2024数学学业水平考试专题练--阶段复习卷3 三角函数（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
阶段复习卷(三)
(考查内容:三角函数)
(时间:80分钟,满分:100分)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.函数y=sin2x+的图象(　　)
A.关于点,0对称 B.关于点,0对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
2.已知α是第二象限角,则是(　　)
A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第一、三象限角 D.第二、四象限角
3.(2023浙江金华一中)函数y=2sin2x--1是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
4.函数y=3cos-2x的单调递减区间是(　　)
A.kπ+,kπ+,k∈Z B.kπ-,kπ-,k∈Z
C.kπ-,kπ+,k∈Z D.kπ-,kπ+,k∈Z
5.已知-<θ<,且sin θ+cos θ=a,a∈(0,1),则关于tan θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是(　　)
A.-3 B.3或 C.- D.-3或-
6.已知扇形的周长是8,当扇形面积最大时,扇形的圆心角的大小为(　　)
A. B. C.1 D.2
7.(2023全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知tan α,tan β是方程lg(3x2-x-2)=0的两个实数根,则tan(α+β)=(　　)
A.2 B. C. D.
9.已知函数f(x)=-10sin2x-10sin x-,x∈-,m的值域为-,2,则实数m的取值范围是(　　)
A.-,0 B.-,0 C.- D.-
10.记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T,若A. B.1 C.+2 D.3
11.(2023浙江钱塘联盟)已知sin α-cos α=,则的值为(　　)
A. B.- C.- D.
12.(2023浙江强基联盟)已知函数f(x)=2sin 2ωx(ω>0),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=在0,上有且仅有三个不相等的实根,则实数ω的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.已知函数f(x)=sin(2x+φ),若f(x)≤f对x∈R恒成立,则(　　)
A.f(x)在,π上单调递增
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.直线x=-是f(x)图象的一条对称轴
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y=sin 2x的图象
14.(2023浙江学考)已知函数f(x)=2sin x+cos 2x,则(　　)
A.f(x)的最小值是-3 B.f(x)的最大值是
C.f(x)在区间-,0内存在零点 D.f(x)在区间,π内不存在零点
15.(2023浙江湖州高一期末)设函数f(x)=sin2x++cos2x-,则(　　)
A.函数fx-是偶函数
B.函数fx-是奇函数
C.函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位得到
D.函数y=|f(x)|在区间(k∈Z)上单调递增
16.(2023浙江精诚联盟)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,则下列结论中正确的是(　　)
A.若ω=2,则将f(x)图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称
B.若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为,则ω=2
C.若f(x)在0,上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]
D.当ω=3时,f(x)在[0,π]上有且只有3个零点
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.已知sinα-=,cos 2α=,则cos α=　　　　　.
18.已知函数f(x)=2sin ωx(其中ω>0),若对任意x1∈-,0,存在x2∈0,,使得f(x1)=f(x2),则ω的取值范围是　　　　　.
19.已知函数f(x)=asin(ax),a>0,f(x)向右平移个单位后的图象与原函数图象重合,f(x)的最大值与最小值的差小于15,则a的最大值为　　　　　.
20.(2023浙江宁波九校)已知sin 2α=,则的值为　　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.(11分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P-,-.
(1)求的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
22.(11分)(2023浙江金华一中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,0<|φ|<为奇函数,且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.
23.(11分)函数f(x)=Acos(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,先把函数f(x)的图象上的各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),把得到的曲线向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)求函数g(x)图象的对称中心;
(2)当x∈-时,求g(x)的值域;
(3)当x∈-时,方程g2(x)+(2-m)g(x)+3-m=0有解,求实数m的取值范围.
阶段复习卷(三)
1.B　解析 对于函数y=sin2x+,当x=时,y=sin2×=,故A错误,C错误;当x=时,y=sin2×=0,故B正确;D错误.
2.C
3.A　解析 y=2sin2x--1=-cos 2x-=-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,故选A.
4.A　解析 ∵y=3cos-2x=3cos2x-,
∴令2kπ≤2x-≤2kπ+π,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
可得函数的单调递减区间为kπ+,kπ+,k∈Z.
5.C
6.D　解析 ∵扇形的周长是8,设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=8,则l=8-2r(0∴面积S=lr=(8-2r)r=-r2+4r=-(r-2)2+4,
∴当r=2时,面积最大值为4,此时圆心角为α==2.
7.B　解析 若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α+cos β=0,故乙不一定成立.
若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
8.C　解析 由已知得tan α,tan β是方程3x2-x-3=0的两根,
∴tan α+tan β=,tan αtan β=-1,
∴tan(α+β)=,故选C.
9.B　解析 由题得f(x)=-10sin2x+sin x++2=-10sin x+2+2,x∈-,m.令t=sin x,则g(t)=-10t+2+2,令g(t)=-,得t=-1或t=0,令g(t)=2,得t=-.由题知,x∈-,m,当x=-时,t=-1,结合g(t)的图象可知,当-≤t≤0时,f(x)的值域为-,2,所以-≤sin m≤0,所以-≤t≤0,故选B.
10.C　解析 由条件<π,∴2<ω<3,又f(x)的图象关于点,2对称,∴b=2,ω·=kπ,∴ω=k-,k∈Z,∵2<ω<3,∴ω=,∴f(x)=sinx++2,∴f=sin+2=2+,故选C.
11.A　解析 由sin α-cos α=平方得1-2sin αcos α=,则
2sin αcos α==2sin αcos α=,故选A.
12.B　解析 g(x)=2sin2ωx+=2sin2ωx+=,
则sin2ωx+=,
∵x∈0,,
∴2ωx+∈,
若关于x的方程g(x)=在0,上有且仅有三个不相等的实根,
则2π+<2π+,解得≤ω<,
即实数ω的取值范围是.故选B.
13.BD　解析 由题意知当x=时,f(x)取得最大值,所以π+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin2x-+2kπ=-cos 2x.
对于A,由2kπ≤2x≤π+2kπ,得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为kπ,+kπ,k∈Z,故A错误;
对于B,因为f(-x)=f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称,故B正确;
对于C,由2x=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,即f(x)图象的对称轴方程为x=,k∈Z,故C错误;
对于D,f(x)=-cos 2x,将f(x)的图象向左平移个单位长度得到y=-cos2x+=sin 2x的图象,故D正确.故选BD.
14.AC　解析 f(x)=2sin x+1-2sin2x=-2sin x-2+,
因为sin x∈[-1,1],故f(x)∈-3,,故A正确,B错误;当x∈-,0,则sin x∈-,0,f(x)∈-,1,故f(x)=0在-,0内有解,故C正确;
当x∈,π,则sin x∈(0,1),f(x)∈1,,故f(x)=0在,π内无解,故D错误.
15.BC　解析 f(x)=sin2x++cos2x-=2sin2x+,∴fx-=2sin 2x是奇函数,A错误,B正确;y=2sin 2x+=2sin2x+,C正确;y=|f(x)|的单调递减区间是kπ+,kπ+,k∈Z,D错误.故选BC.
16.ABD　解析 函数f(x)=sin ωx-cos ωx=2sinωx-,
选项A,若ω=2,f(x)=2sin2x-,将f(x)图象向左平移个单位长度后得到y=2sin2x+-=2sin 2x,其图象关于原点对称,故正确;
选项B,若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为,则,解得ω=2,故正确;
选项C,当x∈0,时,ωx-∈-,若f(x)在0,上单调递增,则,解得0<ω≤,故错误;
选项D,当ω=3时,f(x)=2sin3x-,令3x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,因为x∈[0,π],所以x=,x=,x=,所以f(x)在[0,π]上有且只有3个零点,故正确.
17.-　解析 因为sinα-=(sin α-cos α)=,所以sin α-cos α=①,
cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=,所以sin α+cos α=-②,联立①②,解得cos α=-.
18.,+∞　解析 由题意知,函数f(x)=2sin ωx是奇函数,因为对任意x1∈-,0,存在x2∈0,,使得f(x1)=f(x2),所以至少是个周期,得到T=,解得ω≥.
19.6　解析 设f(x)的最小正周期为T,因为f(x)向右平移个单位后的图象与原函数图象重合,所以=kT,k∈Z.
因为T=,所以a=6k,k∈Z.
因为f(x)=asin(ax),a>0的最大值和最小值分别为a,-a,所以2a<15,即a<7.5,又因为a=6k,k∈Z,所以满足条件的a的最大值为6.
20.-　解析 ∵sin 2α=,
= ===-.
21.解 (1)由角α的终边过点P-,-,得tan α=.
(2)由角α的终边过点P-,-,得sin α=-,cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.
22.解 (1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=2sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=2sinωx+φ+.
因为f(x)为奇函数,所以f(0)=2sinφ+=0,
又因为0<|φ|<,可得φ=-.
所以f(x)=2sin ωx,由题意得=2·,所以ω=2.
故f(x)=2sin 2x,因此f=2sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到fx-的图象,
所以g(x)=fx-=2sin2x-=2sin2x-,当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递增,
因此g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
23.解 (1)根据图象可知A=1,T=,
∴T=π,∴ω==2,f(x)=cos(2x+φ),
将,-1代入,得cos+φ=-1,即+φ=2kπ+π,解得φ=2kπ-,k∈Z,
∵|φ|<,∴k=0,φ=-,∴f(x)=cos2x-.
将函数f(x)的图象上的各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),可得y=cos4x-,曲线再向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得g(x)=cos4x++1,
令4x++kπ,k∈Z,解得x=-,
∴此函数图象的对称中心为-,1(k∈Z).
(2)当x∈-时,4x+∈,
∴cos4x+∈-1,,g(x)=cos4x++1∈0,,即g(x)的值域为0,.
(3)g2(x)+(2-m)g(x)+3-m=0 g2(x)+2g(x)+3=m[g(x)+1] m=,令s=g(x)+1,由(2)知s∈1,,m==s+∈2,因此m的取值范围为2.
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