2024数学学业水平考试专题练--优化集训14　平面向量的概念与运算（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
优化集训14　平面向量的概念与运算
基础巩固
1.给出下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b的方向一定不相同;②若向量满足||>||,且同向,则;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在正六边形ABCDEF中,设=a,=b,则=(　　)
A.a+2b B.2a+3b
C.2a+b D.a+b
3.在△ABC中,+5=0,则=(　　)
A. B.
C. D.
4.已知向量a,b不共线,c=3a+b,d=ma+(m+2)b,若c∥d,则m=(　　)
A.-12 B.-9 C.-6 D.-3
5.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则=(　　)
A. B. C. D.
6.在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=a,=b,则=(　　)
A.-a-b B.-a+b
C.a-b D.a+b
7.在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上.若=x,则x=(　　)
A. B. C. D.
8.若G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点),设=a,=b,则=(　　)
A.a-b B.a+b
C.2a-b D.b-2a
9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,若,则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A.点P在AC边上
B.点P在AB边上或其延长线上
C.点P在△ABC外部
D.点P在△ABC内部
10.(多选)(2023浙江温州新力量联盟)下列说法正确的有(　　)
A.a·a·a=|a|3
B.λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线
C.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小
D.若平面内有四个点A,B,C,D,则必有
11.设a,b是不共线的两个平面向量,已知=a+kb,=2a-b.若P,Q,R三点共线,则实数k的值为　　　　　　　.
12.已知四边形ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=60°,则||=　　　　　　　.
13.如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为　　　　　　　.
14.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|b-a-c|=　　　　　　　.
15.已知两个非零向量a,b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b.
(1)若2-3=0,求实数k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求实数k的值.
16.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
(1)求;
(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:=3.
能力提升
17.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若=2,且||=||,则△ABC的面积为 (　　)
A. B. C.2 D.1
18.已知O是△ABC内一点,且=0,则O是△ABC的(　　)
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
19.(多选)(2023浙江A9协作体)已知a,b,c是平面上三个非零向量,下列说法正确的有(　　)
A.一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立
B.如果a·b=a·c,那么一定有a⊥(b-c)
C.如果(a-c)⊥(b-c),那么|a-b|=|a+b-2c|
D.如果a(b·c)=(a·b)c,那么a,b,c一定相互平行
20.如图,在 ABCD中,=2=2,AE与BF相交于点G.若=λ,则λ=　　　　　.
21.(2023浙江浙北G2联盟)如图,圆O是半径为1的圆,OA=2,设B,C为圆上的任意两点,则的取值范围是　　　　　.
22.(2023浙江浙南名校联盟)如图,在△ABC中,D是线段BC上的点,且=2,O是线段AD的中点,延长BO交AC于点E,设=λ+μ.
(1)求λ+μ的值;
(2)若△ABC为边长等于2的正三角形,求的值.
优化集训14　平面向量的概念与运算
基础巩固
1.A　解析 ①正确;②两向量不能比较大小,故不正确;③a与b长度相等,但方向不定,故不正确;④规定0与任意向量平行,故不正确.
2.C　解析 在正六边形ABCDEF中,FC∥AB,FC=2AB,则+2=2a+b.故选C.
3.A　解析 因为+5=0,所以)=.故选A.
4.D　解析 因为c∥d,所以c=λd,则3a+b=mλa+(m+2)λb,因为向量a,b不共线,所以解得故选D.
5.D
6.B　解析 由题意可得=-a+b+a=b-a.
7.C　解析 由题可知).∵点F在BE上,∴=λ+(1-λ),λ∈R.
∴=λ+λ.∴λ=,λ=.∴x=.故选C.
8.D　解析 因为G为△ABC的重心,所以=0.因为=a,=b,所以=a-b,所以=b-2a.故选D.
9.A　解析 ∵,∴=0,∴2=0,∴=-2,∴P为AC上靠近点C的三等分点.故选A.
10.BCD　解析 对于A,a·a·a=|a|2a,故A错误;对于B,因为λ,μ为非零实数,且λa=μb,所以a与b一定共线,故B正确;对于C,向量不能比较大小,向量的模可比较大小,故C正确;对于D,因为,所以,故D正确.故选BCD.
11.-　解析 因为P,Q,R三点共线,所以=λ,即a+kb=λ(2a-b),所以故k=-.
12.　解析 ∵四边形ABCD是边长为1的菱形,
∠BAD=60°,∴∠ADC=120°.在△ACD中,由余弦定理得AC=.
∴||=||=||=.
13.　解析 ∵B,P,N三点共线,∴存在实数λ使得=λ+(1-λ)=λ=m,
∴解得m=.
14.2　解析 由题|a|=1,a+b=c,∴|b-a-c|=|b-a-a-b|=|-2a|=2|a|=2.
15.解 (1)∵2-3=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴=λ,∴=λ(),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴k=-1.
16.(1)解 ∵=2=-,∴=0.
(2)证明 易知(a+b),因为G是△ABO的重心,所以(a+b).由P,G,Q三点共线,得=t,t∈R,即=t(),即=t+(1-t),∴a+b=mta+(1-t)nb.由a,b不共线得=3.
能力提升
17.B　解析 由于=2,由向量加法的几何意义,可知O为边BC的中点.∵△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,∴三角形是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=,斜边BC=2.∵||=||,∴AC=1,AB=.∴S△ABC=AB·AC=×1×.故选B.
18.B　解析 如图,所在直线是以OA,OB为邻边所作平行四边形的一条对角线,由平行四边形的性质,得所在直线必过线段AB的中点D.因为=0,即=-,所以方向相反,所以所在直线也过线段AB的中点D.同理可得,所在直线分别过边AC,BC的中点.因此,O为△ABC三边中线的交点,即O是△ABC的重心.故选B.
19.BC　解析 当b,c不是共线向量时,一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立,故A不正确;由a·b=a·c a·b-a·c=0 a·(b-c)=0 a⊥(b-c),故B正确;(a-c)⊥(b-c) (a-c)·(b-c)=0 a·b-a·c-c·b+c2=0,|a-b|2-|a+b-2c|2=(a-b)2-[(a-c)+(b-c)]2=-2(a·b-a·c-c·b+c2)=0,故C正确;当a·b=b·c=0时,显然a(b·c)=(a·b)c成立,但是a,b,c不一定互相平行,故D不正确.故选BC.
20.　解析 延长DC与AE交于点M,则由=2及△CEM∽△BEA可知,CM=AB.
又由△FGM∽△BGA及=2得,,λ=.
21.[-2,6]　解析 若D为BC的中点,设的夹角为θ,如图,
=()·=||||cos∠OCB-||||cos θ=|2-2||cos θ.
又||∈[0,2],由cos θ≤1,得|2-2||cos θ≥|2-2||=-2,
当||=2时,取最小值-2;
由cos θ≥-1,得|2-2||cos θ≤|2+2||=-2,
当||=2时,取最大值6.
综上,的取值范围是[-2,6].
22.解 (1)∵O为AD的中点,=2,
∴=-.
又=λ+μ,故λ=-,μ=,λ+μ=-.
(2)(方法1)设=t,t∈R,
∵O为AD的中点,=2,
∴)=)=.
∵B,O,E三点共线,∴=1,得t=4.
故-=-.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴=-·
=
=|||cos|||cos
=×22××22×
=.
(方法2)设=t,t∈R,易知t≠0.
=
=
=-+.
又由(1)知=-为非零的共线向量,∴,得t=4,
∴=-.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴=-·
=
=|||cos|||cos
=×22××22×
=.
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