2024数学学业水平考试专题练--阶段复习卷6 综合（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
阶段复习卷(六)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.下面抽样是简单随机抽样的个数是(　　)
①从无数个个体中抽取30个个体作为样本　②从100部手机中一次抽取5部进行检测　③某班有45名同学,指定个子高的5名同学参加学校组织的篮球比赛
④从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽取6个号签
A.1 B.2 C.3 D.4
2.某校高一、高二、高三的住校生人数分别为120,180,150,为了解他们对学校宿舍的满意程度,按人数比例用分层随机抽样的方法抽取90人进行问卷调查,则高一、高二、高三被抽到的住校生人数分别为(　　)
A.12,18,15 B.20,40,30
C.25,35,30 D.24,36,30
3.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个不同的数,则这两个数都是奇数的概率是(　　)
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.6
4.在某次测量中得到的A样本数据为82,84,84,86,86,86,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
5.200辆汽车通过某一段公路时时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值为(　　)
A.62,62.5 B.65,62
C.65,62.5 D.62.5,62.5
6.(2023浙江奉化)若数据x1+m,x2+m,…,xn+m的平均数是5,方差是4,数据3x1+1,3x2+1,…,3xn+1的平均数是10,标准差是s,则下列结论正确的是(　　)
A.m=2,s=6 B.m=2,s=36
C.m=4,s=6 D.m=4,s=36
7.“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标,常用区间[0,10]上的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位某市居民,他们的幸福感指数为5,6,6,6,7,7,8,8,9,10,则这组数据的80%分位数是(　　)
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
8.某班级的班委由包含甲、乙在内的5位同学组成,他们分成两个小组参加某项活动,其中一个小组有3位同学,另外一个小组有2位同学,则甲和乙不在同一个小组的概率为(　　)
A. B.
C. D.
9.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两组数据的平均数分别为,标准差分别为σ甲,σ乙,则(　　)
A.,σ甲<σ乙
B.,σ甲>σ乙
C.,σ甲<σ乙
D.,σ甲>σ乙
10.下面两个扇形统计图分别统计了某地2010年和2020年小学生参加课外兴趣班的情况,已知2020年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2010年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍,下面说法不正确的是(　　)
A.2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是2010年参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍
B.这10年间,参加编程兴趣班的小学生人数变化最大
C.2020年参加美术兴趣班的小学生人数少于2010年参加美术兴趣班的小学生人数
D.相对于2010年,2020年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均
11.已知多项选择题的四个选项A,B,C,D中至少有两个选项正确,规定:全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分.若某题的正确答案是ABC,某考生随机选了两个选项,则其得分的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
12.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.有一道数学难题,学生甲解出的概率为,学生乙解出的概率为,学生丙解出的概率为.若甲、乙、丙三人独立去解答此题,则下列说法正确的有(　　)
A.恰有一人解出的概率为
B.没有人能解出的概率为
C.至多一人解出的概率为
D.至少两个人解出的概率为
14.(2023浙江温州A卷)国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度,该年月平均气温如表(表1)所示,并绘制如图所示的折线图,则下列说法正确的有(　　)
表1
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
昆明 9.3 12.4 16.5 19 21.6 21.5 21.3 21.2 20.4 16.8 12.4 10.5
郑州 2.9 8.7 11.9 16.5 23.6 28.9 28.6 26.7 23.1 15.2 11.3 5.7
A.昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差
B.昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差
C.郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数
D.郑州月平均气温的第一四分位数为10
15.(2023浙江衢州)给出下列说法,其中正确的是(　　)
A.数据0,1,2,4的极差与中位数之积为6
B.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是5,则数据4x1-1,4x2-1,…,4xn-1的方差是20
C.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差为0,则此组数据的众数唯一
D.已知一组不完全相同的数据x1,x2,…,xn的平均数为x0,在这组数据中加入一个数x0后得到一组新数据x0,x1,x2,…,xn,其平均数为,则=x0
16.已知A,B是随机事件,则下列结论正确的有(　　)
A.若A,B是互斥事件,则P(AB)=P(A)P(B)
B.若事件A,B相互独立,则P(A+B)=P(A)+P(B)
C.若A,B是对立事件,则A,B是互斥事件
D.事件A,B至少有一个发生的概率不小于A,B恰好有一个发生的概率
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　　.
18.(2023浙江金华十校)某射击运动员在一次射击测试中,射靶10次,每次命中的环数为7,5,9,8,9,6,7,10,4,7,记这组数的众数为M,第75百分位数为N,则M+N=　　　　　.
19.甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,其中P(A1)=　　　　　　,P(B)=　　　　　　.
20.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示,分数不低于a(a为整数)即为优秀,如果优秀的人数为20,则a的估计值是　　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.(11分)(2023浙江奉化)根据空气质量指数(AQI,为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
级别 一级 二级 三级 四级 五级(A) 五级(B)
现对某城市30天的空气质量进行监测,获得30个AQI数据(每个数据均不同),统计绘得频率分布直方图如图所示.
(1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数;
(2)若从获得的“一级”和“五级(B)”的数据中随机选取2个数据进行复查,求“一级”和“五级(B)”数据恰均被选中的概率;
(3)假如某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与AQI(记为ω)的关系式为S=若将频率视为概率,在本年内随机抽取一天,试估计这天的经济损失S不超过600元的概率.
22.(11分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率;
(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率.
(3)若规定:两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),这样规定公平吗 请说明理由.
23.(11分)(2023浙江温州A卷)规定肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0 mg/kg,近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2 000条,从中随机抽取了200条鱼作为样本,检测鱼体汞含量(单位:mg)与其体重(单位:kg)的比值,由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计这200条鱼汞含量的样本平均数;
(2)用样本估计总体的思想,估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标;
(3)从这批鱼中,顾客甲购买了2条,顾客乙购买了1条,甲、乙互不影响,求恰有一人购买的鱼汞含量有超标情况的概率.
阶段复习卷(六)
1.A　解析 ①总体个数无限,不是简单随机抽样;②不是逐个抽取,不是简单随机抽样;③指定了5名同学参赛,不满足每个个体被抽到的可能性相同,不是简单随机抽样;④满足简单随机抽样的定义.故选A.
2.D　解析 三个年级的住校生一共有120+180+150=450(人),∴抽样比为,故三个年级抽取的人数分别为120×=24,180×=36,150×=30.故选D.
3.C　解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,则这两个数都是奇数包含的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,所以这两个数都是奇数的概率是P=.故选C.
4.D　解析 由于B数据是A数据加2后得到的,因此众数、中位数和平均数均增加了2,而由于都加上2后,整体数据波动并未变化,因此标准差是相同的.故选D.
5.C　解析 ∵最高的矩形为第三个矩形,
∴时速的众数的估计值为=65.
前两个矩形的面积为(0.01+0.03)×10=0.4.
∵0.5-0.4=0.1,×10=2.5,
∴中位数的估计值为60+2.5=62.5.故选C.
6.A　解析 设数据x1,x2,…,xn的平均数为,标准差为σ,则由[(3x1+1)+(3x2+1)+(3x3+1)+…+(3xn+1)]=(x1+x2+x3+…+xn)+1=3+1=10,解得=3.
由[(x1+m)+(x2+m)+…+(xn+m)]=(x1+x2+…+xn)+m=+m=5,解得m=2.
所以{[(x1+m)-(+m)]2+[(x2+m)-(+m)]2+…+[(xn+m)-(+m)]2}=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=4,
s2={[(3x1+1)-(3+1)]2+[(3x2+1)-(3+1)]2+…+[(3xn+1)-(3+1)]2}=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=9×4=36,解得s=6.故选A.
7.C　解析 10×80%=8,
∴这组数的80%分位数是×(8+9)=8.5,故选C.
8.B　解析 这五位同学分别记为甲,乙,A,B,C,
分组情况有(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙),共10种,
其中甲和乙不在同一个组的有(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),共6种,所以所求概率为.故选B.
9.C　解析 由图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试都远高于乙同学,可知,图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定,故σ甲<σ乙.
10.C　解析 设2010年参加课外兴趣班的小学生总人数为a,则2020年参加课外兴趣班的小学生总人数是4a.
由统计图可知,2010年参加音乐兴趣班的小学生人数是a×21%=0.21a,
2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是4a×21%=0.84a,故A正确.
这10年间参加编程兴趣班的小学生人数变化量为4a×32%-a×5%=1.23a,
这10年间参加语言表演的小学生人数变化量为4a×20%-a×14%=0.66a,
这10年间参加音乐的小学生人数变化量为4a×21%-a×21%=0.63a,
这10年间参加美术兴趣班的小学生人数变化量为4a×27%-a×60%=0.48a,
所以这10年间参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大,故B正确.
2020年参加美术兴趣班的小学生人数为4a×27%=1.08a,2010年参加美术兴趣班的小学生人数为a×60%=0.6a,1.08a>0.6a,故C不正确.
根据扇形统计图中的比例分布,可知D正确.故选C.
11.A　解析 由题得从4个选项里选两个选项,共有=6种方法,从3个正确选项里选择两个选项,共有=3种方法.
由古典概型的概率公式得所求的概率为P=.故选A.
12.A　解析 从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:
样本点总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的样本点数为10,故所求概率P=.故选A.
13.AC
14.ACD　解析 对于A,昆明月平均气温的极差为21.6-9.3=12.3,郑州月平均气温的极差为28.9-2.9=26>12.3,故A正确;
对于B,由折线图可知,昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中,所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差,故B错误;
对于C,昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列为9.3,10.5,12.4,12.4,16.5,16.8,19,20.4,21.2,21.3,21.5,21.6,则昆明月平均气温的中位数为=17.9,郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列为2.9,5.7,8.7,11.3,11.9,15.2,16.5,23.1,23.6,26.7,28.6,28.9,则郑州的月平均气温的中位数为=15.85<17.9,郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数,故C正确;
对于D,因为12×=3,所以郑州月平均气温的第一四分位数为=10,故D正确.故选ACD.
15.ACD　解析 对于A,极差为4-0=4,中位数为,所以极差与中位数之积为4×=6,故A正确;
对于B,根据方差的性质可知,数据4x1-1,4x2-1,…,4xn-1的方差是42×5=80,故B错误;
对于C,由方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0,可得x1=x2=…=xn=,即此组数据众数唯一,故C正确;
对于D,∵=x0,
∴x1+x2+…+xn=nx0,
∴=x0,故D正确.
故选ACD.
16.CD　解析 对于A,若A,B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B),故A错误;
对于B,若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),故B错误;
对于C,根据对立事件的定义,若A,B是对立事件,则A,B是互斥事件,故C正确;
对于D,所有可能发生的情况有:只有A发生、只有B发生、AB都发生、AB都不发生四种情况,A,B至少有一个发生包括:只有A发生、只有B发生、AB同时发生三种情况,故其概率是75%,
而恰有一个发生很明显包括只有A发生或只有B发生两种情况,故其概率是50%,故事件A,B至少有一个发生的概率不小于A,B恰好有一个发生的概率,故D正确.故选CD.
17.0.18　解析 前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,甲队以4∶1获胜的概率是q=0.108+0.072=0.18.
18.16　解析 由已知数据可得众数为7,即M=7,将10个数据按从小到大排列可得4,5,6,7,7,7,8,9,9,10,因为10×75%=7.5,所以第75百分位数为从小到大排列的第8个数,所以N=9,所以M+N=7+9=16.
19.　解析 根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数:
因此P(A1)=,P(B)=.
20.133　解析 因为分数低于140的人数为100×10×(0.005+0.018+0.030+0.022+0.015)=90,
因为分数低于130的人数为100×10×(0.005+0.018+0.030+0.022)=75,所以a∈(130,140),所以[(140-a)×0.015+0.01×10]×100=20,解得a≈133.
21.解 (1)依题意,该城市这30天AQI的平均数为(25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3)÷30=150.
(2)一级有2个数据,记为P,Q,五级(B)有3个数据,记为C,D,E,从中选取两个有PQ,PC,PD,PE,QC,QD,QE,CD,CE,DE,共10种可能,一级和五级(B)数据恰均被选中有PC,PD,PE,QC,QD,QE,共6种可能.
记“一级和五级(B)数据恰均被选中”为事件M,则P(M)=.
(3)设“在本月30天中随机抽取一天,该天经济损失不超出600元”为事件N,分两种情况:
当0≤ω≤100时,S=0,此时概率为;
当100<ω≤300时,由S≤600,得100<ω≤250,此时概率为.
综上,由互斥事件的概率公式可得P(N)=.
所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为.
22.解 由题意,设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为x,y,用(x,y)表示抽取结果,可得(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),则所有可能的结果有16种.
(1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},事件A由4个样本点组成,故取出的两个球上的标号为相同数字的概率P(A)=.
(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B,则B={(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)},事件B由7个样本点组成,故取出的两个球上标号之积能被3整除的概率P(B)=.
(3)设“甲获胜”为事件M,“乙获胜”为事件N,则M={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)},N={(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)}.
可得P(M)=P(N)=,即甲获胜的概率是,乙获胜的概率也是,所以这样规定公平.
23.解 (1)由0.4×(0.35+a+0.8+a+0.25+0.1)=1,解得a=0.5.
则这200条鱼汞含量的样本平均数为0.4×(0.2×0.35+0.6×0.5+1.0×0.8+1.4×0.5+1.8×0.25+2.2×0.1)=1.016.
(2)样本中汞含量在区间[1.0,2.4]上的频率为1-0.4×(0.35+0.5)-0.2×0.8=0.5.
则估计进口的这批鱼中共有0.5×2 000=1 000条鱼汞含量超标.
(3)由题意可知,样本中汞含量在[1.0,2.4]内的频率为.
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标情况的概率为1-,顾客乙购买的鱼汞含量超标的概率为.
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标情况的概率为×1-+1-×.
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