠C=72°.
例2.如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度数.
C
D
B
A
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流．
1.按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开.
解：因为OA=AB，
所以∠ABO=∠O=15°，所以∠BAO=150°,
所以∠BAC=∠ABO+∠O=30°.
因为AB=BC，
所以∠ACB=∠BAC=30°，
所以∠CBO=135°，所以∠CBD=∠O+∠ACB=45°.
因为BC=CD，所以∠D=∠CBD=45°，所以∠BCD=90°,
所以∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°.
例3.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
1.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(　　)
A．20° B．35°
C．40° D．70°
B
2.一个等边三角形的对称轴共有 (　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
3. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于(　　)
A．36° B．54°
C．18° D．64°
B
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB
于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；
②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；
④若点P在直线AD上，则PB＝PC.
其中正确的是(　　)
A．①　　 B．①②　　
C．①②③　　D．①②③④
D
5.在△ABC 中，AB = AC.
（1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？
（2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？
A
B
C
6.填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ；
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是______ ；
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于____________ ；
20°或50°
100°
45°
7.如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.
解：如图，连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS)．
所以AC＝AD.
又因为AM⊥CD，
所以CM＝MD.
8.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
9.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)试说明：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AED的度数．
（2）.由(1)可知AB＝BE，∠ABE＝30°，
所以∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理，∠CDE＝∠CED＝75°.
所以∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
等腰三角形的性质
轴对称图形
等腰三角形
三线合一
等边对等角
等边三角形的性质
三线合一
轴对称图形
各角都相等
，都为60度
习题5.3
第1、2题