2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 265.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 11:53:48 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的子集有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知，，，则，，的大小关系是
( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是
( )
A. B.
C. D.
5.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A. B. C. D.
6.函数满足，则函数( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.若实数，，满足，则下列不等关系不可能成立的是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 若，则
C. 的单调减区间为
D. 是的必要不充分条件
10.已知，则下列等式正确的是
( )
A. B. C. D.
11.已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是 ( )
A. B. 为奇函数
C. 若，则 D.
12.已知，则下列说法正确的是
( )
A. 的值域是
B. 任意且，都有
C. 任意且，都有
D. 规定，其中，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，且，则__________．
14.函数，则不等式的解集为__________．
15.已知正实数满足，则的最小值为__________．
16.有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”据此，对于函数，可以判定：函数的对称中心是 ； ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，集合，函数的定义域为．
若，求 的取值范围；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
18.本小题分
已知求：
；
．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间及值域；
若的定义域为，求的取值范围．
20.本小题分
去年月份，盐城环保科技城发布了江苏盐城环保科技城零碳示范园区发展总体规划，从土地利用、产业功能、能源、交通、建筑、社区、生态环境等多个方面谋篇布局，助力产业集群加速向低碳、绿色方向高质量发展转型为了助力绿色发展，某企业引进一个把垃圾加工处理为某化工产品的项目已知该企业日加工处理垃圾量单位：吨最少为吨，最多为吨日加工处理总成本单位：元与日加工处理垃圾量之间的函数关系可近似的表示为且每加工处理吨垃圾得到的化工产品售价为元．
该企业日加工处理垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态还是盈利状态？
为了使该企业可持续发展，盐城市政府决定对该企业进行财政补贴，要求企业从以下两种方案中选择其中的一种．
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为元；
方案二：根据日加工处理垃圾量进行财政补贴，金额为元．
如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选择哪种补贴方案？
21.本小题分
已知函数，函数的图象经过点．
若，求函数的最大值；
若对，且，都有成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
函数为实常数
若求的单调区间
若，设在区间的最小值为，求的表达式；
设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】先求出集合 ，再由交集和子集的定义求解即可．
解：因为 ，
所以 ，
所以集合 的子集为 个．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】运用对数运算公式化简 ，将 、 化为根式，由三角函数诱导公式可计算的值，进而可判断三者大小．
解：因为 ， ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由 可得 ，结合 及 计算即可．
解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】分别分析 与 的单调性及恒过的定点即可判断．
解：因为 ，所以 在 上单调递增，
又 定义域为 ，
所以由复合函数单调性可知， 在 上单调递减，且恒过 ，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可．
解：设扇环的圆心角为 ，小扇形的半径为 ，如图所示，
则 ，
所以 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由 可得 ，运用解方程组法求解析式即可．
解：因为 ，所以 ，
得 ，即 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】运用分段函数在 上单调递增可知， 在 上单调递增，且 在 上单调递增，且 ．
解：由题意知， ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据已知可得 ，作出函数图象，结合图象即可判断．
解：由题意知， ，所以 ，
设 ，
在同一坐标系中作出函数 ， ， ， ，如图所示，
当平移 时，由图可得 ， ， 的大小关系可能为 ， ， ， ， ， ， ，
故B项、项、项正确，项不可能成立．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】对，运用否定的定义即可得；对，可得 ，结合不等式性质即可得；对，单调区间不能用并起来，对，结合充分不必要条件的定义验证即可．
解：对：命题“ ”的否定是“ ”，故错误；
对：由 ， ，故 ，即 ，故正确；
对：单调区间不能用并集符号，故错误；
对：若 ，可能 ，若 ，则 成立，
故 是 的必要不充分条件，故正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】运用指数幂运算公式及对数运算公式计算即可．
解：对于项，因为 ， ，所以 ，即 ，故A项正确；
对于项，由项知 ，所以 ，故B项正确；
对于项，由项知 ，所以 ，又 ，所以 不一定成立，故C项不成立；
对于项，由项知 ，所以 ，故D项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】令 、 、 代入关系式判断、、；令 ，结合奇偶性定义判断．
解：：令 ，则 ，又 不过原点，即 ，可得 ，对；
：令 ，则 ，结合结论知： ， 为偶函数，错；( )
：令 ，则 ，故 ，错；
：令 ，则 ，故 ，对．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性判断；作出函数 的图象，结合图形即可判断；根据递推公式可得 的表达式即可判断．
解：： ，则 为奇函数，
当 时， ，当 时， ，
故函数 的值域为 ，故A错误；
： ，则 为奇函数，
又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故函数 在上单调递增，故B正确；
：作出函数 的图象，如图，
由图可知，函数 上为上凹函数，
则对于 ，设 ，
则 为图中点对应函数值， 为图中点对应函数值，
所以 ，故C正确；
：由 ，
得 ， ，
，
所以 ，故D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】运用整体思想，可得 ，结合 与三角函数基本关系计算即可得．
解： ，
由 ，故 ，故 ，
即 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解．
解：由题意知，幂函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，
解得 ，即不等式的解集为 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】将 变为 ，由不等式“”的代换求解即可．
解：因为正实数 满足 ，所以 ，
而 ，
所以
，
当且仅当 且 ，即 时取等，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】根据函数解析式，得到 ，令 ，判断其是奇函数，结合题中条件，即可得出结果；由解析式，先得到 ，推出所求式子等价于 ，即可得出结果．
解：由 得 ，
令 ，则 ，
即 为奇函数；由题中命题可得，函数 的对称中心是 ；
由 得 ，
则 ；
所以 ．
故答案为： ；．
17.【答案】解： ，
令 ，即 ，
因为 ，
所以 或 ，解得 或 ，即 ．
由项知， ， ，
由题知 是 的真子集，故 ，即 ．
【解析】【分析】解一元二次不等式及分式不等式可得集合与集合，由 列式即可．
由题意知 是 的真子集，结合集合的包含关系列式即可．
18.【答案】解：
因为 ，所以原式 ；
因为 ，所以原式
【解析】【分析】根据诱导公式和切弦互化，即可求解；
由公式 ，将原式补上分母“”，再利用切弦互化，即可求解．
19.【答案】解：当 时， ，
令 ，解得 ，故函数定义域为 ，
则令 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递减，
由复合函数单调性可知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
在 处取到最小值 ，所以值域为 ．
因为 的定义域为 ，所以 对任意 恒成立，
当 时，不等式变为 ，解集为 ，符合题意，
当 时， ，
综述， 的取值范围是 ．
【解析】【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性可求得其单调区间，根据单调性可求得其值域．
将问题转化为 对任意 恒成立，分别研究 、 时不等式的解集为 即可．
20.【答案】解：由题意可知，日加工处理每吨垃圾的平均成本为
，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以该企业日加工处理垃圾量为吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低．
因为 ，所以此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态．
若该企业采用方案一，设该企业每日获利为 元，
由题可得 ， ，
所以当 时，企业获利最大，最大利润为元．
若该企业采用方案二，设该企业每日获利为 元，
由题可得 ， ，
所以当 时，企业获利最大，最大利润为元．
因为 ，所以应选择方案二．
【解析】【分析】求出 ，结合基本不等式求解即可．
分别计算 ， ，与 ， 时两个函数的最大值比较即可．
21.【答案】解：因为 ，所以 ，解得 ，
又因为 且 经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值为 ．
因为 且 ，不妨设 ，则
所以 ，
设 ，则 在 上单调递增，
，
当 时， 在 单调递减，不成立，
当 时，函数 的对称轴为 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上， ．
【解析】【分析】解 可得 ，求出 ，化简函数可得 ，结合二次函数单调性即可求得最大值．
将 变形为 ，构造 ，分别研究 、 、 时 在 上单调递增即可．
22.【答案】解：， ，
的单调增区间为 ， ，；
的单调减区间为 ， ．
由于，当时，
若 ，即 ，则在为增函数
若 ，即 时，
若 ，即 时，在上是减函数：
．
综上可得 ．
在区间上任取、，
则
，
在上是增函数，
，
可转化为对任意、都成立，
且都成立，即，
当时，上式显然成立
， ，由得 ，解得
， ，由得， ，得
所以实数的取值范围是 ．
【解析】【分析】本题主要考查分段函数的单调区间的求解方法，考查求其最值的方法：每一段求出其最值，各段中最大的为最大值，最小的为最小值，考查了单调性的定义的应用，属于基础题由，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
根据对称轴分类讨论，分别求得在三种情况下的最小值，最后写成分段函数形式；
由单调性的定义将问题转化为对任意、都成立，
分类说明即可．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的子集有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知，，，则，，的大小关系是
( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是
( )
A. B.
C. D.
5.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A. B. C. D.
6.函数满足，则函数( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.若实数，，满足，则下列不等关系不可能成立的是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 若，则
C. 的单调减区间为
D. 是的必要不充分条件
10.已知，则下列等式正确的是
( )
A. B. C. D.
11.已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是 ( )
A. B. 为奇函数
C. 若，则 D.
12.已知，则下列说法正确的是
( )
A. 的值域是
B. 任意且，都有
C. 任意且，都有
D. 规定，其中，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，且，则__________．
14.函数，则不等式的解集为__________．
15.已知正实数满足，则的最小值为__________．
16.有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”据此，对于函数，可以判定：函数的对称中心是 ； ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，集合，函数的定义域为．
若，求 的取值范围；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
18.本小题分
已知求：
；
．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间及值域；
若的定义域为，求的取值范围．
20.本小题分
去年月份，盐城环保科技城发布了江苏盐城环保科技城零碳示范园区发展总体规划，从土地利用、产业功能、能源、交通、建筑、社区、生态环境等多个方面谋篇布局，助力产业集群加速向低碳、绿色方向高质量发展转型为了助力绿色发展，某企业引进一个把垃圾加工处理为某化工产品的项目已知该企业日加工处理垃圾量单位：吨最少为吨，最多为吨日加工处理总成本单位：元与日加工处理垃圾量之间的函数关系可近似的表示为且每加工处理吨垃圾得到的化工产品售价为元．
该企业日加工处理垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态还是盈利状态？
为了使该企业可持续发展，盐城市政府决定对该企业进行财政补贴，要求企业从以下两种方案中选择其中的一种．
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为元；
方案二：根据日加工处理垃圾量进行财政补贴，金额为元．
如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选择哪种补贴方案？
21.本小题分
已知函数，函数的图象经过点．
若，求函数的最大值；
若对，且，都有成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
函数为实常数
若求的单调区间
若，设在区间的最小值为，求的表达式；
设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】先求出集合 ，再由交集和子集的定义求解即可．
解：因为 ，
所以 ，
所以集合 的子集为 个．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】运用对数运算公式化简 ，将 、 化为根式，由三角函数诱导公式可计算的值，进而可判断三者大小．
解：因为 ， ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由 可得 ，结合 及 计算即可．
解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】分别分析 与 的单调性及恒过的定点即可判断．
解：因为 ，所以 在 上单调递增，
又 定义域为 ，
所以由复合函数单调性可知， 在 上单调递减，且恒过 ，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可．
解：设扇环的圆心角为 ，小扇形的半径为 ，如图所示，
则 ，
所以 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由 可得 ，运用解方程组法求解析式即可．
解：因为 ，所以 ，
得 ，即 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】运用分段函数在 上单调递增可知， 在 上单调递增，且 在 上单调递增，且 ．
解：由题意知， ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据已知可得 ，作出函数图象，结合图象即可判断．
解：由题意知， ，所以 ，
设 ，
在同一坐标系中作出函数 ， ， ， ，如图所示，
当平移 时，由图可得 ， ， 的大小关系可能为 ， ， ， ， ， ， ，
故B项、项、项正确，项不可能成立．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】对，运用否定的定义即可得；对，可得 ，结合不等式性质即可得；对，单调区间不能用并起来，对，结合充分不必要条件的定义验证即可．
解：对：命题“ ”的否定是“ ”，故错误；
对：由 ， ，故 ，即 ，故正确；
对：单调区间不能用并集符号，故错误；
对：若 ，可能 ，若 ，则 成立，
故 是 的必要不充分条件，故正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】运用指数幂运算公式及对数运算公式计算即可．
解：对于项，因为 ， ，所以 ，即 ，故A项正确；
对于项，由项知 ，所以 ，故B项正确；
对于项，由项知 ，所以 ，又 ，所以 不一定成立，故C项不成立；
对于项，由项知 ，所以 ，故D项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】令 、 、 代入关系式判断、、；令 ，结合奇偶性定义判断．
解：：令 ，则 ，又 不过原点，即 ，可得 ，对；
：令 ，则 ，结合结论知： ， 为偶函数，错；( )
：令 ，则 ，故 ，错；
：令 ，则 ，故 ，对．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性判断；作出函数 的图象，结合图形即可判断；根据递推公式可得 的表达式即可判断．
解：： ，则 为奇函数，
当 时， ，当 时， ，
故函数 的值域为 ，故A错误；
： ，则 为奇函数，
又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故函数 在上单调递增，故B正确；
：作出函数 的图象，如图，
由图可知，函数 上为上凹函数，
则对于 ，设 ，
则 为图中点对应函数值， 为图中点对应函数值，
所以 ，故C正确；
：由 ，
得 ， ，
，
所以 ，故D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】运用整体思想，可得 ，结合 与三角函数基本关系计算即可得．
解： ，
由 ，故 ，故 ，
即 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解．
解：由题意知，幂函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，
解得 ，即不等式的解集为 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】将 变为 ，由不等式“”的代换求解即可．
解：因为正实数 满足 ，所以 ，
而 ，
所以
，
当且仅当 且 ，即 时取等，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】根据函数解析式，得到 ，令 ，判断其是奇函数，结合题中条件，即可得出结果；由解析式，先得到 ，推出所求式子等价于 ，即可得出结果．
解：由 得 ，
令 ，则 ，
即 为奇函数；由题中命题可得，函数 的对称中心是 ；
由 得 ，
则 ；
所以 ．
故答案为： ；．
17.【答案】解： ，
令 ，即 ，
因为 ，
所以 或 ，解得 或 ，即 ．
由项知， ， ，
由题知 是 的真子集，故 ，即 ．
【解析】【分析】解一元二次不等式及分式不等式可得集合与集合，由 列式即可．
由题意知 是 的真子集，结合集合的包含关系列式即可．
18.【答案】解：
因为 ，所以原式 ；
因为 ，所以原式
【解析】【分析】根据诱导公式和切弦互化，即可求解；
由公式 ，将原式补上分母“”，再利用切弦互化，即可求解．
19.【答案】解：当 时， ，
令 ，解得 ，故函数定义域为 ，
则令 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递减，
由复合函数单调性可知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
在 处取到最小值 ，所以值域为 ．
因为 的定义域为 ，所以 对任意 恒成立，
当 时，不等式变为 ，解集为 ，符合题意，
当 时， ，
综述， 的取值范围是 ．
【解析】【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性可求得其单调区间，根据单调性可求得其值域．
将问题转化为 对任意 恒成立，分别研究 、 时不等式的解集为 即可．
20.【答案】解：由题意可知，日加工处理每吨垃圾的平均成本为
，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以该企业日加工处理垃圾量为吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低．
因为 ，所以此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态．
若该企业采用方案一，设该企业每日获利为 元，
由题可得 ， ，
所以当 时，企业获利最大，最大利润为元．
若该企业采用方案二，设该企业每日获利为 元，
由题可得 ， ，
所以当 时，企业获利最大，最大利润为元．
因为 ，所以应选择方案二．
【解析】【分析】求出 ，结合基本不等式求解即可．
分别计算 ， ，与 ， 时两个函数的最大值比较即可．
21.【答案】解：因为 ，所以 ，解得 ，
又因为 且 经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值为 ．
因为 且 ，不妨设 ，则
所以 ，
设 ，则 在 上单调递增，
，
当 时， 在 单调递减，不成立，
当 时，函数 的对称轴为 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上， ．
【解析】【分析】解 可得 ，求出 ，化简函数可得 ，结合二次函数单调性即可求得最大值．
将 变形为 ，构造 ，分别研究 、 、 时 在 上单调递增即可．
22.【答案】解：， ，
的单调增区间为 ， ，；
的单调减区间为 ， ．
由于，当时，
若 ，即 ，则在为增函数
若 ，即 时，
若 ，即 时，在上是减函数：
．
综上可得 ．
在区间上任取、，
则
，
在上是增函数，
，
可转化为对任意、都成立，
且都成立，即，
当时，上式显然成立
， ，由得 ，解得
， ，由得， ，得
所以实数的取值范围是 ．
【解析】【分析】本题主要考查分段函数的单调区间的求解方法，考查求其最值的方法：每一段求出其最值，各段中最大的为最大值，最小的为最小值，考查了单调性的定义的应用，属于基础题由，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
根据对称轴分类讨论，分别求得在三种情况下的最小值，最后写成分段函数形式；
由单调性的定义将问题转化为对任意、都成立，
分类说明即可．
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