2024数学学业水平考试专题练--阶段复习卷2 函数图象与性质（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
阶段复习卷(二)
(考查内容:函数图象与性质)
(时间:80分钟,满分:100分)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.(2023浙江衢州)已知a=log30.3,b=30.3,c=0.33,则(　　)
A.a2.5个幂函数:①y=x-2;②y=;③y=;④y=;⑤y=.其中定义域为R的是(　　)
A.只有①② B.只有②③ C.只有②④ D.只有④⑤
3.用二分法判断方程2x2+3x-3=0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253≈0.244 14)(　　)
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
4.函数f(x)=的大致图象为(　　)
5.已知函数f(x)=若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
6.已知函数f(x)=loga(x-1)+4(a>0且a≠1)的图象过定点(s,t),正数m,n满足m+n=st,则(　　)
A.m+n=6 B.m2+n2≤32 C.mn≥16 D.
7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有两个零点,则实数m不可能是(　　)
A.-1 B.-10 C.1 D.-2
8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(　　)
A.3.50分 B.3.75分 C.4.00分 D.4.25分
9.已知函数f(x)=对任意两个不相等的实数x1,x2∈[2,+∞),都有不等式>0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.0, C.,4 D.,+∞
10.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x+1)的图象关于原点对称,若f(0)=1,则f(2 022)+f(2 023)的值为(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
11.已知函数f(x)=a≠0,若关于x的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数解,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)
12.(2023浙江丽水)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0A.f(x1)C.f(x1)>f(x2) D.f(x1),f(x2)的大小不确定
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.(2023浙江绍兴)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的是(　　)
A.x0∈(0,1) B.ln(4-2x0)=x0
C.>1 D.2x0+1->0
14.下列函数中满足 x1,x2∈0,,当x1≠x2时,都有>0的有(　　)
A.f(x)=x2+2x-3 B.f(x)=x-
C.f(x)=2x+1 D.f(x)=sin x-cos x
15.若定义域为R的函数f(x)同时满足:①f(x)=-f(-x);②当x2>x1>0时,(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0;③当x1>0,x2>0时,f≤,则f(x)可以是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=x3 C.f(x)= D.f(x)=
16.(2022浙江宁波中学)已知函数f(x)=方程f2(x)-t·f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4,且满足x1A.x1x4∈(-6ln 2,0] B.x1+x2+x3+x4的取值范围为[-8,-8+2ln 2)
C.t的取值范围为[1,4) D.x2x3的最大值为4
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.(2023浙江绍兴)已知2a+3+4b=4a+2b+3(a,b∈R且a≠b),则a+b的取值范围为　　　　　.
18.设函数f(x)=,a∈R的最大值为M,最小值为N,则M+N=　　　　　.
19.若f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为　　　　　.
20.已知函数f(x)=若函数f(x)存在最大值,则实数a的取值范围是　　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.(11分)(2022浙江浙南名校)已知a∈R,函数f(x)=log2(x+a).
(1)若关于x的方程f+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素,求a的值;
(2)设a>0,若对任意t∈,1,函数f(x)在区间上的最大值和最小值的差不超过1,求a的取值范围.
22.(11分)(2023浙江湖州)已知函数f(x)=x-2,g(x)=x2-2mx+4(m∈R).
(1)若对任意x∈R,不等式g(x)>f(x)恒成立,求m的取值范围;
(2)若对任意x1∈[1,2],存在x2∈[4,5],使得g(x1)=f(x2),求m的取值范围;
(3)若m=-1,对任意n∈R,总存在x0∈[-2,2],使得不等式|g(x0)-+n|≥k成立,求实数k的取值范围.
23.(11分)已知函数f(x)=x·|x-a|+bx(a,b∈R).
(1)当a=b=0时,①求不等式f(x)<4的解集;②若对任意的x≥0,f(x+m)-m2f(x)<0,求实数m的取值范围;
(2)若存在实数a,对任意的x∈[0,m]都有f(x)≤(b-1)x+4恒成立,求实数m的取值范围.
阶段复习卷(二)
1.B　解析 a=log30.3<0,b=30.3>1,c=0.33∈(0,1),故选B.
2.C　解析 ①y=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),②y=的定义域为R,③y=的定义域为[0,+∞),④y=的定义域为R,⑤y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故选C.
3.B　解析 设f(x)=2x3+3x-3,∴f(0)=-3<0,f(1)=2+3-3=2>0,
∵f(0.5)=2×0.53+3×0.5-3<0,
∴f(x)在(0.5,1)内有零点,
∵f(0.75)=2×0.753+3×0.75-3>0,
∴f(x)在(0.5,0.75)内有零点,
∴方程2x3+3x-3=0的根可以是0.635.故选B.
4.A　解析 依题意可知,函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称,又因为f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,故排除BD;又当x=1时,f(x)>0,故排除C.故选A.
5.A　解析 当x≥0时,f(x)=x2+4x,其图象的对称轴为直线x=-2,开口向上,所以f(x)=x2+4x在[0,+∞)内单调递增,且f(x)≥f(0)=0;
当x<0时,f(x)=4x-x2,其图象的对称轴为直线x=2,开口向下,所以f(x)=4x-x2在(-∞,0)内单调递增,且f(x)f(a),所以4-a>a,解得a<2,故选A.
6.D　解析 因为f(x)=loga(x-1)+4(a>0,且a≠1),令x-1=1,解得x=2,所以f(2)=loga1+4=4,即函数过定点(2,4),所以m+n=8,故A错误;
因为m>0,n>0,m2+n2≥=32,当且仅当m=n=4时,等号成立,mn≤2=16,当且仅当m=n=4时,等号成立,故B,C错误;(m+n)=2+≥2+2=,当且仅当m=n=4时,等号成立.故选D.
7.
C　解析 因为f(x)=画出函数f(x)的图象如图所示,函数g(x)=f(x)-m有两个零点,即方程f(x)-m=0有两个实数根,即f(x)=m有两个实数根,即函数y=f(x)与函数y=m的图象有两个交点,由函数图象可得m≤-1,所以结合选项,m不能为1,故选C.
8.B　解析 由题意可知函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),代入p=at2+bt+c中可解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,
∴p=-0.2t2+1.5t-2.
∴当t=3.75时,可食用率最大.
9.C　解析 由题意可知f(x)在[2,+∞)内单调递增,令t=ax2-2x-5a+8,则函数t为二次函数,且在[2,+∞)内单调递增,当x∈[2,+∞)时,t≥0恒成立,
∴解得a∈,4.故选C.
10.C　解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),由函数f(x+1)的图象关于原点对称,即函数f(x+1)为奇函数,
所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(2-x)=-f(x),所以f(2-x)=-f(-x),
即f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,
又因为f(0)=1,所以f(2)=-f(0)=-1,
又f(1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(3)=-f(1)=0,
所以f(2 022)+f(2 023)=f(4×505+2)+f(4×505+3)=f(2)+f(3)=-1.故选C.
11.B　解析 设f(x)=t,方程f(f(x))=0即f(t)=0,t=f(x),由f(t)=0得t=1,
∴f(x)=1只有一解,结合函数的图象,当a<0时,f(x)=1只有一解;
当a>0时,f(x)=1只有一解,可得当x∈(-∞,0]时,(a·2x)max<1 a<1,
∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).
12. A　解析 (方法1　特殊值法)令a=1,则f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3,此时x1+x2=0,又x1(方法2)因为x1+x2=1-a,所以f(x1)-f(x2)=a+2ax1+4-(a+2ax2+4)=a()+2a(x1-x2)=a(x1+x2)(x1-x2)+2a(x1-x2)=a(3-a)(x1-x2).
又013.ABD　解析 对于A,因为函数f(x)=ex+2x-4在R上是增函数,f(0)=1-4=-3<0,f(1)=e+2-4>0,由零点存在定理可得,函数的零点x0∈(0,1),故选项A正确;
对于B,由f(x0)=+2x0-4=0可得4-2x0=,两边同时取自然对数ln(4-2x0)=x0,故选项B正确;
对于C,因为x0∈(0,1),所以2-x0>1,则有<1,故选项C错误;
对于D,因为x0∈(0,1),所以2x0-+1=>0,故选项D正确.故选ABD.
14.AD　解析 因为 x1,x2∈0,,当x1≠x2时,都有>0,所以f(x)在0,内单调递增,对于A,f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,函数在(-1,+∞)内单调递增,符合题意;
对于B,f(x)=x-=所以函数在0,内单调递减,在内单调递增,故不符合题意;
对于C,f(x)=2x+1,设t=2x+1,因为t=2x+1在R上单调递增,y=t在定义域R上单调递减,所以f(x)=2x+1在定义域R上单调递减,故不符合题意;
对于D,f(x)=sin x-cos x=sin x-cos x=sinx-,当x∈0,时,x-∈-,所以f(x)=sin x-cos x在0,内单调递增,符合题意.
15.BD　解析 A选项,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),不满足①,故A错误;
B选项,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),满足①;
f(x)单调递增,满足②;
结合f(x)=x3的图象可知,满足③,故B正确;
C选项,当x>0时,f(x)=-,结合反比例函数的图象可知,当x>0时,f(x)不满足③,故C错误;
D选项,当x>0时,f(-x)=-3x=-f(x),当x=0时,f(x)=-f(-x)=0,当x<0时,f(-x)=3-x=-f(x),满足①;
当x>0时,f(x)单调递增,满足②;当x>0时,f(x)=3x,结合指数函数的图象可知,满足③,故D正确.故选BD.
16.BC　解析 f2(x)-t·f(x)=0 f(x)[f(x)-t]=0 f(x)=0或f(x)=t,作出y=f(x)的图象,当f(x)=0时,x1=-4,有一个实根;
当t=1时,有三个实数根,所以共四个实根,满足题意;
当t=4时,f(x)=t只有两个实数根,所以共三个实根,不满足题意,此时直线y=4与y=ex图象的交点坐标为(2ln 2,4).
要使原方程有四个实数根,等价于f(x)=t有三个实数根,等价于y=f(x)与y=t图象有三个交点,故t∈[1,4),x4∈[0,2ln 2),所以x1x4∈(-8ln 2,0],故A错误,C正确;
又因为x2+x3=-4,所以x1+x2+x3+x4=-8+x4的取值范围为[-8,-8+2ln 2),B正确;
因为x2+x3=-4,x217.(-∞,4)　解析 ∵2a+3+4b=4a+2b+3,
∴2a+3-2b+3=4a-4b,8(2a-2b)=(2a-2b)·(2a+2b).
又a≠b,∴2a-2b≠0,
∴2a+2b=8,根据基本不等式得8=2a+2b≥2 8≥2,
∴2a+b≤16=24,
∴a+b≤4,又a≠b,∴a+b<4.
18.2　解析 f(x)==1+,设g(x)=,则g(x)为奇函数,则g(x)max+g(x)min=0,又f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,所以M+N=2.
19.[4,8)　解析 由指数函数单调递增,则a>1,由一次函数单调递增,则4->0,a<8,当x=1时应有4-×1+2≤a1,解得a≥4.
综上可得,实数a的取值范围是[4,8).
20.(1,4]　解析 当01,
当0当x>2时,f(x)=在区间(2,+∞)内单调递减,所以此时f(x)∈0,,若函数f(x)存在最大值,则loga2≥,解得a≤4,又a>1,所以a的取值范围为(1,4].
21.解 (1)由题可知log2+a+log2(x2)=0有且仅有一解,所以+ax2=1有且仅有一解,等价于ax2+x-1=0有且仅有一解,当a=0时,可得x=1,经检验符合题意;
当a≠0时,则Δ=1+4a=0,解得a=-,再代入方程可解得x=2,经检验符合题意.
综上所述,a=0或a=-.
(2)当0,
当r=0时,=0,
当0故,所以,
所以a的取值范围为,+∞.
22.解 (1)由题意得x2-2mx+4>x-2恒成立,得x2-(2m+1)x+6>0恒成立,即Δ=(2m+1)2-24<0,解得m∈-.
(2)当x1∈[1,2],g(x1)∈D,当x2∈[4,5],f(x2)∈[2,3],由题意得D [2,3],
∴g(1)∈[2,3],g(2)∈[2,3],得m∈.
此时g(x)图象的对称轴为直线x=m∈[1,2],故g(x)min=g(m)∈[2,3],得1≤m≤.
综上可得m∈.
(3)由题意得对任意n∈R,总存在x0∈[-2,2],使得不等式|2x0+4+n|≥k成立,令h(x)=|2x+4+n|,由题意得h(x)max≥k,而h(x)max=max{h(-2),h(2)}=max{|n|,|8+n|},记φ(n)=max{|n|,|8+n|},由题意得φ(n)min≥k,而φ(n)=max{|n|,|8+n|}=易得φ(n)min=φ(-4)=4≥k,故k的取值范围是(-∞,4].
23.解 (1)当a=b=0时,f(x)=x·|x|,
①由f(x)<4,得x·|x|<4,
当x≥0时,x2<4,解得0≤x<2,
当x<0时,x·|x|<4恒成立,得x<0.
综上,x<2,所以不等式f(x)<4的解集为(-∞,2).
②因为f(x)=x·|x|=所以f(x)在R上为增函数,当m=0时,f(x)<0不恒成立,当m>0时,由f(x+m)-m2f(x)<0,得f(x+m)0恒成立,所以此时m不存在;当m<0时,由f(x+m)-m2f(x)<0,得f(x+m)综上,m<-1,即实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)由f(x)≤(b-1)x+4,得x|x-a|≤4-x,
当x=0时,0≤4恒成立,当x∈(0,m]时,|x-a|≤-1恒成立,所以-1≥0,所以-1≥0,解得0由|x-a|≤-1,得1-≤x-a≤-1,得x-+1≤a≤x+-1,
当0所以m-+1≤a≤m+-1,
所以存在a满足以上不等式,则m-+1≤m+-1,得m≤4,此时0当2综上可得0即实数m的取值范围为(0,1+].
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