2024数学学业水平考试专题练--优化集训17　正弦定理、余弦定理（含解析）

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2024数学学业水平考试专题练
优化集训17　正弦定理、余弦定理
基础巩固
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=a,则B=(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中,若sin2A=sin B·sin C且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则该三角形的形状是(　　)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=(　　)
A.1∶1∶4 B.1∶1∶2
C.1∶1∶3 D.1∶1∶
4.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,则“A=30°”是“B=60°”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,a=,b=1,A=60°,则B=(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=(　　)
A. B. C. D.
7.(2023浙江浙北G2联盟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则cos C的值为(　　)
A.- B.0 C. D.
8.(2023浙江温州新力量联盟)已知△ABC的三边分别为,且a2+b2=c2,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有(　　)
A.若A>B,则cos AB.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解
C.若cos Acos Bcos C>0,则△ABC为锐角三角形
D.若a-c·cos B=a·cos C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形
10.(多选)(2023浙江钱塘联盟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有(　　)
A.若A=60°,a=,则△ABC外接圆的半径等于1
B.若cos2,则此三角形为直角三角形
C.若a=3,b=4,B=,则此三角形必有两解
D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cos A+cos B
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sin A=,则sin B=　　　　,其外接圆的半径为　　　　　.
12.若满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是　　　　　　　　.
13.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C=　　　　　;当BC=1时,△ABC的面积等于　　　　　.
14.(2023浙江余姚中学)在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是　　　　　.
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc.
(1)求cos A的值;
(2)若a=5,求b的值.
16.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=5,求△ABC的面积.
能力提升
17.在锐角三角形ABC中,A=2B,B,C的对边分别是b,c,则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
18.(2023浙江奉化)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcos A.若λsin A-cos(C-B)<2恒成立,则实数λ的取值范围为(　　)
A.-∞, B.-∞,
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
19.(多选)(2023浙江强基联盟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos C=,则下列选项正确的有(　　)
A.b>a B.∈(1,2)
C.C=2A D.tan C>
20.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为　　　　　.
21.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最长边的长为,则△ABC的最短边的长为　　　　　.
22.(2023浙江丽水)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,=2,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sin A+sin B).
(1)求B;
(2)当2a+c取最大值时,求△ABC的周长.
优化集训17　正弦定理、余弦定理
基础巩固
1.D
2.D　解析 由正弦定理知,若sin2A=sin B·sin C,则a2=bc.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以该三角形是等边三角形.故选D.
3.D　解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶.
4.B　解析 当a=1,b=,A=30°时,由正弦定理得,sin B=,所以B=60°或120°,反之,当a=1,b=,B=60°时,由正弦定理得,A=30°,故若a=1,b=,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件,故选B.
5.A
6.C　解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,=-,即cos C=-.
因为07.A　解析 ∵a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,
∴cos C==-.故选A.
8.A　解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,角C为最大角.
因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.
在△ABC中,由余弦定理得cos C=>0,所以角C是锐角,故△ABC是锐角三角形.故选A.
9.ACD　解析 对于A,∵π>A>B>0,函数y=cos x在(0,π)上单调递减,
∴cos A对于B,由正弦定理可得,∴sin B=>1,此时△ABC无解,故B错误.
对于C,∵cos Acos Bcos C>0,角A,B,C为三角形的内角,
∴可知A,B,C均为锐角,故△ABC为锐角三角形,故C正确.
对于D,∵a-c·cos B=a·cos C,∴由正弦定理可得sin A=sin Acos C+sin Ccos B,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,
因此sin Bcos C+sin Ccos B=sin Acos C+sin Ccos B sin Bcos C=sin Acos C,
∴bcos C=acos C,
∴(b-a)cos C=0,
∴b=a或cos C=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.
故选ACD.
10.ABD　解析 设△ABC外接圆的半径为R,
根据正弦定理,2R==2,所以R=1,
则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确.
cos2,
所以2sin C+2cos Asin C=2sin B+2sin C,
所以cos Asin C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0,
在三角形中,sin A>0,所以cos C=0,所以C=,则此三角形为直角三角形,故B正确.
因为a=3,b=4,B=,所以asin B=,所以asin B因为△ABC是锐角三角形,所以0所以0<-Bcos A+cos B,故D正确.故选ABD.
11.　解析 设△ABC的外接圆的半径为R,由=2R,
∴=2R,
∴sin B=,R=.
12.{1}∪[2,+∞)　解析 ∵满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,
∴如图,AB⊥AC,或AB≥2,
∴AB=1或AB≥2,
∴边AB的取值范围是{1}∪[2,+∞).
13.-　解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,
∴a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,则b=3k,c=4k,k>0,
∴cos C==-.
当BC=1时,AC=,∴△ABC的面积S=×1×sin C=.
14.　解析 由面积公式得absin C=(a2+b2-c2),
即sin C=,
所以sin C=cos C,tan C=.
因为C∈0,,所以C=.
24(bc-a)=btan B变形得到c=.
因为B∈0,,所以tan B>0.
由基本不等式得c=≥2,当且仅当且tan B>0,即tan B=2时,等号成立.
15.解 (1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,
可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=bc,
即a2=b2+c2-bc,即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A=.
(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sin A=,在△ABC中,由正弦定理可得,所以b==7.
16.解 (1)由题意及正弦定理得,=-,
即2sin Acos B+cos Bsin C=-sin Bcos C,
则2sin Acos B=-(sin Bcos C+cos Bsin C)=-sin(B+C)=-sin A.
∵A∈(0,π),
∴sin A≠0,
∴cos B=-,
∵B∈(0,π),
∴B=.
(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,
即13=(a+c)2-2ac-2accos=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=12.
∴S△ABC=acsin B=6sin=3.
能力提升
17.B　解析 ∵0sin C=sin(π-A-B)=sin(π-3B)=sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcos 2B+cos Bsin 2B=sin B(2cos2B-1)+2sin Bcos2B=4cos2Bsin B-sin B=4(1-sin2B)sin B-sin B=3sin B-4sin3B,
所以由正弦定理可知∈.故选B.
18.B　解析 因为c-b=2bcos A,所以sin C-sin B=2sin Bcos A,
即sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,sin Acos B-sin B=sin Bcos A,sin Acos B-sin Bcos A=sin B,sin(A-B)=sin B.
又因为A,B,C均为锐角,所以A-B∈-,所以A-B=B,A=2B.
C=π-A-B=π-3B,所以cos(C-B)=cos(π-4B)=-cos 4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1.
因为所以λsin A-cos(C-B)<2恒成立,
即λsin 2B-(2sin22B-1)<2 -2sin22B+λsin 2B+1<2 2sin22B-λsin 2B+1>0恒成立,其中B∈.
因为B∈,所以2B∈,sin 2B∈,1.
设t=sin 2B,t∈,1,则有2t2-λt+1>0在,1内恒成立,则有λ<2t+对t∈,1恒成立.
又当t∈,1时,2t+,所以λ≤.
故选B.
19.ACD　解析 ∵△ABC为锐角三角形,∴cos C=>0,即,可得b>a,故A正确.
由正弦定理可知,2cos C=-1,即2sin Acos C+sin A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin A=sin(C-A),又三角形为锐角三角形,
∴C-A=A,即C=2A,故C正确.
由C知,解得∴∴∵=2cos A,而∴2cos A∈(),故B错误.故选ACD.
20.　解析 由题意易知∴△ABC的面积S=b2sin A=b2·,当且仅当b2=,即b=时,等号成立.
21.　解析 在△ABC中,tan(A+B)==1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=.
因为tan B>tan A,所以角A所对的边最小.
由tan A=可知sin A=.
由正弦定理可知,所以a=sin A·.
22.解 (1)因为A+B+C=π,所以(a-c)sin(A+B)=(a-c)sin C=(a-b)(sin A+sin B),
由正弦定理可得(a-c)c=(a-b)(a+b),整理得到a2+c2-b2=ac,所以cos B=.
而B∈(0,π),故B=.
(2)因为=2,所以=2(),所以,所以=4=,
故36=c2+4a2+4accos=c2+4a2+2ac,
整理得到(2a+c)2=36+2ac≤36+,
故2a+c≤4,当且仅当a=,c=2时,等号成立.
故此时b==3,对应的△ABC的周长为3+3.
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