2024数学学业水平考试专题练--优化集训12　三角恒等变换（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
优化集训12　三角恒等变换
基础巩固
1.设函数f(x)=sin xcos x,x∈R,则函数f(x)的最小值是(　　)
A.- B.-
C.- D.-1
2.函数f(x)=1-2sin22x是(　　)
A.偶函数且最小正周期为
B.奇函数且最小正周期为
C.偶函数且最小正周期为π
D.奇函数且最小正周期为π
3.(2023浙江嘉兴)已知α∈(0,2π),且cos α=cos,则α=(　　)
A. B.
C. D.
4.(2023浙江湖州)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴正半轴重合,它的终边经过点P(-4,3),则sin+α·cos-α=(　　)
A.- B.
C.- D.
5.已知θ为锐角,且sin θ=,则sinθ+=(　　)
A. B.-
C.± D.-
6.(2023浙江丽水)设a=cos 7°-sin 7°,b=,c=,则有(　　)
A.cC.a7.若cos(30°-α)-sin α=,则sin(30°-2α)=(　　)
A. B.- C. D.-
8.函数f(x)=cos 2x-6cos+x的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.
9.已知tanα+=-2,则tanα+=(　　)
A.- B. C.-3 D.3
10.(多选)下列各式中值为1的是(　　)
A.
B.sincos
C.sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°
D.cos2-sin2
11.(多选)(2023浙江杭州)已知函数f(x)=sin x-cos x,则(　　)
A.f(x)的值域为[-]
B.点,0是函数y=f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在区间上是增函数
D.若f(x)在区间[-a,a]上是增函数,则a的最大值为
12.已知cos-θ=a,则cos+θ+sin-θ的值是　　　　　.
13.若α∈,π,sinα+=,则sin α=　　　　.
14.如图,点A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x轴正半轴的交点是C,点B的坐标为,-,∠AOC=α,若|AB|=1,则sin α=　　　　　.
15.(2023浙江丽水)若α,β∈0,且cos α=,sin β=,则sin(α+β)=　　　　　.
16.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
17.(2023浙江杭州八县区)在平面直角坐标系中,角α与角β的顶点均为坐标原点O,始边均为x轴的正半轴.若点P在角α的终边上,将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边OQ重合.
(1)直接写出β与α的关系式;
(2)求cos(α+β)的值.
能力提升
18.=(　　)
A. B. C.- D.-
19.(2023新课程全国Ⅰ)已知sin(α-β)=,cos α·sin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A. B. C.- D.-
20.(多选)(2023浙江嘉兴)如图,已知A(cos α,sin α),B(cos β,sin β)两点在单位圆O上,且都在第一象限,点M(xM,yM)是线段AB的中点,点C(xC,yC)是射线OM与单位圆O的交点,则(　　)
A.xM=coscos
B.yM=(sin α+sin β)
C.yC=cos
D.sin(sin α+sin β)
21.(2023浙江温州A卷)若cos(x-20°)=2cos xsin 10°,则tan x=　　　　　.
22.(2023浙江镇海中学)已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cos(2α+2β)=　　　　　.
23.已知0<α<,-<β<0,tan α=7,sin β=-.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求tan(α-2β)的值,并确定α-2β的大小.
优化集训12　三角恒等变换
基础巩固
1.B　解析 因为f(x)=sin xcos x=sin 2x,故选B.
2.A　解析 f(x)=1-2sin22x=cos 4x,故f(x)是偶函数且最小正周期为T=,故选A.
3.D　解析 由cos α=cos得,α=2kπ±,∵α∈(0,2π),∴α=,故选D.
4.A　解析 sin+α·cos-α=sin α·cos α=×-=-,故选A.
5.A　解析 θ为锐角,且sin θ=,由同角三角函数关系式可得cos θ=,则sinθ+=sin θcos+sincos θ=,故选A.
6.A　解析 a=cos 7°-sin 7°=sin 23°,b==tan 24°,c==sin 22°,∴c7.D　解析 由cos(30°-α)-sin α=,得cos α-sin α=,即cos(30°+α)=,所以sin(30°-2α)=cos(60°+2α)=2cos2(30°+α)-1=2×-1=-.故选D.
8.B　解析 ∵f(x)=cos 2x-6cos+x=1-2sin2x+6sin x=-2sin x-2+,∴当sin x=1时,f(x)max=5,故选B.
9.A　解析 tanα+=tanα+==-,故选A.
10.ACD　解析 选项A,=tan(12°+33°)=tan 45°=1,符合题意;选项B,sincossin2×=,不符合题意;选项C,sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°=sin(72°+18°)=sin 90°=1,符合题意;选项D,cos2-sin2=cos2×=cos=1,符合题意.故选ACD.
11.ABD　解析 因为f(x)=sin x-cos x=sinx-,所以函数的值域为[-],故A正确;又因为f=sin=0,所以点,0是函数y=f(x)图象的一个对称中心,故B正确;当x∈时,x-∈[0,π],由正弦函数的性质可知函数在[0,π]不单调,故C错误;由-≤x-,可得-≤x≤,即函数f(x)=sinx-在-上单调递增,又因为f(x)在区间[-a,a]上是增函数,所以a≤,即a的最大值为,故D正确.故选ABD.
12.0　解析 ∵cos+θ=cosπ--θ=-cos-θ=-a,sin-θ=sin+-θ=cos-θ=a,∴cos+θ+sin-θ=0.
13.　解析 由α∈,π,α+∈,又因为sinα+=,所以α+∈,π,得cosα+=-=-,所以sin α=sinα+=sinα+cos-cosα+sin.
14.　解析 ∵点A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x轴正半轴的交点是C,点B的坐标为,-,故圆的半径为1.∵∠AOC=α,|AB|=1,故△AOB为等边三角形,∠BOC=60°-α,cos∠BOC=cos(60°-α)=,sin∠BOC=sin(60°-α)=.则sin α=sin[60°-(60°-α)]=sin 60°cos(60°-α)-cos 60°sin(60°-α)=.
15.　解析 因为α∈0,且cos α=,所以sin α=,又因为β∈0,且sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
16.解 (1)由角α的终边过点P,
得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.
(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,
由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-或cos β=.
17.解 (1)由题意可得β=α+.
(2)∵P,∴cos α=,sin α=,
∴cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=-,
sin 2α=2sin αcos α=2×.
∵β=α+,∴cos(α+β)=cos2α+=cos 2α·cos-sin 2α·sin=-=-.
能力提升
18.A　解析
=
=sin 30°=.
19.B　解析 由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β-,解得sin αcos β=.∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故选B.
20.AB　解析 已知A(cos α,sin α),B(cos β,sin β)两点在单位圆O上,且都在第一象限,点M(xM,yM)是线段AB的中点,对于选项A,xM=(cos α+cos β)=×2cos·cos=coscos,即选项A正确;对于选项B,yM=(sin α+sin β),即选项B正确;对于选项C,由题意可得∠COx=+α=,则yC=sin,即选项C错误;对于选项D,取α=,β=,则sin=sin=-(sin α+sin β)=×=,此时sin(sin α+sin β),故D错误.故选AB.
21.-　解析 (方法1)cos(x-20°)=2cos xsin 10°=2cos xsin(30°-20°),∴cos xcos 20°+sin xsin 20°=cos xcos 20°-cos xsin 20°,
∴sin xsin 20°=-cos xsin 20°,∴tan x=-.
(方法2)由cos(x-20°)=cos xcos 20°+sin xsin 20°可得cos xcos 20°+sin xsin 20°=2cos xsin 10°,将等式两边同时除以cos x可得,cos 20°+tan xsin 20°=2sin 10°,所以tan x==-2cos 30°=-,所以tan x=-.
22.-　解析 已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则4×+2×=1,
整理得2cos 2α+cos 2β=2,
故4cos22α+4cos 2αcos 2β+cos22β=4, ①
4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=0, ②
①+②得4+4(cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β)+1=4,
故cos(2α+2β)=cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β=-.
23.解 (1)∵0<α<,由
∴sin α=,cos α=,
又-<β<0,sin β=-,∴cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==-.
(2)由(1)可知,tan β=-,∴tan 2β==-,
∴tan(α-2β)==-1,
∵0<α-2β<,∴α-2β=.
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