2024数学学业水平考试专题练--优化集训5　幂函数（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
优化集训5　幂函数
基础巩固
1.已知y=x2,y=,y=4x2,y=x5+1,y=(x-1)2,y=x,y=ax(a>1),上述函数是幂函数的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
2.(2023浙江诸暨期末)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),若=4,则实数m的值为(　　)
A.2 B.±2
C.4 D.±4
3.(2023浙江温州期末)已知幂函数f(x)=xα,则“α>0”是“此幂函数图象过点(1,1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　　)
5.(2021浙江杭州期末测试)已知函数f(x)=,若f(2a2-5a+4)A.(-∞,)∪(2,+∞) B.[2,6)
C.(0,]∪[2,6) D.(0,6)
6.(多选)下列关于幂函数描述正确的有(　　)
A.幂函数的图象必过定点(0,0)和(1,1)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.当幂指数α=-1,,3时,幂函数y=xα是奇函数
D.当幂指数α=,3时,幂函数y=xα是增函数
7.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点P(4,2),则 (　　)
A.f(x)=()x
B.f(x)的定义域为[0,+∞)
C.f(x)的值域为[0,+∞)
D.f(x)>x2的解集为(0,1)
8.若函数y=xα的图象经过点(2,16)与(3,m),则m的值为　　　　　.
9.已知函数f(x)=x2-ax+2,若函数在[1,+∞)上有两个零点,则a的取值范围是　　　　　.
10.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)·xm在(0,+∞)上为增函数,则实数m=　　　　　.
11.若(a+1)-1<(3-2a)-1,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
12.已知幂函数f(x)=(m∈N*),经过点(2,),若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　　　　.
13.给出封闭函数的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x0,都有函数值f(x0)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则函数①f1(x)=3x-1;②f2(x)=-x2-x+1;③f3(x)=1-x;④f4(x)=,其中在D上封闭的是　　　　　(填序号).
14.已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)内单调递增.
(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2]时,记f(x)的值域为集合A,若集合B=[2-k,4-k],且A∩B= ,求实数k的取值范围.
15.已知函数f(x)=x+(a>0),具有如下性质:在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
(1)若函数y=x+(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;
(2)已知函数f(x)=,x∈[0,1],求函数f(x)的单调区间和值域.
16.已知函数f(x)=(a2-a-1)xa(a是常数)为幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的表达式;
(2)判断函数g(x)=在(2,+∞)上的单调性,并用定义证明.
17.已知幂函数f(x)=(k2-4k+5)(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递增.
(1)求m和k的值;
(2)求满足不等式(2a-1)-3<的a的取值范围.
能力提升
18.已知a=,b=,c=,则(　　)
A.bC.b19.若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=的值域是 (　　)
A.[0,] B.[1,]
C.[,2] D.[2,3]
20.(多选)已知a>0,函数f(x)=则以下说法正确的是(　　)
A.若f(x)有最小值,则a≥2
B.存在正实数a,使得f(x)是R上的减函数
C.存在实数a,使得f(x)的值域为R
D.若a>2,则存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2-x0)
21.已知函数f(x)=x2+(1-2a)x-2a.
(1)讨论关于x的不等式f(x)>0的解集;
(2)若f(1)=6,求函数y=在x∈(1,+∞)内的最小值.
22.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的:
①函数f(x)的定义域是[0,+∞);
②函数f(x)的值域是[-2,4);
③函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
试分别探究下列两小题:
(1)判断函数f1(x)=-2(x≥0)及f2(x)=4-6·()x(x≥0)是否属于集合A 并简要说明理由.
(2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的x≥0恒成立 若不成立,为什么 若成立,请说明你的结论.
23.已知幂函数f(x)=(n∈N)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2tx+3,求函数y=g(x)在区间[2,6]上的最小值G(t).
优化集训5　幂函数
基础巩固
1.C　解析 形如y=xα(α∈R)的函数是幂函数,
幂函数的系数为1,指数α是常数.故选C.
2.D　解析 由题意幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),
则2α=4,解得α=2,则f(x)=x2,由=4得=4,∴m2=16,解得m=±4.故选D.
3.A　解析 由题知,幂函数f(x)=xα,
根据幂函数图象性质特点知,幂函数图象恒过点(1,1),
所以当α>0时,幂函数图象过点(1,1),
幂函数图象过点(1,1)时,α>0,也可以α<0.
4.D　解析 当a>0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),排除A,C;
当a<0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),函数y=的图象在第二、四象限.故选D.
5.C　解析 由题意,f(x)在[2,+∞)上单调递增,
∵f(2a2-5a+4)6.BD　解析 选项A,幂函数的图象必定过定点(1,1),不一定过(0,0),如y=x-1,故A错误;选项B,幂函数的图象不可能过第四象限,正确;选项C,当幂指数α=时,幂函数y=xα不是奇函数,故C错误;选项D,当幂指数α=,3时,幂函数y=xα是增函数,正确.
7.BCD　解析 设f(x)=xα,因为f(x)的图象经过点P(4,2),所以4α=2,解得α=,所以f(x)=,显然A不正确;因为只有非负实数有算术平方根,所以f(x)的定义域为[0,+∞),因此B符合题意;因为x≥0,所以有f(x)≥0,因此C符合题意;由f(x)>x2 >x2 08.81　解析 由题意函数y=xα的图象经过点(2,16)与(3,m),
则16=2α,解得α=4,则y=x4,故m=34=81.
9.(2,3]　解析 f(x)=x2-ax+2=0即a=x+,x∈[1,+∞),考虑函数y=a,y=x+,x∈[1,+∞)的图象有两个交点,即a的取值范围是(2,3].
10.4　解析 f(x)是幂函数,所以m2-3m-3=1,m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x4,在(0,+∞)上单调递增,符合题意.当m=-1时,f(x)=,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.综上所述,m的值为4.
11.(-∞,-1)∪()　解析 由题意得解得即实数a的取值范围为(-∞,-1)∪().
12.[1,)　解析 ∵幂函数f(x)经过点(2,),∴,即.∴m2+m=2,解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.∴f(x)=,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)得解得1≤a<.∴a的取值范围为[1,).
13.②③④　解析 函数f1(x)=3x-1在(0,1)内单调递增,则f1(x)∈(-1,2),则f1(x)不是封闭函数;f2(x)=-x2-x+1在(0,1)内单调递减,则f2(x)∈(0,1),则f2(x)是封闭函数;f3(x)=1-x在(0,1)内单调递减,则f3(x)∈(0,1),则f3(x)是封闭函数;f4(x)=在(0,1)内单调递增,则f4(x)∈(0,1),则f4(x)是封闭函数.
14.解 (1)由题意得(m-1)2=1,∴m=0或2.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,舍去.∴m=0.
(2)由(1)知,f(x)=x2.∵f(x)在[1,2]上单调递增,
∴A=[1,4].
易知B≠ ,要满足A∩B= ,只需4-k<1或2-k>4,解得k>3或k<-2,即k的取值范围为(-∞,-2)∪(3,+∞).
15.解 (1)对于函数y=x+(x>0),因为其值域为[6,+∞),即最小值为6=2,解得b=log29.
(2)令t=2x+1,因为x∈[0,1],所以t∈[1,3].
所以y==t+-8.
由题可知函数y=t+-8在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,则函数f(x)=在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.
所以函数f(x)的值域为[-4,-3].
16.解 (1)由题意可得解得a=2,∴f(x)=x2.
(2)∵g(x)==x+,
∴g(x)在(2,+∞)上单调递增.
证明如下:任取2∵20,x1x2>0,
∴<0,∴g(x1)-g(x2)<0,
即g(x1)17.解 ∵幂函数f(x)=(k2-4k+5),
∴k2-4k+5=1,解得k=2.
又幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴-m2+4m>0,解得0∵m∈Z,∴m=1或m=2或m=3.
当m=1或m=3时,f(x)=x3,图象关于原点对称,不合题意;当m=2时,f(x)=x4,图象关于y轴对称,符合题意.
综上,m=2,k=2.
(2)由(1)知m=2,∴原不等式即为(2a-1)-3<(a+2)-3.
而函数y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,
且当x>0时,y=x-3>0,当x<0时,y=x-3<0,
∴满足不等式的条件为03,
故满足不等式(2a-1)-3<(a+2的a的取值范围为(-2,)∪(3,+∞).
能力提升
18.A　解析 因为a==b,c=2=a,所以c>a>b.故选A.
19.B　解析 由已知可得解得故g(x)=,要使函数有意义,有解得3≤x≤4,故函数g(x)的定义域为[3,4],且g(x)=>0.因为[g(x)]2=()2=1+2=1+2=1+2∈[1,2],故1≤g(x)≤,即函数g(x)的值域为[1,].故选B.
20.AC　解析 对于A,当a>0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,若f(x)有最小值,则解得a≥2,A符合题意;对于B,当x>1时,f(x)=xa,由幂函数性质知,当a>0时,f(x)单调递增,B不符合题意;对于C,∵f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当x>1时,f(x)>a,若f(x)的值域为R,则解得02,x0>1时,-(a-2)x0-2(2-a)>-(a-2)x0=x0(-a+2),∵-a+2>a-1-a+2=1,
∴x0(-a+2)>0,∴-(a-2)x0-2(2-a)>0恒成立,∴=(a-2)x0+2(2-a)在(1,+∞)内无解,即不存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2-x0),D不符合题意.故选AC.
21.解 (1)由f(x)>0,得x2+(1-2a)x-2a>0,
即(x-2a)(x+1)>0,
当a=-时,不等式(x+1)2>0,解得x≠-1,不等式的解集为{x|x≠-1};当-1<2a,即a>-时,不等式的解集为{x|x<-1或x>2a};当-1>2a,即a<-时,不等式的解集为{x|x>-1或x<2a}.
综上所述,当a=-时,不等式的解集为{x|x≠-1};
当a>-时,不等式的解集为{x|x<-1或x>2a};
当a<-时,不等式的解集为{x|x>-1或x<2a}.
(2)由f(1)=6,得f(1)=12+(1-2a)×1-2a=6,解得a=-1,所以f(x)=x2+3x+2,因为x>1,所以x-1>0,y==x-1++5≥2+5=2+5,
当且仅当x-1=,即x=+1时,等号成立.
所以当x=+1时,函数y=在(1,+∞)上的最小值为2+5.
22.解 (1)函数f1(x)=-2不属于集合A.
因为f1(x)的值域是[-2,+∞),所以函数f1(x)=-2不属于集合A.
函数f2(x)=4-6·()x(x≥0)属于集合A.
因为①函数f2(x)的定义域是[0,+∞);②f2(x)的值域是[-2,4);③函数f2(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f2(x)=4-6·(x≥0)属于集合A.
(2)由f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=6··(-)<0,所以不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)对任意的x≥0恒成立.
23.解 (1)因为幂函数f(x)=(n∈N)在区间(0,+∞)上单调递增,所以-3n2+9>0(n∈N),故n=0或1,
当n=0时,f(x)=x9不是偶函数,故舍去;
当n=1时,f(x)=x6是偶函数,故f(x)=x6.
(2)因为g(x)=+2tx+3,由(1)可得g(x)=x2+2tx+3,函数y=g(x)图象的对称轴为直线x=-t,
当-t≤2,即t≥-2时,函数y=g(x)在区间[2,6]上单调递增,所以G(t)=g(2)=4t+7,
当2<-t<6,即-6当-t≥6,即t≤-6时,函数y=g(x)在区间[2,6]上单调递减,所以G(t)=g(6)=12t+39.
综上所述,G(t)=
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