2024数学学业水平考试专题练--优化集训16　向量与几何

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2024数学学业水平考试专题练
优化集训16　向量与几何
基础巩固
1.已知向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a-2b|=(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
2.在△ABC中,A=90°,=(2-k,2),=(2,3),则k的值是(　　)
A.5 B.-5 C. D.-
3.(2023浙江金华)如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论错误的是(　　)
A. B.
C. D.
4.已知向量m,n的夹角为,且|m+2n|=,|m|=1,则|n|=(　　)
A. B.1 C. D.2
5.已知向量a=(3,-1),b=(1,0),则a在b上的投影向量是(　　)
A.b B.0 C.-b D.3b
6.已知a,b是单位向量,且a+b=(1,-1).若向量c=a-b,则a与c的夹角为(　　)
A. B. C. D.
7.若平面向量a与b满足|a|=2,|b|=1,|a+b|=,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|2a+b|=,则b与b-a的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
9.(多选)(2023浙江丽水)已知a,b是单位向量,则下列说法正确的有(　　)
A.若a=-,t,则t=
B.若a,b不共线,则(a+b)⊥(a-b)
C.若|a-b|≥,则a,b夹角的最小值是
D.若a,b的夹角是,则b在a上的投影向量是a
10.(多选)(2023浙江浙南名校联盟)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则下列说法正确的有(　　)
A.= B.a⊥(e1-e2)
C.a=(e1+e2) D.|a|=
11.(2021浙江学考)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则|a+b|=　　　　　.
12.(2023浙江杭州)若向量a=,b=(-1,),则a在b上的投影向量的坐标为　　　　　.
13.若平面向量a,b满足|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则a·(a-b)=　　　　　　.
14.若四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=,则=　　　　　,||=　　　　　.
15.(2023浙江A9协作体)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=ta+b(t∈R).
(1)若向量a,b的夹角为,且b⊥c,求t的值;
(2)若|c|的最小值为,求向量a,b的夹角.
16.在平面四边形ABCD中,向量a==(4,1),b==(3,-1),c==(-1,-2).
(1)若向量a+2b与向量b-kc垂直,求实数k的值;
(2)若=m+n,求实数m,n.
能力提升
17.已知单位向量e1,e2满足|e1|=|e1-e2|,则(e1-e2)与e2的夹角是(　　)
A.60° B.90° C.120° D.150°
18.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足),且||=1.设与方向相同的单位向量为e,则向量在向量上的投影向量为(　　)
A.e B.-e C.e D.-e
19.(多选)(2023浙江杭州六县九校)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(λ,-1),λ∈R,μ∈R,则下列说法正确的有(　　)
A.若λ=1,则a+2b在c上的投影向量为-c
B.与b共线的单位向量的坐标为
C.若a=tb+c,t∈R,则λ+t=-4
D.|a+μb|的最小值为
20.(2023浙江精诚联盟)已知向量b在单位向量a上的投影向量为-2a,则(a-b)·a=　　　　　.
21.已知△ABC内接于圆O,且AB=4,AC=2,则=　　　　　;若,则圆O的半径等于　　　　　.
22.(2023浙江温州A卷)在菱形ABCD中,,记=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若,求cos A的值.
优化集训16　向量与几何
基础巩固
1.A　解析 ∵|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2=4-4×2×1×+4=4,∴|a-2b|=2.故选A.
2.A　解析 ∵A=90°,即AB⊥AC,∴=4-2k+6=0,解得k=5.故选A.
3.D　解析 由,知A正确;由),得),知B正确;由,知C正确;由N为线段DC的中点,得,知D错误.
4.C　解析 因为向量m,n的夹角为,|m|=1,所以|m+2n|2=|m|2+4|m||n|cos+4|n|2=4|n|2+2|n|+1=3,解得|n|=或|n|=-1(舍去).故选C.
5.D　解析 a在b上的投影向量为b=b=3b,故选D.
6.B　解析 由a+b=(1,-1),得a2+b2+2a·b=12+(-1)2=2.因为a,b是单位向量,所以1+1+2a·b=2,得a·b=0,则|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=.设a,c的夹角为θ,a,a-b的夹角为φ,所以cos θ=cos φ=,所以a与a-b的夹角为.
7.C　解析 |a+b|=,解得cos=,=60°.故选C.
8.A　解析 由|2a+b|=,得4|a|2+4a·b+|b|2=7,∵|a|=1,|b|=,∴解得a·b=0,∴|b-a|=2.cos=,∴=30°.
9.BC　解析 对于A,因为向量a是单位向量,所以|a|==1,得t=±,故A错误;对于B,(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),故B正确;对于C,|a-b|=,得cos≤-,则∈,π,所以a,b夹角的最小值是,故C正确;对于D,b在a上的投影向量是|b|cosa=-a,故D错误.故选BC.
10.BCD　解析 因为e1,e2是单位向量,且e1·e2=,所以e1·e2=|e1||e2|cos=cos=,因为∈[0,π],所以=,故A错误;因为a·e1=a·e2,所以a·(e1-e2)=0,即a⊥(e1-e2),故B正确;设a=me1+ne2,m,n∈R,因为a·e1=a·e2=1,所以解得m=n=,所以a=(e1+e2),故C正确;因为|e1+e2|=,所以|a|=|e1+e2|=,故D正确.故选BCD.
11.　解析 ∵|a+b|2=4+2×(-1)+1=3,∴|a+b|=.
12.-　解析 向量a=,b=(-1,),
则a在b上的投影向量的坐标为(-1,)=-.
13.24　解析 a·(a-b)=a2-a·b=36-24×=24.
14.2　2　解析 由题意=||||cos=2×2×=2,||=||=||==2.
15.解 (1)因为b⊥c,所以b·c=b·(ta+b)=0,
即ta·b+b2=0,所以t|a||b|cos+|b|2=0,
代入|a|=1,|b|=2得t+4=0,故t=-4.
(2)设a,b的夹角为θ,由c=ta+b得|c|2=(ta+b)2=t2a2+2ta·b+b2=t2+4cos θ·t+4=(t+2cos θ)2+4-4cos2θ,
故当t=-2cos θ时,|c|2有最小值4-4cos2θ.
由题意4-4cos2θ=3,解得cos θ=±,
又θ∈[0,π],所以θ=.
16.解 (1)∵向量a+2b与向量b-kc垂直,
∴(a+2b)·(b-kc)=0.
∴(10,-1)·(3+k,-1+2k)=0.
∴30+10k+1-2k=0,∴k=-.
(2)∵=(2,-3),∴=(-2,3).
∵=(6,-2),
∴=(-6,2),=(1,2).
∵=m+n,∴(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2),
∴解得
能力提升
17.C　解析 因为单位向量e1,e2满足|e1|=|e1-e2|,所以(e1-e2)2=-2e1·e2+=1,解得e1·e2=,所以(e1-e2)·e2=e1·e2-=-,cos<(e1-e2),e2>==-.因为0°≤<(e1-e2),e2>≤180°,所以<(e1-e2),e2>=120°.故选C.
18.A　解析 由)可知O为BC中点,所以△ABC为直角三角形,∠BAC=90°.因为||=1,||=2,所以∠ABC=60°,即向量的夹角为60°.因此向量在向量上的投影向量为||cos 60°·e=1×e=e.故选A.
19.AD　解析 对于A,当λ=1时,c=(1,-1),a+2b=(1,4),(a+2b)·c=1-4=-3,|c|=,∴a+2b在c上的投影向量为=-c,故A正确;对于B,与b共线的单位向量的坐标为=和-=-,-,故B错误;对于C,∵a=tb+c,∴(-3,2)=(2t+λ,t-1),∴解得∴λ+t=-6,故C错误;对于D,∵a+μb=(2μ-3,μ+2),∴|a+μb|=,∴|a+μb|的最小值为,故D正确.故选AD.
20.3　解析 由向量b在单位向量a上的投影向量为-2a,可得a·b=-2a2=-2,所以(a-b)·a=a2-a·b=1-(-2)=3.
21.-6　2　解析 ·()=)=(4-16)=-6.由得,,两边平方得,cos∠BOC=-,∴∠BOC=,∴∠BAC=,∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,∴圆O的半径等于2.
22.解 (1)因为,
所以=-b+a.
(2)设菱形ABCD的边长为t.
因为=b-a,所以(b-a)·b+a=a·(-b),即b2-a2=-a·b,t2-t2=-t2cos A,解得cos A=.
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