2024数学学业水平考试专题练--优化集训7　对数与对数函数（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
优化集训7　对数与对数函数
基础巩固
1.(2020浙江学考)log62+log63=(　　)
A.0 B.1
C.log65 D.log125
2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(　　)
3.若正实数a,b满足lg a+lg b=1,则的最小值为(　　)
A. B.2 C. D.2
4.()π,,logπ的大小关系为(　　)
A.()π<C.logπ<()π D.()π5.(2023浙江绍兴)尽管目前人类还无法准确地预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震级数M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.某地发生的6.9级地震释放出的能量大约是5.6级地震释放出的能量的(　　)
A.50倍 B.100倍
C.200倍 D.300倍
6.(2023浙江嘉兴)已知实数a,b∈(1,+∞),且log2a+logb3=log2b+loga2,则(　　)
A.a<C.b<7.(多选)关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有(　　)
A.函数f(x)在区间(1,2)内单调递增
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
8.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)的图象过定点P,则点P的坐标是　　　　　.
9.已知lg 2=a,lg 3=b,则log512等于　　　　.
10.不等式log0.25(x-1)>1的解集是　.
11.设方程2x+1+x-6=0的解为x1,方程log2+x-6=0的解为x2,则x1+x2=　　　　　.
12.已知函数f(x)=loga(x2-2ax)在区间[4,5]上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　　.
13.(2023浙江宁波)化简求值:log43×(log32+log92)=　　　　　.
14.(2023浙江浙大附中)log63+log612+的值为　　　　　.
15.已知m>0,函数f(x)=lg(2x-m).
(1)当m=1时,解不等式f(x)≤0;
(2)若对于任意t∈[1,],f(x)在区间[t,2t]上的最大值与最小值的和不大于1,求实数m的取值范围.
16.(2022浙江丽水)已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
(1)当a=2时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
17.已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).
(1)当a=2时,求f(2);
(2)求解关于x的不等式f(x)>0;
(3)若 x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围.
能力提升
18.(多选)(2022浙江丽水)已知直线y=2-x分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论中正确的是(　　)
A.x1+x2=2 B.=2e
C.x1ln x2+x2ln x1<0 D.x2ln x1-x1ln x2<0
19.已知函数f(x)=ln(x2-2x+2)-m有两个零点x1,x2,则x1+x2=　　　　　.
20.若定义在[a,b]上的函数f(x)=|ln x|的值域为[0,1],则b-a的最小值为　　　　.
21.已知函数f(x)=log3.
(1)若m=4,n=4,求函数f(x)的定义域和值域;
(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为[0,2],求实数m,n的值.
22.(2023浙江杭州)已知函数f(x)=loga(2x2-2),g(x)=2loga(x+t),其中a>0且a≠1.
(1)当t=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;
(2)若函数F(x)=af(x)+(t-2)x2+(1-6t)x+8t+1在区间(2,5]上有零点,求实数t的取值范围.
优化集训7　对数与对数函数
基础巩固
1.B　解析 log62+log63=log6(2×3)=log66=1,故选B.
2.D
3.D　解析 ∵lg a+lg b=1,即lg ab=1,∴ab=10,而a>0,b>0,∴≥2=2,当且仅当a=2,b=5时,等号成立.∴的最小值为2.故选D.
4.B　解析 因为y=()x在R上为减函数,且π>0,所以0<()π<()0=1.因为y=πx在R上为增函数,>0,
所以>π0=1.因为y=logπx在(0,+∞)内为增函数,且<1,所以logπ故选B.
5.B　解析 设6.9级和5.6级地震释放出的能量分别为E1,E2,
由题意可知lg E1=4.8+1.5×6.9,lg E2=4.8+1.5×5.6,
所以lg E1-lg E2=1.5×(6.9-5.6)=1.95 lg=1.95 =101.95≈100,故选B.
6.B　解析 由log2a+logb3=log2b+loga2,变形可知log2a-loga2log3b,得log2a+logb3>log3b+loga2,即log2a-loga2>log3b-logb3,所以log2a>log3b,又因为log3b=lo>log2,得log2a>log2,即a>,所以7.ABD　解析 函数f(x)=|ln|2-x||的图象如图所示,由图可得函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A正确;函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则当x1>2,x2>2时,x1+x2>4,故C错误;函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个交点,故D正确.故选ABD.
8.(1,3)　解析 令2-x=1,x=1,则f(1)=2loga1+3=3,所以函数f(x)的图象过定点P(1,3).
9.　解析 log512=.
10.(1,)　解析 由f(x)=log0.25x在(0,+∞)内单调递减,因为log0.25(x-1)>1=log0.250.25,所以
解得111.6　解析 由方程2x+1+x-6=0得2x+1=6-x,
由方程log2+x-6=0得log2=6-x.
由于f(x)=2x+1与g(x)=log2互为反函数,图象关于y=x对称.
如图所示,2x+1=6-x的根为点A的横坐标,log2=6-x的根为点B的横坐标,
因为f(x)=2x+1与g(x)=log2的图象关于y=x对称,且y=x与y=6-x垂直,所以A,B两点为y=x与y=6-x的交点,且关于y=x对称.
由解得则x1+x2=6.
12.(1,2)　解析 令t=x2-2ax,y=logat,∵a>0,
∴∴113.　解析 log43×(log32+log92)=log43×(log32+log32)=log23×log32×log2.
14.6　解析 log63+log612+=log636+=2+4=6.
15.解 (1)因为m=1,所以f(x)=lg(2x-1)≤0=lg 1,
则解得
不等式的解集为(,1].
(2)由题易知:f(x)为增函数,则f(x)在区间[t,2t]上的最大值与最小值分别为f(2t),f(t).
对于任意t∈[1,],f(x)在区间[t,2t]上的最大值与最小值的和不大于1,等价于对于任意t∈[1,]恒成立,
即对于任意t∈[1,]恒成立.
设g(t)=8t2-6mt+m2-10,t∈[1,],
因为m<2,所以g(t)在[1,]上单调递增,
所以g(t)max=g()=m2-9m+8,
令m2-9m+8≤0,解得1≤m≤8.
综上,实数m的取值范围为[1,2).
16.解 (1)当a=2时,函数f(x)=log2(+2),
由不等式f(x)>0,可得log2(+2)>0,
则+2>1,解得x>0或x<-1,
即当a=2时,不等式f(x)>0的解集为{x|x>0或x<-1}.
(2)由函数f(x)=log2(+a)在[t,t+1]上单调递减,因为函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,
可得f(t)-f(t+1)≤1,即log2(+a)-log2(+a)≤1,
即+a≤2×(+a),
所以a≥.
设1-t=r,因为t∈[,1],则r∈[0,],
可得,
当r=0时,=0,
当0因为y=r+在区间(0,]上为减函数,
可得r++4=,
所以,
所以实数a的取值范围是[,+∞).
17.解 (1)当a=2时,f(x)=(log2x)2-log2x-2,
∴f(2)=1-1-2=-2.
(2)由f(x)>0得(logax)2-logax-2=(logax-2)·(logax+1)>0,
∴logax<-1或logax>2.
当a>1时,解不等式可得0a2;
当0或0综上所述,当a>1时,f(x)>0的解集为(0,)∪(a2,+∞);当00的解集为(0,a2)∪(,+∞).
(3)由f(x)≥4得(logax)2-logax-6=(logax-3)·(logax+2)≥0,
∴logax≤-2或logax≥3.
①当a>1时,(logax)max=loga4,(logax)min=loga2,
∴loga4≤-2=logaa-2或loga2≥3=logaa3,解得1②当0∴loga2≤-2=logaa-2或loga4≥3=logaa3,解得≤a<1.
综上所述,实数a的取值范围为[,1)∪(1,].
能力提升
18.ACD　解析 函数y=ex与y=ln x互为反函数,则y=ex与y=ln x的图象关于y=x对称,
将y=-x+2与y=x联立,则x=1,y=1,
由直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),作出函数图象,
则A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为(1,1).
对于A,由=1,解得x1+x2=2,故A正确;
对于B,≥2=2=2=2e,因为x1≠x2,即等号不成立,所以>2e,故B错误;
对于C,将y=-x+2与y=ex联立可得-x+2=ex,即ex+x-2=0,
设f(x)=ex+x-2,且函数为增函数,
∵f(0)=1+0-2=-1<0,f()=-2=>0,故函数的零点在(0,)内,
即0x1ln x2+x2ln x1=x1ln x2-x2ln对于D,x2ln x1-x1ln x2=x2ln x1+x1ln故选ACD.
19.2　解析 因为函数f(x)=ln(x2-2x+2)-m有两个零点x1,x2,所以f(x1)=f(x2),
即ln(-2x1+2)=ln(-2x2+2),得-2x1+2=-2x2+2,
即=2(x2-x1),所以x1+x2=2.
20.1-　解析 f(x)=|ln x|=
∴f(x)在(0,1)内单调递减,在[1,+∞)内单调递增,f(x)min=f(1)=0,
又f()=f(e)=1,由题意≤a≤1,1≤b≤e,且a=和b=e中至少有一个取到.
∴b-a的最小值是1-,即a=,b=1.
21.解 (1)若m=4,n=4,则f(x)=log3,
由>0,得x2+2x+1>0,得x≠-1,
故定义域为{x|x≠-1}.
令t=,则(t-4)x2-8x+t-4=0,
当t=4时,x=0符合.
当t≠4时,上述方程要有解,
则
得到0所以0(2)由于函数f(x)的定义域为R,
则>0恒成立,
则
即
令t=,由于f(x)的值域为[0,2],
则t∈[1,9],而(t-m)x2-8x+t-n=0,
则由Δ=64-4(t-m)(t-n)≥0,解得t∈[1,9],
故t=1和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0,即t2-(m+n)t+mn-16=0的两个根,
则得到符合题意.
所以m=5,n=5.
22.解 (1)当t=1时,不等式可化为loga(2x2-2)≤2loga(x+1),
当0当a>1时,得解得1综上,当01时,不等式的解集为(1,3].
(2)函数F(x)=tx2+(1-6t)x+8t-1=t(x2-6x+8)+x-1,
令t(x2-6x+8)+x-1=0,
因为x∈(2,5],所以x-1∈(1,4],则有t≠0,
故-=(x-1)+-4∈[2-4,0)∪(0,],
得0<≤4-2或-<0,
解得t的取值范围为(-∞,-)∪[,+∞).
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