2024普通高中学业水平考试数学模拟卷3（含解析）

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2024普通高中学业水平考试数学模拟卷(三)
(时间:80分钟,满分:100分)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.已知集合A={4,5,6},B={3,5,7},则A∪B=(　　)
A. B.{5}
C.{4,6} D.{3,4,5,6,7}
2.复数z=3-2i在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.函数f(x)=ln(2-x)的定义域是(　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
4.已知a=20.2,b=2-1,c=1,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>c>b B.b>a>c
C.c>a>b D.a>b>c
5.已知向量a=(2,3),b=(m,6),且a⊥b,则m=(　　)
A.-4 B.4 C.-9 D.9
6.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则参加比赛的都是女生的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.在△ABC中,已知D是AB边上的中点,G是CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ=(　　)
A. B. C. D.1
8.如果一个棱长为a的正方体的八个顶点都在同一个球面上,且这个球的表面积为π,则a=(　　)
A.1 B. C. D.
9.不等式|2x-1|-x2<1的解集是(　　)
A.xx<-2或x> B.{x|x<-2或x>0}
C.x-210. 已知函数f(x)的部分图象如右图所示,则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=ex·ln|x| B.f(x)=
C.f(x)=ex+ln|x| D.f(x)=ex-ln|x|
11.已知α∈(0,π),且满足,则tan α=(　　)
A.- B.- C. D.
12.若正数x,y满足=1,则4x2+y2-16xy的最小值是(　　)
A.-108 B.-100
C.-99 D.-96
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.已知θ∈-,且sin θ=,则关于θ表述正确的是(　　)
A.θ= B.cos θ=-
C.tan θ= D.tan θ=
14.如图,虚线是某印刷厂的收支差额y(单位:元)关于印刷量x的图象,现有一单位需印制一批证书,为此印刷厂员工给出了以下两种方案,方案一:收取制版费和印刷费,其中印刷费用按原价的八折收取;方案二:不收取制版费,印刷量达到一定数量后,超出部分按原价的六折收取,则符合两种方案描述的图象(实线部分)是(　　)
15.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有两根,则实数a的值可能为(　　)
A. B.1
C.e D.3
16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E为棱C'D'的中点,过AE的截面与棱CC',A'D',BC分别交于点F,G,H,则下列说法正确的是(　　)
A.存在点H,使得AE⊥D'H
B.线段D'G的长度的最大值是1
C.当点F与点C重合时,多面体DAGEFH的体积为2
D.点D到截面AEF的距离的最大值是
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.已知函数f(x)=则f(-1)=　　　　,f[f(-1)]=　　　　.
18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,a2+c2-ac=9,则角B=　　　　.
19.已知函数f(x)=,g(x)=x-2-x+10,直线x=m(m>0)与y=f(x),y=g(x)的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的最小值是　　　　.
20.已知函数f(x)=e|x-1|+x2-2x,则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.(11分)为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神,某大学举办了亚运会知识竞赛,并从中随机抽取了100名学生的成绩,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数;
(2)试估计这100名学生成绩的第75百分位数;
(3)若采用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生中共抽取6人参加志愿者活动.现从这6人中随机抽取2人分享活动经验,求抽取的2人成绩都在[80,100]的概率.
22.(11分)如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知CB⊥平面ABB'A',AB=2,且AB⊥BB',A'C⊥AB'.
(1)求AA'的长;
(2)若D为线段AC的中点,求二面角A-B'C'-D的余弦值.
23.(11分)已知函数f(x)=logax+ax+(x>0),其中a>1.
(1)若a=2,求f的值;
(2)判断函数f(x)的零点个数,并说明理由;
(3)设f(x0)=0,求证:普通高中学业水平考试数学模拟卷(三)
1.D　解析 因为A={4,5,6},B={3,5,7},所以A∪B={3,4,5,6,7}.故选D.
2.D　解析 因为复数z=3-2i在复平面内对应的点是(3,-2),所以复数z=3-2i在复平面内对应的点位于第四象限,故选D.
3.C　解析 令2-x>0,解得x<2,所以函数f(x)=ln(2-x)的定义域是(-∞,2).故选C.
4.A　解析 ∵a=20.2>20=1,b=2-1=<1,c=1,所以a>c>b,故选A.
5.C　解析 由题意,向量a=(2,3),b=(m,6),因为a⊥b,可得a·b=2×m+3×6=2m+18=0,解得m=-9.故选C.
6.A　解析 依题意记三名男生分别为a,b,c,两名女生分别为A,B,从中任意选两名同学有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB,共10种情况,其中都是女生的只有AB这1种情况,故参加比赛的都是女生的概率P=.故选A.
7.C　解析 因为点D是AB边上的中点,G是CD的中点,
所以,
所以)=,
又因为=λ+μ,所以λ=,μ=,则λ+μ=,故选C.
8.D　解析 因为正方体的体对角线为其外接球的直径,且其棱长为a,所以2R=a,由题意可知正方体的外接球的表面积为π,则(a)2π=(2R)2π=4πR2=π,所以a=(负值舍去).故选D.
9.B　解析 不等式|2x-1|-x2<1,即|2x-1|<1+x2,所以-1-x2<2x-1<1+x2,即解得故不等式的解集为{x|x<-2或x>0}.故选B.
10.C　解析 对于A,因为f(x)=ex·ln|x|,所以f(-1)=e-1·ln|-1|=0,f(-e)=e-e·ln|-e|=,f(-e2)=·ln|-e2|=,显然-e2<-e<-1,f(-e2)对于B,因为f(x)=,所以f(1)==0,f(e)=,f(e2)=,显然1f(e2),所以f(x)在(1,+∞)内并不单调递增,故B错误;
对于D,因为f(x)=ex-ln|x|,所以f(-1)=e-1-ln|-1|=,f(-e)=e-e-ln|-e|=-1,显然-e<-1,f(-e)对于C,因为f(x)=ex+ln|x|,当x>0时,f(x)=ex+ln x,f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当x<0时,f(x)=ex+ln(-x),f(x)在(-∞,0)内单调递减,故C正确.故选C.
11.A　解析 因为α∈(0,π),且,所以,化简得sin α+cos α=-,两边平方化简得2sin α·cos α=-<0,所以α∈,π,1-2sin α·cos α=,即(sin α-cos α)2=,则sin α-cos α=,
所以sin α=,cos α=-,所以tan α=-,故选A.
12.B　解析 由=1可得2x+y=xy xy≥2 xy≥8,当且仅当x=2,y=4时,等号成立,所以4x2+y2-16xy=(2x+y)2-20xy=(xy)2-20xy=(xy-10)2-100,所以当xy=10时,4x2+y2-16xy的最小值是-100,故选B.
13.AD　解析 因为θ∈-,且sin θ=,所以θ∈0,,则θ=,cos θ=,tan θ=,故选AD.
14.CD　解析 依题意,设每张证书印刷费为a元,每张证书印刷损耗为b元,其余固定损耗为c元,制版费为d元,显然a>0.8a>0.6a>b,
则结合图象可知该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为y=ax-bx-c=(a-b)x-c,
方案一:由于收取制版费和印刷费,印刷费按原价的八折收取,所以该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为y=0.8ax-bx-c+d=(0.8a-b)x-c+d,
显然该直线斜率会比原来的小,截距会比原来的大,故C选项的图象满足;
方案二:由于不收取制版费,印刷量达到一定数量后,超出部分按原价的六折收取,所以一开始的图象与原来的一样,当印刷量达到一定数量后,收入减少,故收支差额变小,所以D选项的图象满足.故选CD.
15.BD　解析 ①当x≤0时,f(x)=ex在(-∞,0]上单调递增,且f(0)=1,所以f(x)∈(0,1];
②当x>0时,则f(x)=2kex-k,x∈(k-1,k],k∈N*,
可知f(x)在(k-1,k],k∈N*上单调递增,且f(k-1)=,f(k)=2k,
所以f(x)∈,2k,k∈N*,且<2k<,k∈N.
方程f(x)=a的根的个数可以转化为y=f(x)与y=a的交点个数,如图所示,可得当a≤0时,y=f(x)与y=a没有交点;
当0当当2k若关于x的方程f(x)=a有两解,即y=f(x)与y=a有且仅有2个交点,所以实数a的取值范围为,2k,k∈N,
因为1∈,1,3∈,4,所以A,C错误,B,D正确.故选BD.
16. BC　解析 以D为原点,DC为y轴,DA为x轴,DD'为z轴,建立空间直角坐标系如图,
则有A(2,0,0),E(0,1,2),D(0,0,0),D'(0,0,2),设G(m,0,2),H(p,2,0).
对于A,=(-2,1,2),=(p,2,-2),=-2p+2-4=0,p=-1,即H点不在线段BC上,错误;
对于B,∵平面ABCD∥平面A'B'C'D',GE,AH 平面AGEFH,平面AGEFH与平面ABCD,A'B'C'D'分别交于AH,GE,
∴GE∥AH,=(-m,1,0),=(p-2,2,0),
∴p-2=-2m,p=2(1-m),2≥p≥0,
∴1≥m≥0,即|D'G|的最大值是1,正确;
过点D作平面AGEFH的垂线,得垂足O(x,y,z),
则有
由p-2=-2m,解得y=mx,z=-x①;
又因为共面,设=λ+μ,解得μ=,λ=,x=2-2mμ+λ(m-2),
将①式代入得x=②,
|DO|2=x2+y2+z2=x21+m2+=2x③;
当点F与点C重合时,如图所示.
此时m=1,x=,|DO|=,|AG|=,|GE|=,|AF|=2,梯形AFEG的高=,梯形AFEG的面积S四边形AFEG=,四棱锥D-AFEG的体积VD-AFEG=S四边形AFEG·|OD|==2,C正确;
由②③式可知,当m=时,|DO|最大为,D错误.故选BC.
17.2　3　解析 因为f(x)=所以f(-1)==2,所以f[f(-1)]=f(2)=2+1=3.
18.　解析 因为b=3,a2+c2-ac=9,即a2+c2-ac=b2,所以cos B=,又因为B∈(0,π),所以B=.
19.2　解析 由题意,=m+,令t=m+≥2=2,当且仅当m=1时,等号成立,则=t+≥2=2,当且仅当t=,即t=,m=时,的最小值是2.
20.0,　解析 因为f(x)=e|x-1|+x2-2x=e|x-1|+(x-1)2-1,则f(x+1)=e|x|+x2-1,令g(x)=e|x|+x2-1,则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移1个单位得到,又因为g(-x)=e|-x|+(-x)2-1=e|x|+x2-1=g(x),即g(x)=e|x|+x2-1为偶函数,且当x≥0时g(x)=ex+x2-1,所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,则g(x)在(-∞,0)内单调递减,所以f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减,且图象关于x=1对称,所以当f(x)>f(2x)时,有|x-1|>|2x-1|,解得021.解 (1)由频率分布直方图中数据可知(0.002+0.016)×10×100=18(人).
(2)成绩小于或等于80的频率为10×(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.7,成绩在[80,90)的频率为10×0.020=0.2,因为0.7<0.75<0.9,
所以这100名学生成绩的第75百分位数在[80,90)内,
所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为80+10×=82.5.
(3)因为成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生人数所占比例为3∶2∶1,所以从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]所抽取人数分别为3,2,1.
记抽取成绩在[70,80)内的3人为a,b,c,成绩在[80,100]上的3人为D,E,F.
从这6人中随机抽取2人的所有可能为(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(a,F),(b,c),(b,D),(b,E),(b,F),(c,D),(c,E),(c,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种,
抽取的2人成绩都在[80,100]的是(D,E),(D,F),(E,F),共3种,抽取的2人成绩都在[80,100]的概率为.
22.解 (1)连接A'B,因为CB⊥平面ABB'A',AB' 平面ABB'A',则CB⊥AB',
又因为A'C⊥AB',A'C∩CB=C,A'C,CB 平面A'BC,所以AB'⊥平面A'BC,且A'B 平面A'BC,可得AB'⊥A'B,
因为四边形ABB'A'为平行四边形,且AB⊥BB',则四边形ABB'A'为矩形,
所以四边形ABB'A'为正方形,可得AA'=AB=2.
(2)根据题意将三棱柱转化为正四棱柱ABCE-A'B'C'E',取CE,AB的中点P,Q,连接PQ,C'P,B'Q,则P,D,Q三点共线,且PQ∥BC,
因为B'C'∥BC,可得PQ∥B'C',所以平面B'C'D即为平面PQB'C',同理平面AB'C'即为平面AB'C'E,
因为B'C'∥BC,CB⊥平面ABB'A',则B'C'⊥平面ABB'A',且AB',B'Q 平面ABB'A',则B'C'⊥AB',B'C'⊥B'Q,
所以二面角A-B'C'-D的平面角为∠AB'Q,可得B'A=2,AQ=1,B'Q=,
在△AB'Q中,cos∠AB'Q=,
所以二面角A-B'C'-D的余弦值为.
23.(1)解 若a=2,则f(x)=log2x+2x+(x>0),
所以f=log2+2×=-2+=-.
(2)解 f'(x)=+a-,
因为a>1,x+1>1,所以ln a>0,<1所以f'(x)=+a->0,
所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,
又因为f=-2+,
因为a>1,所以<1,<1,所以f<0,
又因为f(1)=a+>0,所以f(x)在(0,+∞)内有唯一零点.
(3)证明 由(2)可知,x0∈,1,因为f(x0)=logax0+ax0+=0,所以logax0=-ax0-,
所以f()=logax0+a=-ax0-+a,
令=t,则f(t)=-at2-+at+=-[(t-1)2-1]+,t∈,1,
记g(t)=-[(t-1)2-1],
因为>0,
所以f(t)>g(t),易知g(t)在,1内单调递增,又因为a>1,所以,所以f(t)>g(t)>g=--12-1=1-,
因为g(t)=-[(t-1)2-1]所以要证f(t)<,只需证,即证2t2-t+1<(t2+1)(t+1),
令h(t)=(t2+1)(t+1)-(2t2-t+1)=t3-t2+2t,
因为h'(t)=3t2-2t+2=3t-2+>0,
所以h(t)在(0,1)内单调递增,
所以h(t)>h(0)=0,即(t2+1)(t+1)>2t2-t+1,
即f(t)<.
综上,21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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