2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-06 09:38:08 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是
( )
A. B.
C. D.
3.扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为
( )
A. B. C. D.
4.已知为上的奇函数，当时，，则的值是
( )
A. B. C. D.
5.如图所示，函数的图像大致为．( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是
( )
A. 幂函数的图像必过定点和 B. 幂函数的图像不可能过第四象限
C. 幂函数为偶函数 D. 幂函数在其定义域上为减函数
8.已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：自年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足年初的时，的最小值为参考数据：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，最小值为的是
( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A. 任取，均有
B. 图象经过的幂函数是偶函数
C. 在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称
D. 方程有两根
11.下列表达式正确的是( )
A. 若，则
B. 在锐角中，恒成立
C.
D. ，，
12.已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是
( )
A. 是偶函数 B.
C. 的图象关于对称 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 的最小值为____．
14.已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 ．
15.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为______．
16.已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设全集为，，，求；
．
18.本小题分
已知函数且的图象经过点．
求的值；
求函数的值域．
19.本小题分
已知角满足______请从下列三个条件中任选一个作答．注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分．
条件：角的终边与单位圆的交点为；
条件：角满足；
条件：角满足．
求的值；
求的值．
20.本小题分
天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式为常数，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为万件已知该产品每一万件需要投入成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元注：利润销售收入投入成本促销费用
求出的值，并将表示为的函数；
促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
21.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，函数．
若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值
设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求出两个集合，再利用交集含义即可得到答案．
解： ， ，
则 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
解：命题“ ”的否定是“ ”．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：设半径为 ，则周长 ，则 ，扇形面积 ，故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】利用奇函数的性质即可得解．
解：因为当 时， ，所以 ，
又 为定义在 上的奇函数，所以 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查函数的图像与性质，熟记函数图像与性质即可，属于常考题型先由函数解析式得到函数的奇偶性，再结合 时的图像，即可得出结果．
解： 的定义域为 ， ，图像关于 轴对称，可排除选项A，；又因为当 时， ，所以选C．
6.【答案】
【解析】【分析】由给定条件求出点的坐标即可得出 ，再利用“”的妙用即可得解．
解：函数 中，由 可得 ， ，
即函数的图象恒过定点 ．
若点 在直线 上，即有 ，
于是得 ，
当且仅当 ，即 时取等号成立．
所以 时， 的最小值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】 不过 ，A错误，根据定义域排除，举反例得到D错误，B正确，得到答案．
解：对选项A： 不过 ，错误；
对选项B： 时， ，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
对选项C：幂函数 的定义域为 ，是非奇非偶函数，错误；
对选项D： 时， ； 时， ，不是定义域上减函数，错误；
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】确定年初的种群数量为 时的函数值，根据题意可列不等式 ，结合对数运算即可求得答案．
解：由题意可知年初的种群数量为 时的函数值 ，
故令 ，即 ，
则 ，
由于 ，故的最小值为，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用基本不等式逐一分析求解，注意等号能否取到即可求解．
【解答】
解： 对于，当时，，不符合题意
对于，由已知，
所以，
当且仅当，即时，取等号，显然等号取不到，
所以 的最小值不是，
即不符合题意
对于，，当即时，取等号，
所以最小值为，符合题意
对于，，
当即时，取等号，
所以 的最小值为，所以符合题意．
故答案为．
10.【答案】
【解析】【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合即可知结果．
解：对选项A，令 ， ，当 时， 的图象恒在 的上，则A正确；
对选项B，设 ，则 ，解得 ，则 ，所以函数不是偶函数，故B错误；
对选项C，函数 与 的图象关于轴对称，往上平移个单位就得到函数 与 的图象，所以还关于轴对称，故C正确；
对选项D，方程 的根即为函数 图象交点的横坐标，
在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程 有两根，故D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断、；由 且 结合诱导公式判断；作差法比较大小判断．
解：：由题设 ，
又 ，故 ，错；
：由题意 且 ，则 ，所以 ，对；
： ，对；
：由 ，
又 ， ，故 ，故 ，
所以 ，对．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可由已知奇偶性得出函数 的图象关于点 对称且关于直线 对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断，结合单调性判断．
解： 为奇函数， 为偶函数，
所以 的图象关于点 对称且关于直线 对称，故C正确；
所以 ， ， ，
，所以 是周期函数，是它的一个周期．
，
，故B正确；
， 是偶函数，A正确；
对任意的 ，且 ，都有 ，即 时，
，所以 在 是单调递增，
， ， ，
， ，故D错．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】由对数的运算性质得 ，然后利用基本不等式即可求得 最小值．
解：由题得， ，且 ，
所以 ，
，当且仅当 时等号成立，又 ，
解得 ，
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义，考查函数的单调性，属于基础题．
根据幂函数的定义和性质求解．
【解答】
解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递增，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】由题设可得偶函数 在 上递减，在 上递增，且 ，应用奇偶性、单调性求解集即可．
解：由题设，易知偶函数 在 上递减，在 上递增，且 ，
所以 ，故 ，可得 或 ，
所以 或 ，故解集为 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】由 ，平方后可求得 ，根据 可求得线段 中点的纵坐标 ．
解：由题意知： ，
， ；
设 中点的纵坐标为 ，
当 时， ， ， ，
， ．
故答案为： ．
17.【答案】解： 或 ，
所以 或 ．
【解析】【分析】根据补集和交集的知识求得正确答案；
根据对数的运算法则计算即可．
18.【答案】解：因为 的图象经过点 ，
则 ，又 且 ，所以 ．
当 时， ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
则 ，即 ，
所以 的值域为 ．
【解析】【分析】直接代入即可求出 值；
求出 ，再根据指数函数值域即可得到答案．
19.【答案】解：条件：因为角 的终边与单位圆的交点为 ，
可得 ， ，由三角函数的定义可得
条件：因为角 满足 ，
又因为 ，即可得
所以 ，可得
条件：因为角 满足 ，又因为 ，
即 ，可得
又 ， ，
即
易知
由可知： ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得 ；
将分母看成“”，将表达式化为只含有 的式子代入计算即可求得结果．
20.【答案】解：由题知， 时， ，
于是， ，解得 ．
所以， 根据题意，
即
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以当促销费用为万元时，该产品的利润最大，最大利润为万元．
【解析】【分析】先由已知条件求出待定系数 ，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值．
21.【答案】解：因为 定义在 上的奇函数，可得 ，都有 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以 ，此时满足 ，
所以函数 是奇函数，所以 ．
任取 ，且 ，则 ，
因为 ，
即 ，所以 是 上的增函数．
因为 为奇函数，且 的解集非空，
可得 的解集非空，
又因为 在 上单调递增，所以 的解集非空，
即 在 上有解，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 ．
【解析】【分析】由函数奇偶性的性质，求得 ，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可 是 上的增函数；
由函数 为奇函数，且在 上单调递增，把不等式转化为 在 上有解，结合二次函数的性质，即可求解．
22.【答案】解：有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解，
当时，，符合题意当时，，．
综上所述，或．
当时，，，所以在上单调递增。
因此在上单调递增，
故只需满足
即，所以
即，设，则，
当时，
当时，，又函数在单调递减，
所以，故，
所以的取值范围为
【解析】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及函数的最值的求法，属于拔高题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是
( )
A. B.
C. D.
3.扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为
( )
A. B. C. D.
4.已知为上的奇函数，当时，，则的值是
( )
A. B. C. D.
5.如图所示，函数的图像大致为．( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是
( )
A. 幂函数的图像必过定点和 B. 幂函数的图像不可能过第四象限
C. 幂函数为偶函数 D. 幂函数在其定义域上为减函数
8.已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：自年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足年初的时，的最小值为参考数据：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，最小值为的是
( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A. 任取，均有
B. 图象经过的幂函数是偶函数
C. 在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称
D. 方程有两根
11.下列表达式正确的是( )
A. 若，则
B. 在锐角中，恒成立
C.
D. ，，
12.已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是
( )
A. 是偶函数 B.
C. 的图象关于对称 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 的最小值为____．
14.已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 ．
15.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为______．
16.已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设全集为，，，求；
．
18.本小题分
已知函数且的图象经过点．
求的值；
求函数的值域．
19.本小题分
已知角满足______请从下列三个条件中任选一个作答．注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分．
条件：角的终边与单位圆的交点为；
条件：角满足；
条件：角满足．
求的值；
求的值．
20.本小题分
天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式为常数，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为万件已知该产品每一万件需要投入成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元注：利润销售收入投入成本促销费用
求出的值，并将表示为的函数；
促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
21.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，函数．
若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值
设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求出两个集合，再利用交集含义即可得到答案．
解： ， ，
则 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
解：命题“ ”的否定是“ ”．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：设半径为 ，则周长 ，则 ，扇形面积 ，故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】利用奇函数的性质即可得解．
解：因为当 时， ，所以 ，
又 为定义在 上的奇函数，所以 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查函数的图像与性质，熟记函数图像与性质即可，属于常考题型先由函数解析式得到函数的奇偶性，再结合 时的图像，即可得出结果．
解： 的定义域为 ， ，图像关于 轴对称，可排除选项A，；又因为当 时， ，所以选C．
6.【答案】
【解析】【分析】由给定条件求出点的坐标即可得出 ，再利用“”的妙用即可得解．
解：函数 中，由 可得 ， ，
即函数的图象恒过定点 ．
若点 在直线 上，即有 ，
于是得 ，
当且仅当 ，即 时取等号成立．
所以 时， 的最小值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】 不过 ，A错误，根据定义域排除，举反例得到D错误，B正确，得到答案．
解：对选项A： 不过 ，错误；
对选项B： 时， ，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
对选项C：幂函数 的定义域为 ，是非奇非偶函数，错误；
对选项D： 时， ； 时， ，不是定义域上减函数，错误；
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】确定年初的种群数量为 时的函数值，根据题意可列不等式 ，结合对数运算即可求得答案．
解：由题意可知年初的种群数量为 时的函数值 ，
故令 ，即 ，
则 ，
由于 ，故的最小值为，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用基本不等式逐一分析求解，注意等号能否取到即可求解．
【解答】
解： 对于，当时，，不符合题意
对于，由已知，
所以，
当且仅当，即时，取等号，显然等号取不到，
所以 的最小值不是，
即不符合题意
对于，，当即时，取等号，
所以最小值为，符合题意
对于，，
当即时，取等号，
所以 的最小值为，所以符合题意．
故答案为．
10.【答案】
【解析】【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合即可知结果．
解：对选项A，令 ， ，当 时， 的图象恒在 的上，则A正确；
对选项B，设 ，则 ，解得 ，则 ，所以函数不是偶函数，故B错误；
对选项C，函数 与 的图象关于轴对称，往上平移个单位就得到函数 与 的图象，所以还关于轴对称，故C正确；
对选项D，方程 的根即为函数 图象交点的横坐标，
在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程 有两根，故D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断、；由 且 结合诱导公式判断；作差法比较大小判断．
解：：由题设 ，
又 ，故 ，错；
：由题意 且 ，则 ，所以 ，对；
： ，对；
：由 ，
又 ， ，故 ，故 ，
所以 ，对．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可由已知奇偶性得出函数 的图象关于点 对称且关于直线 对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断，结合单调性判断．
解： 为奇函数， 为偶函数，
所以 的图象关于点 对称且关于直线 对称，故C正确；
所以 ， ， ，
，所以 是周期函数，是它的一个周期．
，
，故B正确；
， 是偶函数，A正确；
对任意的 ，且 ，都有 ，即 时，
，所以 在 是单调递增，
， ， ，
， ，故D错．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】由对数的运算性质得 ，然后利用基本不等式即可求得 最小值．
解：由题得， ，且 ，
所以 ，
，当且仅当 时等号成立，又 ，
解得 ，
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义，考查函数的单调性，属于基础题．
根据幂函数的定义和性质求解．
【解答】
解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递增，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】由题设可得偶函数 在 上递减，在 上递增，且 ，应用奇偶性、单调性求解集即可．
解：由题设，易知偶函数 在 上递减，在 上递增，且 ，
所以 ，故 ，可得 或 ，
所以 或 ，故解集为 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】由 ，平方后可求得 ，根据 可求得线段 中点的纵坐标 ．
解：由题意知： ，
， ；
设 中点的纵坐标为 ，
当 时， ， ， ，
， ．
故答案为： ．
17.【答案】解： 或 ，
所以 或 ．
【解析】【分析】根据补集和交集的知识求得正确答案；
根据对数的运算法则计算即可．
18.【答案】解：因为 的图象经过点 ，
则 ，又 且 ，所以 ．
当 时， ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
则 ，即 ，
所以 的值域为 ．
【解析】【分析】直接代入即可求出 值；
求出 ，再根据指数函数值域即可得到答案．
19.【答案】解：条件：因为角 的终边与单位圆的交点为 ，
可得 ， ，由三角函数的定义可得
条件：因为角 满足 ，
又因为 ，即可得
所以 ，可得
条件：因为角 满足 ，又因为 ，
即 ，可得
又 ， ，
即
易知
由可知： ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得 ；
将分母看成“”，将表达式化为只含有 的式子代入计算即可求得结果．
20.【答案】解：由题知， 时， ，
于是， ，解得 ．
所以， 根据题意，
即
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以当促销费用为万元时，该产品的利润最大，最大利润为万元．
【解析】【分析】先由已知条件求出待定系数 ，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值．
21.【答案】解：因为 定义在 上的奇函数，可得 ，都有 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以 ，此时满足 ，
所以函数 是奇函数，所以 ．
任取 ，且 ，则 ，
因为 ，
即 ，所以 是 上的增函数．
因为 为奇函数，且 的解集非空，
可得 的解集非空，
又因为 在 上单调递增，所以 的解集非空，
即 在 上有解，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 ．
【解析】【分析】由函数奇偶性的性质，求得 ，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可 是 上的增函数；
由函数 为奇函数，且在 上单调递增，把不等式转化为 在 上有解，结合二次函数的性质，即可求解．
22.【答案】解：有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解，
当时，，符合题意当时，，．
综上所述，或．
当时，，，所以在上单调递增。
因此在上单调递增，
故只需满足
即，所以
即，设，则，
当时，
当时，，又函数在单调递减，
所以，故，
所以的取值范围为
【解析】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及函数的最值的求法，属于拔高题．
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