2023-2024学年江苏省苏南八校高一上学期12月联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏南八校高一上学期12月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为，集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.函数的零点所在的区间为
( )
A. B. C. D.
3.已知，，，，则“关于的不等式有解”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.已知，则的大小关系为
( )
A. B. C. D.
7.已知，则函数的最大值为
( )
A. B. C. D.
8.若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若是锐角，则是第一象限角
B.
C. 若，则为第一或第二象限角
D. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角
10.关于函数，下列说法正确的是
( )
A. 函数定义域为 B. 函数是偶函数
C. 函数是周期函数 D. 函数在区间上单调递减
11.已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B.
C. 为定值 D.
12.已知为定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A. ，
B.
C. ，
D. 方程在的各根之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简求值：______．
14.函数的最小值是 ．
15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是___________．
16.已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求的值；
已知，求的值．
18.本小题分
从；；，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
已知集合___________，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知
求的值；
若，求的值．
20.本小题分
为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
Ⅰ当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
Ⅱ现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
21.本小题分
已知．
证明：；
若函数，当定义域为时，值域为，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
求证：；
函数的零点个数为奇数；
记函数的值域为，若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合 ，由此求得
解： ，解得 或 ，
所以 或 ，所以 ，
所以 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案．
解： 在 上单调递增，
，
所以 的零点在区间 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与一元二次不等式的关系，考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据一元二次不等式解法及充要条件的定义求解即可．
【解答】
解：当，时，不等式恒成立，不等式有解，充分性不成立，
，当时，二次函数的图象与轴有两个不同的交点，不等式有解，必要性成立，
关于的不等式有解是的必要不充分条件，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】首先根据三角函数的定义得到 ，再根据诱导公式求解即可．
解：已知角 终边经过 ，
所以 ，
所以 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得．
解：因为 ，
所以 ．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数、对数函数的性质比较大小，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的单调性比较大小即可．
【解答】
解：因为， ，，
所以 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】化简 的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值．
解：
，
设 ，
则 的开口向下，对称轴 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
也即 的最大值为 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案．
解：依题意可知 ，
由 整理得 ，
即关于 的方程恰有三个不同的实数解 ， ， ，且 ，
令 ，则 或 ，
则转化为 ，
即 ，
根据对勾函数的性质可知 是方程 的一个根，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 是方程 的根，即 的根，
所以 ，
所以 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案．
解：选项， 是锐角，即 ，所以 是第一象限角，选项正确．
选项，根据弧度制的定义可知 ，选项正确．
选项，当 时， ，但 不是象限角，选项错误．
选项， 为第二象限角，即 ，
所以 为第一或第三象限角，选项正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：由于 ，所以 的定义域不是 ，选项错误．
由 得 ，所以 ，
所以 的定义域是 ， 的定义域关于原点对称，
，所以 是偶函数，选项正确．
，所以 是周期函数，选项正确．
当 时， 恒成立，
在 上单调递增，所以 在区间 上单调递减，选项正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，利用函数的奇偶性求出、的解析式，由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，，则，
又由是奇函数，为偶函数，则，
联立可得：，，
依次分析选项：
对于，对于，其定义域为，有，故是偶函数，A正确；
对于，，B错误；
对于，，，，C正确；
对于，当时，，
此时，
当时，，
此时，
故，D正确；
故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性、周期性及奇偶性，考查了数形结合思想，属于中档题．
由题意可得是以为周期的周期函数，再由，可判断选项A；当时，求出可判断选项B；根据题意可得出，从而可判断选项C；作出的示意图，由图象的对称性，数形结合可判断选项D．
【解答】
解：由在定义在上的奇函数，则，
又，所以，
即，所以，
即是以为周期的周期函数；
由题意，所以，，
又，所以，所以，，
所以，，故选项A正确；
选项B当时，，故选项B不正确；
选项C
，所以，
当时，，均为增函数，则为增函数，
所以在上为增函数，
又为奇函数，且，
所以在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以必存在，使得，故选项C正确；
选项D因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，
然后由对称性作出在上的图象，如图所示，
根据对称性可知方程在的各根之和为，故选项D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解．
解：
．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值即可．
【解答】
解：，易知，
由，
得
，
当且仅当 ，即时等号成立，
所以函数 的最小值是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果．
解：由弧长公式可得 ，可得 ，
所以，由 和线段 所围成的弓形的面积为 ，
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，判断函数的单调性，属于中档题．
由题意不妨设，可得，令，则，进而可得在上单调递增，利用函数单调性的定义可得答案．
【解答】
解：对任意两个不等实数，不妨设，
由，可得，则，
令，则，
所以在上单调递增，
则取任意两个不等实数，且，
有 ，
又，
则，
所以，对任意两个不等实数恒成立，
注意到 ，则，
则实数的取值范围是 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：，
，
；
，
，
．

【解析】本题考查指数幂的化简求值，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于一般题．
利用指数幂的运算性质化简求值即可；
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值即可．
18.【答案】解：若选，得，即，
得；
若选，得，即，
得；
若选，得且，
得，得；
由得，故A．
Ⅱ即A.
若，得，即
若，得且且，即．
综上，的取值范围为
【解析】本题考查集合的运算和集合关系中的参数问题，属于中等题．
Ⅰ不管选哪个条件，都是求出，然后利用并集运算即可求解
Ⅱ由得A.然后对进行分类讨论即可．
19.【答案】解：令 ，则 ， ，
则
；
令 ，有 ， ，
则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，则 ，
，故舍去，
，故 ，即 ，
即 ．

【解析】【分析】运用换元法及诱导公式即可得；
运用换元法及诱导公式，结合题目条件计算即可得．
20.【答案】解：Ⅰ设甲工程队的总造价为元，
则，
．
当且仅当，即时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元．
Ⅱ由题意可得，对任意的恒成立．
即，从而恒成立，
令，，
又在为单调增函数，故．
所以．

【解析】本题考查实际问题的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
Ⅰ设甲工程队的总造价为元，推出利用基本不等式求解最值即可．
Ⅱ由题意对任意的恒成立．即恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可．
21.【答案】解：，
令，可得，
易得均在上为增函数，
则在上为增函数，
又，
所以；
由题意知： ，可得，
，
由，解得或，
设，，
因为反比例函数在和上单调递增，
将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位即可得到的图象，
所以函数在和上单调递增，
又函数在上单调递减，
根据复合函数单调性知函数在和上单调递减，
而 ，且，故，
因为函数的定义域为 ，故 ，
根据在上单调递减，
所以
所以是关于的方程的两个大于的根，
即有两个大于的不相等的根，
则有且，解得，
故实数的取值范围为 ．

【解析】本题考查指数函数与对数函数的综合应用，函数零点与方程的根，复合函数的单调性，属于较难题．
由已知通过变形得 ，利用函数的单调性即可证明；
首先求出，利用复合函数的单调性判断的单调性，得到方程组，即可转化为是关于的方程的两个大于的根，即有两个大于的不相等的根，根据根的分布列出不等式组，解出即可．
22.【答案】解： ，即 ；
因为 ，所以是函数 的零点
因为 ，
所以若 是函数 的零点，则 也是函数 的零点，
若 ，则 ，
综上可知，函数 的零点个数为奇数．
因为 ，
所以 ，即
因为至少有两个不同的 ，使得
所以至少有两个不同的 ，使得
因为 ，所以 ，
令 ，解得
所以

【解析】【分析】列式计算即可证明；先确定是函数 的零点，再利用的结论得到 ，由此即可证明函数 的零点个数为奇数；
计算出 的值域，确定 即是 ，说明 时， 存在至少两个最小值，由此列出满足要求的不等式解出即可．
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